Gothedistance
-1-
5π
12
-π
3
2
O
y
x
秘密★启用前
2014年重庆一中高2015级高三上期第二次月考
数学试题卷（理科）
数学试题共4页。满分150分。考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡
皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、选择题（本题共10个小题，每小题5分，共50分）
1．已知集合????1,1AB?，2，2，则可以确定不同映射:fAB?的个数为()
A.1B.2C.3D.4
2．已知集合????2|20,|MxxxNxxa?????，若MN?，则实数a的取值范围是()
A．[2,)??B．(2,)??C．(,0)??D．(,0]??
3．已知,(0,)????，则2?????是sincos???的()
.A充分不必要条件.B必要不充分条件.C充要条件.D既不充分也不必要条件
4．函数()sin()(0,0)fxAxA???????的部分图象如图所示，则?)(xf（）
A．π2sin(2)6x?B.π2sin(2)3x?
C.π2sin(4)3x?D.π2sin(4)6x?
5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．53
6
B.43
3
C.53
3
D.3
6．方程xax???2)2(log
21
有解，则a的最小值为()
A.2B.1C.23D.21
7．函数()sin(2)3cos(2)fxxx??????,（2???）的图像关于点
(,0)6?对称，则()fx的增区间()
A．5,,
36kkkZ?????????????
B．,,
63kkkZ??????????????
第5题
Gothedistance
-2-
C．5,,
1212kkkZ??????????????
D．7,,
1212kkkZ???????????????
8．1+cos204sin10tan80sin20??????()
A.1B.2C.3D.2
9．已知函数()fx的导函数为()fx?，且满足()2()fxfx??，则()
A．2(2)(1)fef?B．2(0)(1)eff?
C．9(ln2)4(ln3)ff?D．2(ln2)4(1)eff?
10．给定实数(0)aa?，:fRR?对任意实数x均满足(())()ffxxfxa??，则()fx的零
点的个数（）
A.0B.1C.2D.3
二、填空题（本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分）
11．函数
43)1ln(2?????xxxy
的定义域为______________．
12．在△ABC中，60423AACBC????，，,则ABC?的面积_______________．
13．已知定义在R上的函数
()fx
满足：
2
2
2,[0,1),()2,[1,0),xxxx????????
?
且
(2)()fxfx??
，
252xgxx???
，则方程
()()fxgx?
在区间[5?，1]上的所有实根之和为_____________．
14.如图所示，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB＝3，BC＝22，则⊙O的半径
等于_____________．
15．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两
种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是1
3xtyt???????
(t为参数)，
圆C的极坐标方程是4cos???，则直线l被圆C截得的弦长为____________．
16．若不等式4|1||3|xxaa?????对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是
_________．
三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本题满分13分）
已知函数f(x)＝2cos()[sin()3cos()]333xxx???????．
(1)求f(x)的值域和最小正周期；
(2)方程m[f(x)＋3]＋2＝0在[0,]6x??内有解，求实数m的取值范围．
Gothedistance
-3-
18．（本题满分13分）
已知函数f(x)＝ax2+bx－a－ab(a≠0)，当(1,3)x??时，f(x)>0；当(,1)(3,)x??????时，
f(x)<0．
(1)求f(x)在(1,2)?内的值域；
(2)若方程()fxc?在[0,3]有两个不等实根,求c的取值范围．
19.（本题满分13分）
如图，在多面体111ABCABC?中，四边形11ABBA是正方形1ACAB??，
1111111,//,2ACABBCBCBCBCBC???
.
(1)求证：111//ABACC面；
(2)求二面角11CACB??的余弦值．
20.（本题满分12分）
设函数f(x)＝
1
3x3－ax，g(x)＝bx2＋2b－1.
(1)若曲线y＝f(x)与y＝g(x)在它们的交点(1，c)处有相同的切线，求实数a，b的值；
(2)当a＝1，b＝0时，求函数h(x)＝f(x)＋g(x)在区间[t，t＋3]内的最小值．
Gothedistance
-4-
21．（本题满分12分）
已知圆22:(1)(1)2Cxy????经过椭圆Γ∶221(0)xyab
ab????
