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| 第三章 专题一 |
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题型三利用导数研究方程解或图像交点问题思维启迪解析思维升华高考题型突破题型三利用导数研究方程解或图像交点问题思维启迪解析思维升华高考题型突破题型三利用导数研究方程解或图像交点问题思维启迪解析思维升华高考题型突破题型三利用导数研究方程解或图像交点问题思维启迪解析思维升华高考题型突破高考题型突破高考题型突破高考题型突破高考题型突破练出高分234561练出高分234561练出高分234561练出高分234561练出高分234561练出高分345621考点自测高考题型突破练出高分考点自测高考题型突破练出高分考点自测高考题型突破练出高分考点自测高考题型突破练出高分考点自测高考题型突破练出高分数学北（理）专题一高考中的导数应用问题第三章导数及其应用解析答案题号34521AA自我检测查缺补漏考点自测D夯基释疑返回高考题型突破题型一利用导数研究函数的单调性思维启迪解析题型一利用导数研究函数的单调性高考题型突破思维启迪解析题型一利用导数研究函数的单调性高考题型突破思维启迪解析题型一利用导数研究函数的单调性高考题型突破思维启迪解析题型一利用导数研究函数的单调性高考题型突破思维启迪解析题型一利用导数研究函数的单调性高考题型突破思维启迪解析高考题型突破高考题型突破高考题型突破高考题型突破题型二利用导数研究与不等式有关的问题思维启迪解析思维升华高考题型突破思维启迪解析思维升华题型二利用导数研究与不等式有关的问题高考题型突破思维启迪解析思维升华题型二利用导数研究与不等式有关的问题高考题型突破思维启迪解析思维升华题型二利用导数研究与不等式有关的问题高考题型突破思维启迪解析思维升华题型二利用导数研究与不等式有关的问题高考题型突破思维启迪解析思维升华题型二利用导数研究与不等式有关的问题高考题型突破思维启迪解析思维升华题型二利用导数研究与不等式有关的问题高考题型突破高考题型突破高考题型突破高考题型突破题型三利用导数研究方程解或图像交点问题思维启迪解析思维升华高考题型突破题型三利用导数研究方程解或图像交点问题思维启迪解析思维升华高考题型突破题型三利用导数研究方程解或图像交点问题思维启迪解析思维升华高考题型突破[－2，－1]
【例1】已知函数f(x)＝x2e－ax，a∈R.
(1)当a＝1时，求函数y＝f(x)的图像在点(－1，f(－1))处的切线方程．
(2)讨论f(x)的单调性．
【例2】已知f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－3.
(1)求函数f(x)在[t，t＋2](t>0)上的最小值；
(2)对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；
(3)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx>－成立．
(1)求f′(x)，讨论参数t求最小值；
(1)解由f(x)＝xlnx，x>0，得f′(x)＝lnx＋1，
(1)恒成立问题可以转化为我们较为熟悉的求最值的问题进行求解，若不能分离参数，可以将参数看成常数直接求解．
跟踪训练2已知函数f(x)＝sinx(x≥0)，g(x)＝ax(x≥0)．
(1)若f(x)≤g(x)恒成立，求实数a的取值范围；
(2)当a取(1)中的最小值时，求证：g(x)－f(x)≤x3.
(1)解令h(x)＝sinx－ax(x≥0)，则h′(x)＝cosx－a.
【例3】已知f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2lnx.
(1)讨论函数F(x)＝f(x)－g(x)的单调性；
(2)若方程f(x)＝g(x)在区间[，e]上有两个不等解，求a的取值范围．
(1)通过讨论a确定F(x)的符号；
跟踪训练3已知函数f(x)＝|ax－2|＋blnx(x>0)．
(1)若a＝1，f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，求b的取值范围；
(2)若a≥2，b＝1，求方程f(x)＝在(0,1]上解的个数．
3．设函数f(x)＝ex－1－x－ax2.
(1)若a＝0，求f(x)的单调区间；
(2)若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围．
解(1)F(x)＝ax2－2lnx，其定义域为(0，＋∞)，
4．已知f(x)＝x2＋3x＋1，g(x)＝＋x.
(1)a＝2时，求y＝f(x)和y＝g(x)的公共点个数；
(2)a为何值时，y＝f(x)和y＝g(x)的公共点个数恰为两个．
5．定义在R上的函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋3同时满足以下条件：
①f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；
②f′(x)是偶函数；
③f(x)的图像在x＝0处的切线与直线y＝x＋2垂直．
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)设g(x)＝4lnx－m，若存在x∈[1，e]，使g(x)
令f′(x)＝0，得x＝.
