Gothedistance
小题专项集训(十三)立体几何（二）
(时间：40分钟满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共50分)
1．已知点M在平面ABC内，并且对空间任一点O，OM
→
＝xOA
→
＋12OB
→
＋13OC
→
，
则x的值为()．
A.16B.13C.12D．0
解析由四点共面的充要条件，知x＋12＋13＝1，因此x＝16.
答案A
2.(2011·辽宁)如图，四棱锥S－ABCD的底面为正方
形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是
()．
A．AC⊥SB
B．AB∥平面SCD
C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
解析易证AC⊥平面SBD，因而AC⊥SB，A正确；AB∥DC，DC?平面SCD，
故AB∥平面SCD，B正确；由于SA，SC与平面SBD的相对位置一样，因而
所成的角相同．
答案D
3．点M在z轴上，它与经过坐标原点且方向向量为s＝(1，－1,1)的直线l的距
离为6，则点M的坐标是()．
A．(0,0，±2)B．(0,0，±3)
C．(0,0，±3)D．(0,0，±1)
解析设M为(0,0，z)，直线l的一个单位方向向量为s0＝??????33，－33，33，
故点M到直线l的距离d＝|OM→|2－|OM→·s
0|2
＝z2－13z2＝6，解得z＝±3.
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答案B
4．在如图所示的正方体A1B1C1D1ABCD中，E是C1D1
的中点，则异面直线DE与AC夹角的余弦值为()．
A．－1010B．－120[来
源:Zxxk.Com]
C.120D.1010
解析如图建立直角坐标系D－xyz，设DA＝1，
A(1,0,0)，C(0,1,0)，E??????0，12，1.则AC
→
＝(－1,1,0)，DE
→
＝??????0，12，1，若异面直线DE与AC所成的角为θ，
cosθ＝|cos〈AC
→
，DE
→
〉|＝1010.
答案D
5．(2011·全国)已知二面角α－l－β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，
D为垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，则D到平面ABC的距离等于()．[来
源:学,科,网Z,X,X,K]
A.23B.33C.63D．1
解析∵AB
→
＝AC
→
＋CD
→
＋DB
→
，∴|AB
→
|2＝|AC
→
|2＋|CD
→
|2＋|DB
→
|2，
∴|CD
→
|2＝2.在Rt△BDC中，BC＝3.[来源:学|科|网Z|X|X|K]
∵面ABC⊥面BCD，过D作DH⊥BC于H，则DH⊥面ABC，
∴DH的长即为D到平面ABC的距离，
∴DH＝DB·DCBC＝1×23＝63.故选C.
答案C
6．如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB
＝AC，AB⊥AC，M是CC1的中点，Q是BC的
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中点，P是A1B1的中点，则直线PQ与AM所成的角为
()．
A.π6B.π4
C.π3D.π2
解析以A为坐标原点，AB、AC、AA1所在直
线为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标
系，设AA1＝AB＝AC＝2，则AM
→
＝(0,2,1)，
Q(1,1,0)，P(1,0,2)，QP
→
＝(0，－1,2)，所以QP
→
·AM
→
＝0，所以QP与AM所成角为π2.
答案D
7．如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD为正三角形，
底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M
为底面ABCD内的一个动点，且满足MP＝MC，则
点M在正方形ABCD内的轨迹为()．
解析以D为原点，DA、DC所在直线分别为x、y
轴建系如图：
设M(x，y,0)，设正方形边长为a，则[来源:学§科§
网]
P??????a2，0，32a，C(0，a,0)，
则|MC|＝x2＋?y－a?2，
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|MP|＝??????x－a22＋y2＋??????32a2.
由|MP|＝|MC|得x＝2y，所以点M在正方形ABCD内的轨迹为直线y＝12x的一
部分．[来源:Z+xx+k.Com]
答案A
8．如图所示，在四面体P－ABC中，PC⊥面ABC，AB＝BC＝CA＝PC，那么二
面角B－AP－C的余弦值为()．
A.22B.33
C．－77D.57
解析如图所示，作BD⊥AP于D，作CE⊥AP
于E.设AB＝1，则易得CE＝22，EP＝22，PA＝PB
＝2，可以求得BD＝144，ED＝24.因为BC
→
＝BD
→
＋
DE
→
＋EC
→
，所以BC
→
2＝BD
→
2＋DE
→
2＋EC
→
2＋2BD
→
·DE
→
＋
2DE
→
·EC
→
＋2EC
→
·BD
→
，
所以EC
→
·BD
→
＝－14，所以cos〈BD
→
，EC
→
〉＝－77.故选C.
答案C
9．(2013·南通一模)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1
中，E、F分别在A1D、AC上，且A1E＝23A1D，AF＝13AC，
则()．
A．EF至多与A1D、AC之一垂直
B．EF与A1D、AC都垂直
C．EF与BD1相交
Gothedistance
D．EF与BD1异面
解析设AB＝1，以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，
DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则A1(1,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，
C(0,1,0)，E??????13，0，13，F??????23，13，0，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，A1D
→
＝(－1,0，－1)，
AC
→
＝(－1,1,0)，EF
→
＝??????13，13，－13，BD1
→
＝(－1，－1,1)，EF
→
＝－13BD1
→
，A1D
→
·EF
→
＝AC
→
·EF
→
＝0，从而EF∥BD1，EF⊥A1D，EF⊥AC，故选B.
