Gothedistance
1
重庆市五区2014届高三学生学业调研抽测（第一次）
数学理试题
满分150分。考试时间120分钟.
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并收回。
一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
1．已知全集UR?，集合
??|2Axx??
，
?|1Bxx??
，则U
AB?
A．
??xx??
B．
??0xx?
C．
??12??
D．
??|1xx?
2．“1a?”是“
aa?
”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．函数()22xfxx???的零点所在区间是
A．
1(0,)2
B．
(,1)
C．
(1,2)
D．
(2,3)
4．
62()xx?
展开式中常数项为
A．60B．60?C．250D．250?
5.某小卖部销售一品牌饮料的零售价x（元/瓶）与销量
y
（瓶）的关系统计如下：
已知
,xy
的关系符合线性回归方程
ybxa??
，其中
20b??
，
aybx
．当单价为4.2元
时，估计该小卖部销售这种品牌饮料的销量为
A．20B．22C．24D．26
6．过双曲线22
221(0,0)yxabab????
的左焦点F作圆222xya??的两条切线，切点分别为
A、B，双曲线左顶点为M，若0120AMB??，则该双曲线的离心率为
A．2B．3C．3D．2
7．设点（
,
）是区域400
0
xy
x
y
?????
???
??
内的随机点，函数2()41fxaxbx???在区间[
1,??
）
上是增函数的概率为
A．
14
B．
23
C．
13
D．
12
8．设F为抛物线
216yx?
的焦点，
,,ABC
为该抛物线上三点，若
0FAFBFC???
，
则
||||||FAFBFC??
的值为
A．36B．24C．16D．12
9．在O点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时该物体位于P点，一分钟后，其
位置在
Q
点，且
90POQ
，再过两分钟后，该物体位于R点，且
30QOR
，则
零售价x（元/瓶）3.03.23.43.63.84.0
销量
y
（瓶）504443403528
Gothedistance
2
tanOPQ?
的值为
A．
32
B．
233
C．
32
D．
23
10．已知函数()sin()fxxxxR???，且22(23)(41)0fyyfxx??????，则当1y?
时，1yx?的取值范围是
A．
13[,]44
B．
3[0,]4
C．
14[,]43
D．
4[0,]3
二．填空题：本大题6个小题，考生作答5个小题，每小题5分，共25分．
11．设向量(2,1)a??，(3,4)b?，则向量a在向量b上的投影为.
12.已知函数3log,(0)()
9,(0)xxxfxx??????
，则[(2)]ff??.
13.任取集合{1,2,3,4,5,6,7,8}中的三个不同数123
,,aa
，且满足21
2aa??
，32
3
,
则选取这样三个数的方法共有种.（用数字作答）
注意：14、15、16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分.
14．如图，BD是半圆O的直径，A在BD的延长线上，AC与半圆相切
于点E，ACBC?，若23AD?，6AE?，则EC?.
15．在直角坐标系
xy
中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
若点P为直线
cossin40???????
上一点，点
Q
为曲线
2(14
xt
tyt
???
???
?
为参数）
上一点，则
||PQ
的最小值为.
16．若函数
()|2|||4fxxxm?????
的定义域为R，则实数m的取值范围
为.
三．解答题：本大题6个小题，共75分，写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．
17．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分．）
已知函数
2()3ln(0)fxxxaxa????
.
（Ⅰ）若1a?，求函数
()fx
的单调区间和极值；
（Ⅱ）设函数图象上任意一点的切线l的斜率为k，当的最小值为1时，求此时切
线l的方程.
Gothedistance
3
18．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分．）
为了参加2013年市级高中篮球比赛，该市的某区决定从四所高中学校选出12人组成男子篮
球队代表所在区参赛，队员来源人数如下表：
学校学校甲学校乙学校丙学校丁
人数4422
该区篮球队经过奋力拼搏获得冠军,现要从中选出两名队员代表冠军队发言．
（Ⅰ）求这两名队员来自同一学校的概率；
（Ⅱ）设选出的两名队员中来自学校甲的人数为
?
，求随机变量
?
的分布列及数学期望
E?
．
19．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分．）
设aR?，函数
2()cos(sincos)cos()2fxxaxxx?????
满足
()(0)3ff???
．
（Ⅰ）求
()fx
的单调递减区间；
（Ⅱ）设锐角△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且
222
2222acbcacabc??????
，
求
fA
的取值范围．
20．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分．）
已知数列
{}na
的前项和为n
S
，且
344nnSa??
．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设21222
logloglogcaaa????
，12
111n
nTccc????，求使2(29)1
n
nnknTn???
恒成立的实数k的取值范围．
Gothedistance
4
21．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分．）
已知椭圆C：221(0)xyabab????的左、右焦点分别为1(3,0)F?、2(3,0)F，椭圆
上的点P满足1290PFF??，且△12PFF的面积为
12
32PFFS??．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆的左、右顶点分别为A、B，过点
(1,0)Q
的动直线l与椭圆C相交于M、N
两点，直线AN与直线4x?的交点为R，证明：点R总在直线BM上.
22．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分．）
已知函数
()lnfxtxtx???(0)t?
．
（Ⅰ）若函数
()fx
在
[1,)??
上为增函数，求实数t的取值范围；
（Ⅱ）当2n?且
nN?
时，证明：
111lnln2ln3lnnn???
.
Gothedistance
5
数学（理科）参考答案及评分意见
一.选择题：1-5：DCBAD6-10：DCBBA
二．填空题：11．
2
12.4?13.14．315.
322
16．
(,6][2,)?????
三．解答题：
17．（I）
()fx
的定义域为（
0,??
