Gothedistance
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2014年重庆一中高2014级高三下期第三次月考
数学试题（理科）2014.5
数学试题共4页，共21个小题。满分150分。考试时间120分钟．
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用
橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．
一、选择题.(共10小题，每小题5分，共50分.)
1.已知集合2{1},{1}MxyxNyyx??????，则MN?（）
A.{(0,1)}B.{1}xx??C.{0}xx?D.{1}xx?
2.设复数z满足()(1)1,(ziiii????是虚数单位），则z?（）
A.1B.2C.3D.4
3.命题“若1,x?则22x?”的否定是（）
A.21,2xx???B.21,2xx???C.21,2xx???D.21,2xx???
4.双曲线2213yx??上一点P到左焦点的距离为4，则点P到右准线的距离为（）
A.1B.2C.3D.1或3
5.一个圆锥被过其顶点的一个平面截去了较少的一部分几何体，余下的几何体的三视图如下
图，则余下部分的几何体的体积为()
A.169?B.162393??C.8393??D.16233??
6.根据上面的程序框图，若输出的结果600?T，则图中横线上应填（）
A.48B.50C.52D.54
7.对于集合A，若满足：,aA?且1,1aAaA????，则称a为集合A的“孤立元素”，
则集合}10,,3,2,1{??M的无．“孤立元素”的含4个元素的子集个数共有（）
A.28B.36C.49D.175
8.已知圆O的半径为1，四边形ABCD为其内接正方形，EF为圆O的一条直径，M为正
方形ABCD边界上一动点，则MFME?的最小值为（）
（第5题图）
0T?
2I?
whileI?
TTI??
2II??
Endwhile
PrintT
（第6题图）
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2
A.34?B.12?C.14?D.0
9.在ABC?中，角,,ABC的对边分别为,,abc，若2222014,abc??则tantantantanCCAB??（）
A.22013B.12013C.22014D.12014
10.设,,1,abRab????则2214ab???的最小值为（）．
A.22?B.22.C3D.10
二．填空题.(本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分)
11.某商场销售甲、乙、丙三种不同类型的商品，它们的数量之比分别为2:3:4，现采用分
层抽样的方法抽出一个容量为n的样本，其中甲种商品有12件，则此样本容量n=；
12.已知()fx是定义在R上的奇函数，对Rx??恒有)2()1()1(fxfxf????，且当
)2,1(?x时，2()31,fxxx???则1()2f?；
13.等差数列{}na的前n项和为nS，若123,2,3SSS成公比为q的等比数列，则q=；
特别提醒：14~16题，考生只能从中选做两题；若三道题都做的，则只计前两题的得分．
14.已知ABC?的中线,ADBE交于,K3,AB?且,,,KDCE四点共圆，则
CK?；
15.在直角坐标系yOx??中，极点与直角坐标系原点重合，极轴与x轴非负半轴重合建立
极坐标系，若曲线
2
sin,(sin,xy???????
?
为参数）与曲线sina???有两个公共点，则实数a的取
值范围是；
16.若关于x的不等式232|2|4xxxax????在??10,1?x内恒成立,则实数a的取值范围
是．
三．解答题.(共6小题，共75分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．)
17.（13分）
已知()2sincos(),(0,)fxxx?????????????的单増区间为
5[,],()1212kkkZ???????．
（1）求,??的值；
（2）在ABC?中，若()3,fA?求角A的取值范围．
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3
18.（13分）
如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为1234,,,TTTT，已知每个元件正常工作的概
率均为32，且各元件相互独立．
（1）求电流能在M与N之间通过的概率；
（2）记随机变量?表示1234,,,TTTT这四个元件中正常工作的元件个数，求?的分布列及数
学期望．
19.（13分）
如图，多面体ABCDS中，四边形ABCD为矩形，,,SDADSDAB??且
22,,ABADMN??分别为,ABCD中点．
（1）求异面直线,SMAN所成的角；
（2）若二面角ASCD??大小为?60，求SD的长．
20.（12分）在数列{}na中，nnSa,0?为其前n项和，向量
2(,),(1,1)nnABSpaCDp????，且,//CDAB其中0?p且1?p．
（1）求数列{}na的通项公式；
（2）若12p?，数列{}nb满足对任意nN??，都有
12111...212nnnnbababan???????