的右焦点F，且F到右
准线的距离为2．
(1)求椭圆Γ的方程；
(2)如图，过原点O的射线l与椭圆Γ在第一象限的交点为Q，与圆C的交点为P，M为OP
的中点，求OMOQ?的最大值．
22．（本题满分12分）
设函数
()ln(1),()ln(1)1xfxaxgxxbxx???????
.
(1)若函数
()fx
在0x?处有极值，求函数
()fx
的最大值；
(2)是否存在实数b，使得关于x的不等式
()0gx?
在
??0,??
上恒成立？若存在，求出b的取
值范围；若不存在，说明理由；
(3)证明：不等式
??2111ln1,2,12nkknnk???????????
．
Gothedistance
-5-
2014年重庆一中高2015级月考考试（理科）答案
一、选择题：DAABCBDCBA
二、填空题：11.(1,1)?12.2313．7?14.
3
215.2216.};2{)0,(???
三、解答题
17解：(1)f(x)＝2sin????2x＋
π
3－3.∵－1≤sin????2x＋
π
3≤1.
∴－2－3≤2sin????2x＋
π
3－3≤2－3，T＝
2π
2＝π，
即f(x)的值域为[－2－3，2－3]，最小正周期为π.……………………………7分
(2)当x∈????0，
π
6时，2x＋
π
3∈?
???π3，2π3，故sin????2x＋π3∈????3
2，1，
此时f(x)＋3＝2sin????2x＋
π
3∈[3，2].
由m[f(x)＋3]＋2＝0知，m≠0，∴f(x)＋3＝－
2
m，即3≤－
2
m≤2，
即??
?2m＋3≤0，
2
m＋2≥0，
解得－
23
3≤m≤－1.即实数m的取值范围是?
?
?
?－23
3，－1………13分
18.解：(1)由题意，1,3?是方程ax2+bx－a－ab=0的两根，可得1,2ab???
则2()23fxxx????在(1,2)?内的值域为(0,4]………………………………………7分
(2)方程223xxc????即2230xxc????在[0,3]有两个不等实根，
设2()23gxxxc????则
(1)0
(0)0
(3)0
g
g
g
???
???
??
，解得34c??.…………………………………13分
19.解(1)作BC的中点E，连接11,,AEBECE，11//BCCE且11BCCE?，?四边形11CEBC
是平行四边形，?11//BECC，则1BE//面11ACC
同理//AE11ACC1AEBEE?，?面1//BAE面11ACC
1AB?面1BAE，?1//AB面11ACC
Gothedistance
-6-
(2)四边形11ABBA为正方形,?11AAABAC???,1AAAB?，?12AB?，
11ACAB??12AC?
由勾股定理可得：190AAC??，?1AAAC?，
同理可得ABAC?,以A为原点如图建系，则
1111(1,0,0),(0,0,1),(,,1),(0,1,0)22CACB
11111111(1,0,1),(,,1),(0,1,1),(,,1)2222CACCBABC?????????
设面11ACC的法向量为1(,,)nxyz?，则11110,0nCAnCC????
0
110
22
xz
xyz
?????
???????
?
，令1z?，则1(1,1,1)n??
设面11ACB的法向量为2(,,)nmnk?，则21210,0nBAnBC????
则011
022
nk
mnk
?????
?????
?
，令1k?，则2(1,1,1)n??
所以12
12
12
1111cos,333nnnn
nn
?????????，所以??1coscos3??????
20．解：(1)因为f(x)＝
1
3x3－ax(a＞0)，g(x)＝bx2＋2b－1，
所以f′(x)＝x2－a，g′(x)＝2bx.因为曲线y＝f(x)与y＝g(x)在它们的交点(1，c)处有相同的切线，
所以f(1)＝g(1)，且f′(1)＝g′(1)，即
1
3－a＝b＋2b－1，且1－a＝2b，解得a＝
1
3，b＝
1
3.
(2)当a＝1，b＝0时，h(x)＝
1
3x3－x－1，b＝
1－a
2，
则由(2)可知，函数h(x)的单调递增区间为(,1),(1,)?????，单调递减区间为(－1，1)．
因为h(－2)＝－
5
3，h(1)＝－
5
3，所以h(－2)＝h(1)．
①当t＋3<1，即t<－2时，[h(x)]min＝h(t)＝
1
3t3－t－1.