答案B
10．P是二面角α－AB－β棱上的一点，分别在α，β平面上引射线PM，PN，如
果∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，那么二面角α－AB－β的大小为
()．
A．60°B．70°C．80°D．90°[来
源:Zxxk.Com]
解析不妨设PM＝a，PN＝b，如图所示，作ME⊥AB
于E，NF⊥AB于F，因为∠BPM＝∠BPN＝45°，所以
PE＝22a，PF＝22b，所以EM
→
·FN
→
＝(PM
→
－PE
→
)·(PN
→
－PF
→
)
＝PM
→
·PN
→
－PM
→
·PF
→
－PE
→
·PN
→
＋PE
→
·PF
→
＝abcos60°－a×22bcos45°－22abcos
45°＋22a×22b＝ab2－ab2－ab2＋ab2＝0，所以EM
→
⊥FN
→
，所以二面角α－AB－β
的大小为90°.
答案D
二、填空题(每小题5分，共25分)
11．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则
x＝________.[来源:学|科|网Z|X|X|K]
解析∵a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，
∴(c－a)·(2b)＝(0,0,1－x)·(2,4,2)＝2(1－x)＝－2，解得x＝2.
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答案2
12．(2013·徐州模拟)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E
为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦
值为________．
解析如图建立直角坐标系D－xyz，设DA＝1，由已
知条件A(1,0,0)，E??????0，12，1，B(1,1,0)，C(0,1,0)，AE
→
＝??????－1，12，1，BC
→
＝(－1,0,0)设异面直线AE与BC所成角为θ.
cosθ＝|cos〈AE
→
，BC
→
〉|＝|AE
→
·BC
→
|
|AE
→
||BC
→
|
＝23.[来源:学科网]
答案23
13．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC
＝90°，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，AB
＝AC＝1，PA＝2.则直线PA与平面DEF所成角的正
弦值为________．
解析如图，以点A为原点，AB，AC，AP所在的
直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A－xyz.AB
＝AC＝1，PA＝2，得A(0,0,0)，B(1，0,0)，C(0,1，
0)，P(0,0,2)，D??????12，0，0，E??????12，12，0，F??????0，12，1.
∴AP
→
＝(0,0,2)，DE
→
＝??????0，12，0，DF
→
＝??????－12，12，1.
设平面DEF的法向量为n＝(x，y，z)．则
??
??
?n·DE→＝0，
n·DF
→
＝0，
即
??
??
??x，y，z?·??????0，12，0＝0，
?x，y，z?·??????－12，12，1＝0.
解得???x＝2z，y＝0.
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取z＝1，则平面DEF的一个法向量为n＝(2,0,1)．
设PA与平面DEF所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈PA
→
，n〉|＝
??
??
??
??PA
→
·n
PA
→
||n|
＝55，故直线PA与平面DEF所成角的正弦值为55.
答案55
14．已知：如图，△ABC是以∠B为直角的直角三角
形，SA⊥平面ABC，SA＝BC＝2，AB＝4，M、N、
D分别是SC、AB、BC的中点，则A到平面SND的
距离为________．
解析建立如图的空间直角坐标系，则N(0,2,0)，
S(0,0,2)，D(－1,4，0)，∴NS
→
＝(0，－2,2)，SD
→
＝
(－1,4，－2)．设平面SND的法向量为n＝(x，y,1)，
∵n·NS
→
＝0，n·SD
→
＝0，[来源:Zxxk.Com]
∴???－2y＋2＝0－x＋4y－2＝0，∴???x＝2y＝1，∴n＝(2,1,1)．∵
AS
→
＝(0,0,2)．
∴A到平面SND的距离为|n·AS
→
|
|n|＝
2
6＝
6
3.
答案63
15．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝BC＝
AB＝2，AB⊥BC，则二面角B1－A1C－C1的大小是
________．[来源:学_科_网Z_X_X_K]
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解析如图所示，以B为原点O，OA，OC，OB1分别为x轴、y轴、z轴建
立空间直角坐标系，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(2,0,2)，
B1(0,0,2)，C1(0,2,2)，
设AC的中点为M，M的坐标为(1,1,0)，连接BM，由
题意，知BM⊥AC，BM⊥CC1，又AC∩CC1＝C，所
以BM⊥平面A1C1CA，即BM
→
＝(1,1,0)是平面A1C1CA
的一个法向量．设平面A1B1C的一个法向量为n＝(x，y，z)，由题意，得A1C
→
＝(－2,2，－2)，A1B1
→
＝(－2,0,0)，所以
??
??
?n·A
1B1
→
＝－2x＝0，
n·A1C
→
＝－2x＋2y－2z＝0，
令z
＝1，得x＝0，y＝1，所以n＝(0,1,1)．设法向量n与BM
→
的夹角为φ，二面角
B1－A1C－C1的大小为θ，显然θ为锐角，所以cosθ＝|cosφ|＝|n·BM
→
|
|n||BM
→
|
＝12，解
得θ＝π3.
答案π3
|
|
