Gothedistance
-1-
高2014级学生学业水平调研抽测(第二次)
数学（理工农医类）
(数学试题卷（理工农医类）共4页，满分150分，考试时间120分钟)
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1.已知全集UR?，则正确表示集合??26Mxx???和??21xNx??的关系的韦恩
(Venn)图是（）
2.某同学高三以来每次数学考试成绩的茎叶图如图所示，则该同学这几次数学考试成绩的
方差为（）
A.2765B.276C.269D.2695
3.已知命题p：xR??，2340xx???，则下列说法正确的是（）
A.p?：xR??，2340xx???，且p?为真命题
B.p?：xR??，2340xx???，且p?为假命题
C.p?：xR??，2340xx???，且p?为真命题
D.p?：xR??，2340xx???，且p?为假命题
4.一个几何体的三视图如图所示，若该几何体的所有顶点在同一个球
面上，则该球面的表面积是（）
A.4?B.6?C.12?D.24?
5.过点(2,3)M?的直线l与圆C:22240xyxy????相交于A、B
两点，则AB取得最小值时l的方程为（）
A.50xy???B.10xy???
C.50xy???D.210xy???
6.阅读右边程序框图，为使输出的数据为63，则判断框中应填入的条件是（）
A.4i?B.5i?C.6i?D.7i?
7.已知?、(0,)2???，满足tan()2tan?????，则tan?的最大值是（）
A.14B.24C.22D.32
8.对任意实数a、b，函数1(,)()2Fababab????，如果函数
2()24fxxx????，()2gxx??，则((),())Ffxgx的最大值为（）
A.1B.2C.4D.5
9.设F是双曲线221(0xyaab???，0)b?的右焦点，O是坐标原点，若双曲线右支上存
在一点P，使()0OPOFFP??，且OPPF?，则该双曲线的离心率为（）
U
MN
A
U
MN
B
U
MN
C
U
NM
D
2
2
4
2
2
4
主视图左视图
俯视图
开始
1S?，1i?
2iSS??
1ii??
输出S
结束
是
否
Gothedistance
-2-
A.31?B.312?C.62?D.622?
10.设三位数n的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，若以a，b，c为三条边
的长可以构成一个等腰三角形（含等边），则这样的三位数n的个数为（）
A.81B.165C.216D.225
第Ⅱ卷(非选择题，共100分)
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上）
11.复数121ii??的虚部为________.
12.已知等差数列??na满足1729aa??，则??na的前9项和9S?________.
13.已知集合??(,)()Mxyyfx??，若对于任意11(,)xyM?，存在22(,)xyM?，使得
12120xxyy??，则称集合M是“垂直对点集”.给出下列四个集合：
①1(,)Mxyy
x????????
；②??(,)cos1Mxyyx???；
③??
3(,)logMxyyx??
；④??(,)21xMxyy???；
其中是“垂直对点集”的序号是________.
考生注意：14、15、16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，按前两题给分
14.如图，已知圆的两条弦AB与CD相交于F，E与AB延长线上一点，
且2DFCF??，::2:1:1AFFBBE?，若CE与圆相切，则线段CE的
长为________.
15.在直角坐标系xoy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
极坐标方程为22cossin42??????的直线与曲线2
8
xt
yt
????
???
（t为参
数）相交于A、B两点，则AB?________.
16.关于x的不等式2|2|1logxxa????的解集非空，则实数a的取值范围是________.
三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分13分，（Ⅰ）问6分，（Ⅱ）问7分）
设函数2()2lnfxxaxbx???，曲线()yfx?在点(1,(1))f处的切线方程为
30xy???.
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）求函数)(xf的单调区间和极大值.
Gothedistance
-3-
18.（本小题满分13分，（Ⅰ）问6分，（Ⅱ）问7分）
某高校的自主招生规定，考生须依次参加A、B、C、D、E五项相互独立的考试，如果
前四项中有两项不合格或第五项不合格，则考试终止，考生被淘汰.已知考生甲参加A、B、
C、D四项考试合格的概率均为23，参加第五项考试合格的概率为12.
（Ⅰ）求考生甲未被淘汰的概率；
（Ⅱ）记考生甲参加考试的项数为?，求?的分布列和数学期望；
19.（本小题满分13分，（Ⅰ）问6分，（Ⅱ）问7分）
已知函数2()sincos3cos444xxxfx??.
（Ⅰ）若)(xf的最小正周期和对称轴方程；
（Ⅱ）如果ABC?的三内角A、B、C满足2sinsinsinBAC?，求()fB的值域.
20.（本小题满分12分，（Ⅰ）问6分，（Ⅱ）问6分）
如图，三棱锥PABC?的底面ABC是边长为4的正三角形，O为三角形ABC的中心，平
面PBC⊥平面ABC,22PBPC??，D为AP上一点，2ADDP?.
（Ⅰ）证明：BDAC?；
（Ⅱ）设M为PC中点，求二面角MBDO??的正弦值.
Gothedistance
-4-
21.（本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分）
如图，1F、2F分别是离心率为22的椭圆221(0)xyabab????的左、右焦点，斜率为k
的直线AB与椭圆交于不同的A、B两点，线段AB的中垂线与椭圆交于P、Q两点，AB
与PQ的交点为1(,)2Mm，且14mk??，点M在x轴上的射影将线段12FF分成长度比为
3:1的两段.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求11FPFQ的取值范围.
22.（本小题满分12分，（Ⅰ）问4分，（Ⅱ）问8分）
设函数2()2(1)ln()kfxxxkN????，()fx?表示()fx的导函数.
（Ⅰ）当k为偶数时，正项数列??na满足11a?，21()3nnnafaa????，求数列??na的通项
公式；
（Ⅱ）当k为奇数时，设1()2
nbfnn???
，设数列??nb的前n项和为nS.
①证明不等式11(1)nbnbe???对一切正整数n均成立（e为自然对数的底数）；
②比较20141S?与ln2014的大小，并说明理由.
Gothedistance
-5-
Gothedistance
-6-
Gothedistance
-7-
Gothedistance
-8-
Gothedistance
-9-
Gothedistance
-10-
Gothedistance
-11-
|
|
