Gothedistance
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重庆南开中学高2015级高三9月月考
数学试题（文史类）
本试卷分第1卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分,时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，
用
橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．
5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并收回，
第1卷（选择题共50分）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．设集合M={1,2,3}，N={x|
1log2?x
），则NM?=()
A．{3}B．{2,3}C．{1,3}D．{1,2,3}
2．已知等比数列{n
a
}满足：
9273???aa
．等，则5
cosa
=()
A．
21?
B．
31?
C．±
2
D．±
23
3．已知
31)2sin(??a?
，则acos的值为()
A．
31
B．
3?
C．
97
D．
97?
4．已知命题
xxRxplg2,:????
，命题
0,:2??xRq
,则()
A．命题
p?
是假命题B．命题
qp?
是真命题
C．命题
)(q??
是真命题D．命题
)(q??
是假命题
5．若x>0,y>0且
12)21(2??yx
，则
yx11?
的最小值为()
A．3B．
22
C．2D．3+
22
6．函数
2ln4)(xxxf??
的大致图象是()
7．若
)(xf
是奇函数，且0是函数
xexfy??)(
的一个零点，则0
x?
一定是下列哪个函
数的零点()
A．
1)(???xxfy
B．
)(??exf
C．
1)(??xefy
D．
)(?xxfy
8．在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知
acb41??
，CBsin3sin2?，
则cosA=()
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2
A．
41?
B．C．
87
D．
1611
9．已知
),(yxP
为区域
??
?????axxy0022
内的任意一点，当该区域的面积为4时，
yxz??2
的
最大值是()
A．6B．0C．2D．
22
10．在△ABC中，E，F分别在边AB,AC上，D为BC的中点，满足
2||||||||||||???ACABFACFEBAE
，0??DFDE
,则cosA=()
A．0B．
23
C．
4
D．
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第Ⅱ卷（非选择题共100分）
二．填空题：本大题共5小题，每小l15分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上．
11．已知
),(23Rbaibiia????
，其中i为虚数单位，则ba?=____________.
12．已知等差数列{n
a
}的前n项和为n
S
，若64
8aa??
，则9
S
=____________.
13.已知
a
为单位向量，
3|2|),4,3(???bab
,则
?b
____________.
14．设m，n，p∈R，且
pnm???2
，
22212pnm??
，则p的最大值和最小值的差
为___．
15．函数
?
?
?
?
??
?
?
?
??
??
??
?
0,1)
2
1(
20,
2
sin
2),1(log
)(
2015
x
xx
xx
xf
x
?
，若a,b,c,d是互不相等的实数，且)()()()(dfcfbfaf???
，则a+b+c+d的取值范围为___.
三．解答题：本大题6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题13分）
等差数列{n
a
}足：
642??aa
，36
Sa?
，其中n
S
为数列{n
a
}前n项和．
(I)求数列{}通项公式；
(II)若Nk?，且k，k3，k
S2
成等比数列，求k值．
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3
17．（本小题13分）
某中学高二年级的甲、乙两个班中，需根据某次数学预赛成绩选出某班的5名学生参加数学
竞赛决赛，已知这次预赛他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班5
名学生成绩的平均分是83，乙班5名学生成绩的中位数是86．
(I)求出x，y的值，且分别求甲、乙两个班中5名学生成绩的方差
21S
、
22
，并根据结果，
你认为应该选派哪一个班的学生参加决赛？
(II)从成绩在85分及以上的学生中随机抽取2名．求至少有1名来自甲班的概率．
18．（本小题13分）
已知函数
)(ln)(Raxaxxf???
(I)当a=2时，求曲线
)(fy?
在点A(1，f（1）)处的切线方程；
(II)讨论函数f(x)的单调性与极值．
19．（本小题12分）
设函数
)0(41coscos)6sin()(2???????????xxxxf
图像上的一个最高点为A，其相
邻的一个最低点为B，且|AB|=
2
．
(I)求?的值；
(II)设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且b+c=2，
3??A
，求
)(af
的值域．
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20.（本小题12分）已知数列{n
a
}的前n项和为n
S
，且满足
)(2NnanSnn???
．
(I)证明：数列
}1{?
为等比数列，并求数列{
a
}的通项公式；
(II)数列{n
a
}满足
))(1(log2Nnaabnnn????
，其前n项和为n
T
，试求满足
201522???nnTn
的最小正整数n．
21.（本小题12分）
对于函数
)(xfy?
