Gothedistance
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2014年重庆一中高2014级高三下期第一次月考
数学试题卷（理科）2014.3
一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
（1）已知复数
21izi??
（i是虚数单位），则复数z的虚部为（）
（A）i（B）1（C）i?（D）?
（2）已知条件
p
：?是两条直线的夹角，条件
q
：?是第一象限的角。则“条件
p
”是“条
件
q
”的（）
（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件
（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件
（3）（原创）以下茎叶图记录了甲、乙两组各6名学生在一次数学
测试中的成绩（单位：分）。已知甲组数据的众数为124，乙组数
据的平均数即为甲组数据的中位数，则
x
、
y
的值分别为（）
（A）4、5（B）5、4（C）4、4（D）5、5
（4）（原创）已知实数
,xy
满足
41??
，则
xy
的值域为（）
（A）
10,16??????
（B）
11,1616???????
（C）
1,16????
（D）
8????
（5）某几何体的三视图如右图所示，则它的表面积为（）
（A）45?（B）54?（C）63?（D）69?
（6）已知一个四面体的一条棱长为
6
，其余棱长均为2，则这个四
面体的体积为（）
（A）1（B）
3
（C）
22
（D）3
（7）已知函数
??33fxxxc???
的图像与x轴恰好有三个不同的公共点，则实数c的取值
范围是（）
（A）
??1,1?
（B）
??,1?
（C）
??2,2?
（D）
??2,2?
（8）执行如右图所示的程序框图，则输出的s的值等于（）
（A）13（B）15（C）36（D）49
（9）??000
203sin70tan804cos102cos10?????
（）
（A）
3
（B）2（C）
23
（D）4
（10）（原创）已知
,,DEF
分别是ABC?的三边
,,BCCAAB
上的
Gothedistance
2
点，且满足
23AFAB?
，
34AEAC?
，
??||cos||cosABACADRABBACC???????????
，DEDADEDC???
，
??sincos||||BDBADBDFRBDAD?????
。则
||:||EFBC?
（）
（A）
13
（B）
12
（C）
33
（D）
22
二．填空题（本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分）
（11）正项等比数列
??na
中，
12139aa?
，则
9192924logloglogaaa????
。
（12）已知集合
??2|230AxRxx????
，集合
??||2BxRx???
，则集合AB?
。
（13）（原创）小钟和小薛相约周末去爬尖刀山，他们约定周日早上8点至9点之间（假定
他们在这一时间段内任一时刻等可能的到达）在华岩寺正大门前集中前往，则他们中先到者
等待的时间不超过15分钟的概率是（用数字作答）。
特别提醒：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前
两题给分。
（14）（原创）如图，在ABC?中，3AB?，4BC?，5CA，D是BC的中点，BEAC?
于E，BE的延长线交DEC的外接圆于F，则EF的长为。
（15）在直角坐标系
xOy
中，以为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐
标系。已知点
??1,0P?
，若极坐标方程为
96cos6sin???????
的曲线
与直线
143xtyt????????
（t为参数）相交于A、B两点，则||||PAPB??
。
（16）若关于实数x的不等式
|15||13|||xxax????
无解，则实数a的
取值范围是。
三．解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤）
（17）（本小题满分13分，⑴小问6分，⑵小问7分）
设
????2713xfxeaxx???
，其中aR?，曲线
?yfx?
在点
????1,1f
处的切线与直线l
：
20exye???
平行。
（1）确定a的值；
（2）求函数
??fx
的单调区间。
Gothedistance
3
（18）（本小题满分13分，⑴小问5分，⑵小问8分）
（原创）小张有4张VCD光盘和3张DVD光盘，小王有2张VCD光盘和1张DVD光盘，所
有10张光盘都各不相同。现小张和小王各拿一张光盘互相交换，求：
（1）小张恰有4张VCD光盘的概率；
（2）小张的DVD光盘张数X的分布列与期望。
（19）（本小题满分13分，⑴小问5分，⑵小问8分）
（原创）如图，在四面体BCDA?中，?AD平面BCD，BCCD?，2CD?，4AD?。M
是AD的中点，P是BM的中点，点
Q
在线段AC上，且
QCAQ3
。
（1）证明:
//PQ
平面BCD；
（2）若异面直线与CD所成的角为
045
，二面角DBMC??的大小为?，求cos?的
值。
（20）（本小题满分12分，⑴小问5分，⑵小问7分）
（原创）在ABC?中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且
??sinsin3sinbBaAcaC???