②当－2≤t<1时，[h(x)]min＝h(－2)＝－
5
3.
③当t≥1时，h(x)在区间[t，t＋3]上单调递增，[h(x)]min＝h(t)＝
1
3t3－t－1.
综上可知，函数h(x)在区间[t，t＋3]上的最小值
Gothedistance
-7-
[h(x)]min＝??
?13t3－t－1，t∈（－∞，－2）∪[1，＋∞），
－
5
3，t∈[－2，1）.
……………………………12分
21．解：(1)在C：(x－1)2＋(y－1)2＝2中，令y＝0得F(2，0)，即c＝2，
又22ac
c??
得28a?∴椭圆Γ：
x2
8＋
y2
4＝1
(2)法一：
依题意射线l的斜率存在，设l：y＝kx(x>0，k>0)，设P(x1，kx1)，Q(x2，kx2)
由???
??y＝kx
x2
8＋
y2
4＝1
得：(1＋2k2)x2＝8，∴x2＝
22
1＋2k2.(6分)
由???
??y＝kx
（x－1）2＋（y－1）2＝2得：(1＋k2)x2－(2＋2k)x＝0，∴x1＝
2＋2k
1＋k2，
∴OM→·OQ→＝????
x1
2，
kx1
2·(x2，kx2)＝
1
2(x1x2＋k2x1x2)＝22
1＋k
1＋2k2(k>0).(9分)
＝22
（1＋k）2
1＋2k2＝22
k2＋2k＋1
1＋2k2.
设φ(k)＝
k2＋2k＋1
1＋2k2，φ′(k)＝
－4k2－2k＋2
（1＋2k2）2，令φ′(k)＝
－4k2－2k＋2
（1＋2k2）2>0，得－1
1
2.
又k>0，∴φ(k)在????0，
1
2上单调递增，在????
1
2，＋∞上单调递减．
∴当k＝
1
2时，φ(k)max＝φ?
???12＝3
2，即OM→·OQ→的最大值为23.………………12分
22．解析：（1）由已知得：
??21()11afxxx?????
，且函数
()fx
在0x?处有极值
∴
??21(0)01010af??????
，即1a?∴
()ln(),1xfxx???
∴
????2211()1xxxx????????
当
??1,0x??
时，
()fx??
，
()
单调递增；当
??0,x???
时，
()0fx??
，
()
单调递
减；∴函数
()
的最大值为
(0)0f?
（2）由已知得：
1()1gxbx????
①若1b?，则
??0,x???
时，
)01gxbx?????
Gothedistance
-8-
∴
()ln(1)gxxbx???
在
??0,??
上为减函数，
∴
()ln(1)(0)0xxbxg?????
在
??0,??
上恒成立；
②若0b?，则
??0,x???
时，
1()01gxbx?????
∴
()ln(1)gxxbx???
在
??0,??
上为增函数，
∴
()ln(1)(0)0xxbxg?????
，不能使
()0gx?
在
??0,??
上恒成立；
③若01b??，则
()01gxbx?????
时，
11xb??
，
当
10,1xb????????
时，
()0gx??
，∴
()ln(1)gxxbx???
在
10,1b???
上为增函数，
此时
()ln(1)(0)0gxxbxg?????
，∴不能使
()0gx?
在
??0,??
上恒成立；
综上所述，b的取值范围是
??1,x???
(3)由（1）、（2）得：
ln(1)(0)1xxxxx?????
，取
1xn?
得：
111ln(1)1nnn???
令
21ln1
n
nkkxnk???
，
则
112x?
，
??1222111ln101111nnnnxxnnnnnn????????????????????
.
因此
1112nnxxx????????
.又
??1211llnln1ln1ln1nnkknkkk?????????????????????
，
故
11
22211111ln1ln1111
nnn
nkkkkknxkkkkn
??
???
???????????????????????????????
因此
12xxx????????
.又
??11lnlnln1ln1ln1nkkk???????
，
故
222111ln1ln1111
nnn
nkkkkknxkkkkn????????????????????????????
??
??11122111111111111nnkkkkkkkknkk?????????????????????????????
|
|