若a≥1，h′(x)＝cosx－a≤0，h(x)＝sinx－ax(x≥0)单调递减，h(x)≤h(0)＝0，则sinx≤ax(x≥0)成立．
∴F′(x)＝2ax－＝(x>0)．
对于可转化为a＝f(x)解的个数确定参数a的范围问题，都可以通过f(x)的单调性、极值确定f(x)的大致形状，进而求a的范围．
2．已知函数f(x)＝ax＋xlnx的图像在点x＝e(e为自然对数的底数)处的切线斜率为3.
(1)求实数a的值；
(2)若k∈Z，且k<对任意x>1恒成立，求k的最大值．
(1)先求切点和斜率，再求切线方程；
解(1)因为当a＝1时，f(x)＝x2e－x，
(2)先求f′(x)，然后分a＝0，a>0，a<0三种情况求解．
解(1)f(x)＝|x－2|＋blnx＝
①当0
1．已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数．
(1)求f(x)的表达式；
(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．
6．(2013·湖南)已知a>0，函数f(x)＝.
(1)记f(x)在区间[0,4]上的最大值为g(a)，求g(a)的表达式；
(2)是否存在a，使函数y＝f(x)在区间(0,4)内的图像上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．
[e，＋∞)
f′(x)＝2xe－x－x2e－x＝(2x－x2)e－x，
所以f(－1)＝e，f′(－1)＝－3e.
(2)f′(x)＝2xe－ax－ax2e－ax＝(2x－ax2)e－ax.
①当a＝0时，若x<0，则f′(x)<0，若x>0，则f′(x)>0.
所以当a＝0时，函数f(x)在区间(－∞，0)上为减函数，在区间(0，＋∞)上为增函数．
②当a>0时，由2x－ax2<0，解得x<0或x>，由2x－ax2>0，解得0
所以当a>0时，函数f(x)在区间(－∞，0)，(，＋∞)上为减函数，在区间(0，)上为增函数．
③当a<0时，由2x－ax2<0，解得0，解得x<或x>0.
所以，当a<0时，函数f(x)在区间(－∞，)，(0，＋∞)上为增函数，在区间(，0)上为减函数．
综上所述，当a＝0时，f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增；
当a>0时，f(x)在(－∞，0)，(，＋∞)上单调递减，在(0，)上单调递增；
当a<0时，f(x)在(，0)上单调递减，在(－∞，)，(0，＋∞)上单调递增．
(2)分离a，利用求最值得a的范围；
(3)寻求所证不等式和题中函数f(x)的联系，充分利用(1)中所求最值．
当x∈(0，)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
②当≤t
所以f(x)min＝.
(2)解2xlnx≥－x2＋ax－3，则a≤2lnx＋x＋，
设h(x)＝2lnx＋x＋(x>0)，则h′(x)＝，
①当x∈(0,1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减，
②当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增，
所以h(x)min＝h(1)＝4，对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，
所以a≤h(x)min＝4.
(3)证明问题等价于证明xlnx>－(x∈(0，＋∞))．
由(1)可知f(x)＝xlnx(x∈(0，＋∞))的最小值是－，
当且仅当x＝时取到，设m(x)＝－(x∈(0，＋∞))，则m′(x)＝，易知m(x)max＝m(1)＝－，
当且仅当x＝1时取到．
从而对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx>－成立．
(2)证明不等式，可以转化为求函数的最值问题．
若0
h′(x)＝cosx－a>0，h(x)＝sinx－ax(x∈(0，x0))单调递增，h(x)>h(0)＝0，不合题意，
结合f(x)与g(x)的图像可知a≤0显然不合题意，
(2)证明当a取(1)中的最小值1时，g(x)－f(x)＝x－sinx.
设H(x)＝x－sinx－x3(x≥0)，则H′(x)＝1－cosx－x2.
令G(x)＝1－cosx－x2，则G′(x)＝sinx－x≤0(x≥0)，
所以G(x)＝1－cosx－x2在[0，＋∞)上单调递减，
此时G(x)＝1－cosx－x2≤G(0)＝0，
即H′(x)＝1－cosx－x2≤0，
(2)将方程f(x)＝g(x)变形为a＝，研究φ(x)＝图像的大致形状．
①当a>0时，由ax2－1>0，得x>.
在区间上单调递减．
②当a≤0时，F′(x)<0(x>0)恒成立．
故当a≤0时，F(x)在(0，＋∞)上单调递减．
∵φ′(x)＝在(，)上为增函数，
在(，e)上为减函数，则φ(x)max＝φ()＝，
而φ(e)＝<φ(2)
如图当f(x)＝g(x)
由条件，得－1＋≥0恒成立，即b≥x恒成立．∴b≥2.
②当x≥2时，f(x)＝x－2＋blnx，f′(x)＝1＋，由条件，
得1＋≥0恒成立，即b≥－x恒成立．∴b≥－2.