，
求数列{}nb的前n项和nT．
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4
21.（12分）
已知函数)ln1()(xxxf???．
（1）求()fx的单调区间和极值；
（2）若121212,0,,0,1xxpppp????，求证：)()()(22112211xpxpfxfpxfp???．
22.（12分）
已知椭圆22:1xyCab??的一个焦点与抛物线24yx?的焦点重合，且椭圆C经过点
M3(3,)2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求椭圆C的任意两条互相垂直的切线的交点P的轨迹方程；
（3）设（2）中的两切点分别为BA,，求点P到直线AB的距离的最大值和最小值．
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MN
C
D
A
S
B
E
数学试题参考答案（理科）2014.5
一、选择题：CBCDBBABAD
二．填空题：11.5412.5413.
32或322
14.115.(0,1]16.(,4]??
三．解答题.
17.（1）()2sin(coscossinsin)sin2cos(1cos2)sinfxxxxxx??????????????
=sin(2)sinx?????，由已知可得，,1.T?????即()sin(2)sin.fxx?????
又当512xk????时，()fx取最大值，即52()2,(,)122kmkmZ??????????
解得2,()3nnZ???????，由于,.3???????????故1,.3??????
（2）3()sin(2).32fxx????由()3,fA?得3sin(2),32A???而
52,333A???????由正弦函数图象得，
252(,)(,),(0,)(,).3333332AA?????????????
18.(1)记事件iA为“元件iT正常工作”，4,3,2,1?i，事件B表示“电流能在M与N之间
通过”，则32)(?
iAP
，由于4321,,,AAAA相互独立，所以32142144AAAAAAAAB???，
法一：)()()()()(3214214432142144AAAAPAAAPAPAAAAAAAAPBP??????
81703232313132323132?????????；
法二：从反面考虑：
??))(1()(1)(1)(2134AAPAPAPBP??????817081111))31(1(3213112???????????????；
(2)由题?～)32,4(B，4,0,)31()32()(4
4????kCkPkkk?
，
易得?的分布列如右，期望38)(??E.
19.法一（几何法）:（1）,,.SDADSDABSDABCD????面连MN,
则由已知,AMND为正方形,连,DM则,DMAN?又DM是SM在面
?01234
P
811818812481328116
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MN
C
DA
B
S
z
x
y
ABCD上的射影,由三垂线定理得,SMAN?.所以直线SM与AN所成的角为090.
(2),,ADCDADSDAD????面SCD,过D作DESC?于E,
连AE,则AED?为所求二面角ASCD??的平面角060.则在ADERt?中易得3,3DE?
设SDa?，在SDCRt?中，
2
23211,.3114aDESDaa??????
法二:（向量法）(1)以D为原点，分别以,,DSDADC为,,xyz轴建系，则
(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1),(0,0,2)ANMC，设)0,(aS，则
(0,1,1),(,1,1),ANSMa????0??SMAN，故SM与AN成?90角；
(2)设平面ASC的一个法向量为
1(,,),(,1,0),(0,1,2)nxyzASaAC?????,
由),2,2(
0
0
1
1
1aan
ACn
ASn??
??
???
??
??,又显然平面SDC的一个法向量为
2(0,1,0)n?,由题有：012222211cos60cos,.1144annSDaaa???????
20.（12分）解：（1）2//(1).nnABCDpSpa????由21111,(1),npapaap??????
又由2
211
(1)
(1)nn
pSpa
pSpa??
??????
?????
，两式相减得：
1111(1),.nnnnnpaaaaap????????
所以数列{}na是以首项为p，公比为1
p
的等比数列，21(),().n
nanNp????
（2）法一：当21?p时，2,2Nnann???，
在
12111...212nnnnbababan???????
中，令1,n?则
111111121,,1.222baab???????