与常数a，b，若
bxafxf??)()2
恒成立，则称（a，b）为函数
(f
的一个“P数对”：设函数
)(xf
的定义域为
?R
，且f(1)=3．
(I)若（a，b）是
)(xf
的一个“P数对”，且
6)2(?
，
9)4(?f
，求常数a，b的值；
(Ⅱ)若(1，1)是的一个“P数对”，求
))(2Nnfn?
；
(Ⅲ)若(
0,2?
)是
)(f
的一个“P数对”，且当
)2,1[?x
时，
|32|)(???xkxf
，求k的值
及
)(xf
茌区间
))(2,1[Nn?
上的最大值与最小值．
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重庆南开中学高2015级高三9月月考
数学试题（文史类）参考答案
一、选择题
ABDCDBCAAD
二、填空题
11．512．3613．514．31615．）20174（,
三、解答题
16．【解】（Ⅰ）由条件，111361
5331nadadaanadadd??????????????????
；
（Ⅱ）(1)2
nnnS??
，∵22329(21)4kkkaaSkkkkk????????．
17．【解】(Ⅰ)甲班的平均分为
1748284(80)908355xxx?????????
，易知6y?．
2127.2S?；又乙班的平均分为283x?，∴2257.2S?；
∵12xx?，2212SS?，说明甲班同学成绩更加稳定，故应选甲班参加．
(Ⅱ)85分及以上甲班有2人，设为,ab；乙班有3人，设为zyx,,，从这5人中抽取2人
的选法有：,,,,,,,,,abaxayazbxbybzxyxzyz，共10种，其中甲班至少有1名学生的选法
有7种，则甲班至少有1名学生被抽到的概率为710P?.
18．【解】（Ⅰ）2a?时，()2lnfxxx??，2()1fxx???，∴(1)1kf????，
又(1)1f?，故切线方程为：11(1)yx????即2yx???.
（Ⅱ）函数()fx的定义域为(0,)??，令()10afxxax??????
①当0a?时，()fx在(0,)??上单调递增，无极值；
②当0a?时，()fx在(0,)a上单调递减，在(,)a??上单调递增，
()lnffaaaa???极小，无极大值.
19．【解】(Ⅰ))62sin(21)(????xxf，由条件，2222????????T.
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(Ⅱ)由余弦定理：bcbccbAbccba343)(cos22222????????
又1022??????bcbccb，故412??a，又acb???2，故21??a
由)6sin(21)(????aaf，613667???????a，所以)(af的值域为)41,21[?.
20．【解】（Ⅰ）当1n?时，111121aaa????；
当2n?时，
1111
212221(1)2nn
nnnnn
SnaaaaaaSna
????
??????????????
?
；
即112(1)nnaa????（2n?），且112a??，故??1na?为等比数列
1221nn?????（nN?）.
（Ⅱ）(21)2nnnbnnn??????
设231222322nnKn?????????…………………①
23121222(1)22nnnKnn???????????……………②
①?②：231112(12)222222(1)2212nnnnn
nKnnn????????????????????…
∴1(1)22nnKn?????，∴1(1)(1)222n
nnnTn???????
，
21(1)22201582n
nnnTnn??????????
，∴满足条件的最小正整数8n?.
21．【解】（Ⅰ）由题意知
???????)4()2()2()1(fbaffbaf，即???????9663baba，解得：?????31ba
（Ⅱ）由题意知(2)()1fxfx??恒成立，令2()Nkxk??，
可得1(2)(2)1kkff???，∴{(2)}kf是公差为1的等差数列
故0(2)(2)nffn??，又0(2)(1)3ff??，故(2)3nfn??．
（Ⅲ）当[1,2)x?时，()|23|fxkx???，令1x?，可得(1)13fk???，解得4k?，
所以，[1,2)x?时，()4|23|fxx???，故()fx在[1,2)上的值域是[3,4]．
又(2,0)?是()fx的一个“P数对”，故(2)2()fxfx??恒成立，
当1[2,2)kkx??()Nk?时，
1[1,2)2kx??
，
()2()4()24xxfxff????…11(2)()2kkxf????，
故k为奇数时，()fx在1[2,2)kk?上的取值范围是11[32,2]kk???；
当k为偶数时，()fx在1[2,2)kk?上的取值范围是11[2,32]kk?????．
所以当1n?时，()fx在[1,2)n上的最大值为4，最小值为3；
当3n?且为奇数时，()fx在[1,2)n上的最大值为12n?，最小值为2n?；
当n为偶数时，()fx在[1,2)n上的最大值为2n，最小值为12n??．
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