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重庆南开中学高2014级高三二诊模拟考试
数学试题（理科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
1、设i是虚数单位，则复数1izi???的虚部是（）
A、2i?B、12?C、12D、2i
2、已知命题:,2lgpxRxx????，命题2:,0qxRx???，则（）
A、命题pq?是假命题B、命题pq?是真命题
C、命题??pq??是真命题D、命题??pq??是假命题
3、已知等比数列??na的公比2q?，且462,,48aa成等差数列，则??na的前8项和为（）
A、127B、255C、511D、1023
4、若
22
nx
x???????
展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（）
A、180B、120C、90D、45
5、已知菱形ABCD的边长4，150ABC??，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四
个顶点的距离均大于1的概率为（）
A、4?B、14??C、8?D、18??
6、若抛物线??2:20Cypxp??上一点到焦点和x轴的距离分别为5和3，则此抛物线的
方程为（）
A、22yx?B、??2344yx??
C、22yx?或218yx?D、23yx?或??2344yx??
7、某程序框图如图所示，现分别输入下列四个函数??fx，则可以
输出??fx的是（）
A、??11212
xfx???
B、??1lg21xfxxx????
C、??1212
xxfxx???
D、??32fxxx???
8、已知ABC?的三个内角,,ABC所对的边分别为,,abc，若1bacb????且2CA?，
则cosC?（）
A、12B、14C、16D、18
9、已知某几何体的三视图如图所示，过该几何体最短两条棱的中点
作平面?，使得?平分该几何体的体积，则可以作此种平面?（）
A、恰好1个B、恰好2个C、至多3个D、至少4个
10、数列??na??2014,nnN??满足：120120iiiaaa??????，
其中1,2,,2012in??，120130jjjaaa??????，其中
1,2,,2013jn??，则满足条件的数列??na的项数n的最大值为
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（）
A、4025B、4026C、20132D、20142
二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分。
11、随机变量?服从正态分布??21,N?，且(2)0.3P???则??01P????.
12、若0,0xy??，且ln3ln27ln3xy??，则31
xy?
的最小值为。
13、等边ABC?的边长为2，取各边的三等分点并连线，可以将ABC?分成如图所
示的9个全等的小正三角形，记这9个小正三角形的重心分别为1239,,,,GGGG，
则??????
112299AGBGAGBGAGBG??????
=。
考生注意：14、15、16为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分。
14、如图，AB是圆O的直径，过A、B的两条弦AC和BD相交于点P，若圆O的半径
是2，那么ACAPBDBP???的值等于。
15、直线cos:
1sinxtlyt????????
（t为参数）与圆28cos:
18sinxCy?????????
（为参数）
相交所得的弦长的取值范围是。
16、已知函数????
2log12fxxxm?????
。若关于x的不等式??1fx?的
解集是R，则m的取值范围是。
三、解答题：本大题6个小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（本题满分13分，第（1）问5分，第（2）问8分）
为了参加首届中学生合唱比赛，学校将从,,,ABCD四个班级中选出18名学生组成合唱团，
学生来源人数如下表：
班级A班B班C班D班
人数4635
（1）从这18名学生中随机选出两名，求两人来自同一个班级的概率；
（2）若要求选出两名学生作为学生领唱，设其中来自B班的人数为?，求随机变量?的分
布列，及数学期望E?。
18、（本题满分13分，第（1）问5分，第（2）问8分）
已知函数??????21ln1102fxaxxaxa??????。
（1）求函数??yfx?在点????0,0f处的切线方程；
（2）当1a?时，求函数??yfx?的单调区间和极值。
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19、（本题满分13分，第（1）问6分，第（2）问7分）
已知函数????3sincos0,,fxxxcxRc????????是实数常数的图像上的一个最
高点,1
6???????
，与该最高点最近的一个最低点是2,3
3????????
。
（1）求函数??fx的解析式及其单调增区间；
（2）在ABC?中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，且12ABBCac???，角A的取值
范围是区间M，当xM?时，试求函数??fx的值域。
20、（本题满分12分，第（1）问6分，第（2）问6分）
直四棱柱1111ABCDABCD?中，底面ABCD为菱形，且60BAD??，1AAAB?，E为
1BB的延长线上一点，11DEDAC?面，设2AB?。
（1）求二面角1EACD??的大小；
（2）在1DE上是否存在一点P，使1//APEAC面？若存在，求1:DPPE的值；若不存在，
请说明理由。
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21、（本题满分12分，第（1）问4分，第（2）问8分）
如图，焦点在x轴上的椭圆1T与焦点在y轴上的椭圆2T相切于点??0,1M，且椭圆1T与2T的
离心率均为32。
（1）求椭圆1T与椭圆2T的方程；
（2）过点M引两条互相垂直的两直线1l、2l，与两椭圆1T，2T分别交于点,AC与点,BD
（均不重合）。若23MAMCMBMD???，求1l与2l的方程。
22、（本题满分12分，第（1）问4分，第（2）问8分）
设集合????
12,,,,1,2,3,,,niAaaaaNinnN????
，若存在非空集合,BC，使得
,BCBCA???，且集合B的所有元素之和等于集合C的所有元素之和，则称集合A
为“最强集合”。
（1）若“最强集合”??1,2,3,4,Am?，求m的所有可能值；
（2）若集合A的所有1n?元子集都是“最强集合”，求n的最小值。
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