因为
1211211...212nnnnnbabababan?????????
，()a
所以1
1122221111...2,(2)22nnnnnbabababann?????????????
，
将上式两边同乘公比12
p?
得，12112...21,(2)nnnnbababann?????????，()b
()a减去()b得，1,.(2)2nnnbabnn????，又11,b?所以)(,Nnnbn??
所以{}nb的前n项和2)1(??nnT
n
。
法二：计算可得,2,121??bb故猜想nbn?，于是2)1(??nnT
n
，下用第二数学归纳法证
明：nbn?
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?1当1?n时，11?b，命题成立；
?2设kn,,2,1??时，nbn?，则1??kn时，因为
12121112211???????????kababababkkkkk?，即
1212222221111021?????????????????kbkkkkk?，由错位相减法可得：
122222211021????????????kkkkk?，代入上式得11???kbk，综上??2,1有：
)(,Nnnbn??。
21.（1）由于xxfln2)(/??，令2/0)(????exxf，列表：
于是()fx在22(0,),(,)ee??????，在2??ex处取得极小值，极小值为
221)(eef???
，
无极大值；
（2）令112112()()()()gxpfxpfxfpxpx????，不妨设120xxx???，
则22112112111()()(),0gxpfxpfpxpxpxpxxpxpx???????????，
112,pxpxx???而()ln2fxx???在(0,)??上是增函数，所以112()(),fxfpxpx????
()0,()gxgx???在12[,]xx是增函数，所以21()()0,gxgx??即
)()()(22112211xpxpfxfpxfp???；（又或，本题（2）问还可以用函数凹凸性的性质：
因01)(//??xxf，故)(xf为下凸函数，而0,21?pp且121??pp，故由下凸函数得性
质知)()()(22112211xpxpfxfpxfp???，直接利用函数凹凸性的性质是否要扣分请酌
情处理）。
22.（1）C：221.43xy??
（2）?1当两切线21,ll的斜率有一条不存在（另一条斜率必为0）时，易得此时点)3,2(??P
（四个）；?2当两切线21,ll的斜率均存在且不为0时，设nxkylmkxyl?????1:,:
21
，
设),(00yxP,则?????00kxym，?????
001xkyn
联立
01248)34(124322222?????????????mkmxxkyxmkxy，因为mkxyl??:1与椭圆相
切，故0??，于是得到3422??km，同理34
22??kn
，于是
x),0(2?e2?e),(2???e
)(/xf负0正
)(xf单减极小值单增
Gothedistance
8
??
???
????
?????
??
???
????
????
??
?
???
???
???
22000202
22020020
2
2
0200
2
0
22020020
2
200
2200
342
342
3412
342
34)1(
34)(
kxykxyk
kxkykxy
kxkyxky
kxkykxy
kxky
kkxy
两式相加得)1(7)1()1(2202202?????kxkyk，即72020??yx，显然)3,2(??P也
在此曲线上，综上，动点P的轨迹方程为722??yx；
（3）设动点),(00yxP，则72020??yx，下先证明直线AB的方程为001.43xxyy??设两
切点1122(,),(,)AxyBxy，设过11(,)Axy的切线：111(),yykxx???代入椭圆方程得：
22211111111(34)8()4()120,kxkykxxykx???????由0??得，
221111()340;ykxk????又22111.43xy??22221111343,443yxxy????，代入得：
211111
1
33()0,,44xkyxky?????于是过11(,)Axy的切线111:1,43xxyyl??当过11(,)Axy的
切线斜率不存在时仍然符合上式，同理过22(,)Bxy的切线22
2:1.43xxyyl??
而12,ll均过
00(,)Pxy，故10101.43xxyy??20201.43xxyy??由此可得直线AB的方程为001.43xxyy??
所以P点到直线AB的距离
2222
0000
2
0
2222
0000
711
164343
77
169169
xyxx
xd
xyxx
?????
????
???
，
而20[0,7]x?，所以点P到直线AB的距离的最大值和最小值分别为4737,.77
|
|