）时，当1a?时，
21231''()23xxfxxxx??????
,
由
22310xx???
得
1211,2??
，由
22310???
得
12x?
，或1x?，由2?
得
112x??
，∴
()fx
的单调递增区间为
1(0,)2
，
(1,)??
；单调递减区间
为
(,1)2
,∴
()fx
极大值为
15()ln224f???
；极小值为
(1)2f??
（II）由题意知
''()32231afxxax??????
∴2a?,此时
ax?
，即
2xx?
，
∴
1x?
，切点为
(,2)?
，∴此时的切线
l
方程为：
30xy???
．
18．解：（I）“从这12名队员中随机选出两名，两人来自于同一学校”记作事件A，
则
22224422
2127()33CCCCPAC?????
．
（II）
?
的所有可能取值为
0,1,2
,则
0248
21214(0)33CCPC????
，
11
21216(1)33P??
，
2048
2121(2)11CCPC????
,∴?的分布列为：
∴
1416120123333113E????????
19．解：（I）
2()cos(sincos)cos()sin2cos222afxxaxxxxx???????
,
?
012
P
1433
1633
11
Gothedistance
6
由
()(0)3ff???
得：
31142a????
，∴
23a?
,
∴
()3sin2cos22sin(2)6fxxxx?????
,由
3222262kxk??????????
得：
536kxk????????
，kZ?,∴
()fx
的单调递减区间为：
5[,]kk??????
（II）∵
222
2222acbcacabc??????
，由余弦定理得：
2coscos2coscos2acBcBcabCbCac???
，
即2coscoscosaBcBbC??，由正弦定理得：sincossincossincosABCBBC??，sincossin()sinABBCA???
，
1cos2B?
，∴
3B??
∵△ABC锐角三角形，
∴
62A????
，
52666A??????
∴
()2sin(2)6fAA???
的取值范围为
(1,2]
.
20．（I）由
344nnSa??
可得1
4a?
，∵
344
，
∴11
3(44)(44)nnnnSSaa???????
，∴1
44nnnaaa???
，即
14
n
n
a
??
，
∴数列
{}na
是以1
4?
为首项，公比为4的等比数列，∴
242nnna??
.
（Ⅱ）21222
logloglog242(1)2(1)caaannnn????????????
∴12
1111111223(1)1n
n
nTcccnnn?????????????
,
由
2(29)1nnnknTn???
对任意
nN?
恒成立，即实数
292nk??
恒成立；
设
2nnd??
，
1112(1)929112222nnnnnnnndd???????????
，∴当6n?时，数列
{}nd
单
调递减，15n??时，数列
{}nd
单调递增；又
56133264???
，
∴数列n
d
最大项的值为
6364?
,∴
364k?
21．（Ⅰ）由题意知：12223FFc??，椭圆上的点P满足1290PFF??，且
12
32PFFS??，
121211
11323222PFFSFFPFPF????????．112PF??，
22212172PFFFPF???．1224,2aPFPFa?????
Gothedistance
7
又223,1cbac?????,?椭圆C的方程为2214xy??．
（Ⅱ）由题意知
(2,0)A?
、
(,0)B
，
（1）当直线l与x轴垂直时，
3(1,)2M
、
3(1,)2N?
，则AN的方程是：
3(2)6yx???
，BM
的方程是：
3(2)2???
，直线
AN与直线4x?的交点为(4,3)R?，∴点R在
直线上.
（2）当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为
(1)ykx??
，11
(,)Mxy
、22
(,)Ny
，0(4,)Ry
由2
2
(1)
14
ykx
xy
????
????
?
得
2222(14)8440kxkxk?????
,
∴
2
122814kxxk???
，
2
1224414kxxk???
,
0(6,)ARy?
，
22(2,)ANxy??
，
,,ANR
共线，
∴
20
2
62yx??
,又
0(2,)BRy?
，
11(2,)BMxy??
，需证明
BM
共线，
需证明101
2(2)0yyx???
，只需证明
2
2
6(1)2(1)(2)02kxkxxx??????
,
若0k?，显然成立，
若?，即证明1221
(1)(2)3(1)(2)0xxxx??????
,
∵12211212
(1)(2)3(1)(2)25()8xxxxxxxx??????????
22
222(44)58801414kkkk????????
成立，
∴
,,BMR
共线，即点R总在直线BM上.
22．（I）函数
()lnfxtxtx???
的定义域为
(0,)??
.
1''()0fxtx???
在
[1,)x???
上恒成立，即
1tx?
在
[1,)x???
上恒成立,
∵
11x?
,∴1t?，∴t的取值范围为
[1,)??
（Ⅱ）由（I）当?，x?时，
()(1)fxf?
，又
(10f?
，∴1ln0xx???（当1?
Gothedistance
8
时，等号成立），即1lnxx??,又当
(0,1]x?
时，设
()1lngxxx???
，则
1''()0xgxx???
∴
()gx
在
(01]
上递减，∴
()(1)0gxg??
，即1ln??在
(0,]
恒成立，∴
(0,)x???
时，1ln
…①恒成立，（当且仅当x?时，等号成立），
用x代替x?，
ln(1)??
…②恒成立（当且仅当0x?时，等号成立），
∴当2k?时，
kN?
，由①得1lnkk??，即
11ln1kk??
，当2k?时，
kN?
，
101k??
，
由②得
ln(1)????
.
∴当
2,kkN??
时，
ln(1)ln1?
，即
lnln(1)lnkkk???
.
∴
1ln2ln1ln2??
,
ln3ln2l3
,
ln4ln3ln4
，
lnln()lnnnn??
.
∴
1lnln2ln3lnnn???
.
|
|