。
（1）求角B的大小；
（2）设
??24cos40bbAC????
，求ABC?的面积S。
Gothedistance
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（21）（本小题满分12分，⑴小问5分，⑵小问7分）
（原创）如图所示，椭圆?：
??2210xyabab????
的左右焦点分别为
12,FF
，椭圆?上
的点到
,FF
的距离之差的最大值为2，且其离心率e是方程
24830xx???
的根。
（1）求椭圆?的方程；
（2）过左焦点
1F
的直线l与椭圆?相交于
,AB
两点，与圆
222xya??
相交于
,CD
两点，
求
||ABCD
的最小值，以及取得最小值时直线l的方程。
（22）（本小题满分12分，⑴小问3分，⑵小问4分，⑶小问5分）
（原创）在数列
??na
中，已知
11?
，
23a?
，其前n项和
nS
满足
????12nnnSaanN????
。
（1）求
345,,aaa
的值；
（2）求
n
的表达式；
（3）对于任意的正整数2n?，求证：
??121221nnaan???
。
Gothedistance
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2014年重庆一中高2014级高三下期第一次月考
数学答案（理科）2014.3
一．选择题：BDACBACDCD
二．填空题：11．12；12．
??|12xx???
；13．
716
；14．
1415
；15．2；16．
??,8??
17．解：⑴由题
????????2271327276xxxfxeaxxeaxeaxax??????????????
，
故
????131fea???
。因直线l的斜率为2e，故
??312ae??
，从而a?；
⑵
????????25623xxfxexxexx???????
，由
??0fx??
得2x?或3x?，由??0fx??
得23??。故
?fx
的单增区间为
??,2??
和
??3,??
，单减区间为
??2,
。
18．解：⑴记事件A为“小张和小王各拿一张VCD光盘交换”，事件B为“小张和小王
各拿一张DCD光盘交换”，则
,AB
互斥，且
?4287321PA????
，
??3137321PB??
，故所
求概率为
??????1121PABPAPB???
；
⑵X所有可能取值为
2,3,4
，且
??3222737PX?????
，
??42311137321PX???????
，
??4144321???
。故X的分
布列如右表，X的期望
2114612347212121EX???????
。
19．法一：⑴如图，连AP并延长交BD于E，连CE
，过M作//NBD交于N，则ANNE?，NPPE?
。故3PE?，从而
//PQCE
。因
PQ?
平面BCD，CE?平面BCD，故
//
平面BCD；
⑵过C作FBD?于F，作CRBM?于R，连FR。
因?AD平面，故平面ABD平面，故CF
平面ABD，因此CFBM，从而BM平面RCF
，所以CRF???即为二面角D??的平
面角。因
//PQCE
，故
045DE
，因此CE即为BCD?的角平分线。由⑴易知
234P
27
1121
4
R
FE
N
B
P
M
D
C
A
Q
Gothedistance
6
22DEMNEB??，故2DCBC?，从而1BC?，22122512CF??。由题易知BC?
平面ACD，故BC?CM。由题
22CM?
，故
12222318CR??
。所以
sinCFCR?310
，从
而
110cos1010?
。
法二：如图建立空间直角坐标系，则
??0,0,0C
，??2,,D
，
?,,4A
，
??2,2M
，
?12,0,1Q
。
⑴设
??0,,0By
，则
??1,2,1Py
，因此
??12,2,0Py?
。显然
??0,0,4DA
是平面BCD
的一个法向量，且
0QPDA??
，所以
//PQ
平面BCD；
⑵由⑴
1PC
，
21||
44yQP??
，
||2CD?
，故由
0cos45||||QPCDQPCD??
得
1y?
，
因此
??0,1,0B
，从而
??2,1,0BD??
，
??2,1,2BM
。设
?11,,mxyz
是平面BMD的
法向量，则
11
111
20220xyxyz???????
?
，取
11x?
得
??1,2,0m?
。设
??222nxyz?
是平面C
的法向量，则
1
111
0220yxyz??????
?
，取
11x?
得
??1,0,n
。故
10cos||10||||mnmn????
。
20．解：⑴由正弦定理可得
??223bacac??
，即
2223acacb???
，故由余弦
定理得
2223cos22acbBac??
，因此
030B?
；
⑵因
????2216cos1616sin0ACAC????????
，故
??2sin0AC??
，得AC?，
且
??4cos22ACb?
。故
2220222cos30aa??
，得
2484323a????
，故
201sin30232Sa???
。
z
yx
B
P
M
D
C
A
Q
Gothedistance
7
21．解：⑴设P是椭圆?上任意一点，则1212
||||||2PFPFFFc???
，故1?。解方
程
24830xx???
得
12x?
或
3x
。因01e??，故
cea??
，因此2a，从而
23b?
。
所以椭圆?的方程为
2243xy??
；
⑵法一：焦准距
23apcc???
，设
??10OFB???????
，则
13||2cosFB???
，
13||2cosFA???
，故
2124cosAB???
。易知
222||22sin23cosCD??????
，故
??22222||136||3cos4cosABCD??????
。令
??24cos3,4t????
，则
??222||36||7ABCDtt??
。令????
27fttt??
，则
????23141430fttttt???????
，故
?ft
在
??3,4
单调递增，从而????448ftf??
，得
2
2||363||3||484||2ABABCDCD????
，当且仅当4t?即
2??
时取等
号。所以
||ABCD
的最小值为
32
，取得最小值直线l的方程为1x??。
法二：当lx?轴时易知
||3AB?
，
||23CD?
，有
||3||2ABCD?
。当l与x轴不垂直时，
设l：
??1ykx??
，代入
22143xy??
并整理得
??22224384120kxkxk?????
，故
??????2222222221222284121212||114434343kkkABkxxkkkk????????????????????????????????
。圆心O
到l的距离
2
||1kdk??
，故
2221216|44
11kk????????????
，令
21tk??
，则
2
2||||ABCD?
????
3
232
3636
1311115848
t
tt
ttt
???????
????????????
。令
1st?
，且
??325848fssss????
，则??????
23108324fsssss???????
。因1t?，故
??0,1s?
，因此
??0fs??
，从而
Gothedistance
8
????048fsf??
，可知
2
2||363||3||484||2ABABCDCD????
。综上知
||ABCD
的最小值为
32
，
取得最小值直线l的方程为1x??。
22．解：⑴依次令
3,4,5n?
可得
35a?
，
47a?
，
59a
；
⑵法一：由⑴猜想
21nan
，下面用数学归纳法证明：①当
1,2n?
时结论显然成立；
②假设
??,2nkkNk???
时结论成立，即
kak??
，则
??111112kkkkkaSSa????????
??????211121111121212222kkkkkkkkaakakkak??????????????????
，故当1nk??
时结论成立。综上知结论成立。
法二：猜想n，下面用第二数学归纳法证明：①当
1,2n?
时结论显然成立；
②假设
??nkkNk???
时结论成立，即
??21,mammkmN?????
，则
??1112kka????
????
2211111132112121kkkkkSkakakakkak?????????????????????
，
故当1时结论成立。综上知结论成立。
法三：由题
??????11111111122nnnnnnnnnSSaanana???????????????
，当2n?
时，
??1111111nnaannnnnn???????
，故
111
22
1111ii
ii
aaiiii???
??
???????????????????
，因此
??21121211nnaaannnn?????????
。又
11a?
，故
21nan??
。
⑶法一：由⑵知
??na
为等差数列，故
112211nnnnaaaaaaaa??????????
。由
????2244xyxyxy??
知
?
一定时，要使
xy
最小，则
||?
最大。显然
11naa?????2||2knkaakn?????
，故
??????????211211121111nnnnnnaaaaaaaaaaa???????
，因
此
????221211121nnnnaaaaan?????
，从而
?121221nnan???
。
法二：因为
??????111,121!kkknnnkCkNknnkn?????????????????????
，所以
Gothedistance
9
0
2211212121nknkn
kCnnnn?
?????????????????????
，故
????12321nnnn????
，因此21n??
??
??
2
1
2
23
21
n
n
n
n?
?
?
，从而
????????111221
2
232121
21
in
iii
iin
i
???
???
?????
???
，即
??121221nnaaan???
。
法三：①当2n?时不等式显然成立；②假设
??2nkk??
时不等式成立，即??
121221kkaaak???
，则如“法二”可证
??
??
2
11
2
2321
21
k
kk
kak
k??
????
?
，故
121kaaa??
????????121
2
2123
kkk
k
kkk
k
?
?
?????
?
，即当1nk??时不等式成立。综上得证。
|
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