解(1)由题意得f′(x)＝3ax2＋2x＋b，
因此g(x)＝f(x)＋f′(x)＝ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b.
因为函数g(x)是奇函数，所以g(－x)＝－g(x)，
解(1)因为f(x)＝ax＋xlnx，所以f′(x)＝a＋lnx＋1.
因为函数f(x)＝ax＋xlnx的图像在点x＝e处的切线斜率为3，
所以f′(e)＝3，即a＋lne＋1＝3，所以a＝1.
解(1)若a＝0，f(x)＝ex－1－x，f′(x)＝ex－1.
当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.
故f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．
(2)f′(x)＝ex－1－2ax.
由(1)知ex≥1＋x，当且仅当x＝0时等号成立，
故f′(x)≥x－2ax＝(1－2a)x，
解(1)由得x2＋3x＋1＝＋x，
整理得x3＋x2－x－2＝0(x≠1)．
令y＝x3＋x2－x－2，求导得y′＝3x2＋2x－1，
由题意知，点(－1,2)在函数f(x)的图像上，
故－m＋n＝2.①
又f′(x)＝3mx2＋2nx，则f′(－1)＝－3，
故3m－2n＝－3.②
联立①②解得：m＝1，n＝3，即f(x)＝x3＋3x2，
令f′(x)＝3x2＋6x≤0，解得－2≤x≤0，
则[t，t＋1][－2,0]，故t≥－2且t＋1≤0，
所以t∈[－2，－1]．
【例1】已知函数f(x)＝x2e－ax，a∈R.
(1)当a＝1时，求函数y＝f(x)的图像在点(－1，f(－1))处的切线方程．
(2)讨论f(x)的单调性．
【例1】已知函数f(x)＝x2e－ax，a∈R.
(1)当a＝1时，求函数y＝f(x)的图像在点(－1，f(－1))处的切线方程．
(2)讨论f(x)的单调性．
【例1】已知函数f(x)＝x2e－ax，a∈R.
(1)当a＝1时，求函数y＝f(x)的图像在点(－1，f(－1))处的切线方程．
(2)讨论f(x)的单调性．
【例1】已知函数f(x)＝x2e－ax，a∈R.
(1)当a＝1时，求函数y＝f(x)的图像在点(－1，f(－1))处的切线方程．
(2)讨论f(x)的单调性．
【例1】已知函数f(x)＝x2e－ax，a∈R.
(1)当a＝1时，求函数y＝f(x)的图像在点(－1，f(－1))处的切线方程．
(2)讨论f(x)的单调性．
从而y＝f(x)的图像在点(－1，f(－1))处的切线方程为
y－e＝－3e(x＋1)，
即y＝－3ex－2e.
跟踪训练1已知函数f(x)＝x3＋ax2－x＋c，且a＝f′.
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间；
(3)设函数g(x)＝(f(x)－x3)·ex，若函数g(x)在x∈[－3，2]上单调递增，求实数c的取值范围．
解(1)由f(x)＝x3＋ax2－x＋c，
得f′(x)＝3x2＋2ax－1.
当x＝时，得a＝f′＝3×2＋2a×－1，
解之，得a＝－1.
跟踪训练1已知函数f(x)＝x3＋ax2－x＋c，且a＝f′.
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间；
(3)设函数g(x)＝(f(x)－x3)·ex，若函数g(x)在x∈[－3，2]上单调递增，求实数c的取值范围．
(2)由(1)可知f(x)＝x3－x2－x＋c.
则f′(x)＝3x2－2x－1＝3(x－1)，列表如下：
x (－∞，－) － (－，1) 1 (1，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 极大值 极小值
跟踪训练1已知函数f(x)＝x3＋ax2－x＋c，且a＝f′.
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间；
(3)设函数g(x)＝(f(x)－x3)·ex，若函数g(x)在x∈[－3，2]上单调递增，求实数c的取值范围．
所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－)和(1，＋∞)；
f(x)的单调递减区间是.
(3)函数g(x)＝(f(x)－x3)·ex＝(－x2－x＋c)·ex，
有g′(x)＝(－2x－1)ex＋(－x2－x＋c)ex
＝(－x2－3x＋c－1)ex，
跟踪训练1已知函数f(x)＝x3＋ax2－x＋c，且a＝f′.
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间；
(3)设函数g(x)＝(f(x)－x3)·ex，若函数g(x)在x∈[－3，2]上单调递增，求实数c的取值范围．
因为函数g(x)在x∈[－3,2]上单调递增，
所以h(x)＝－x2－3x＋c－1≥0在x∈[－3,2]上恒成立．
只要h(2)≥0，解得c≥11，所以c的取值范围是[11，＋∞)．
【例2】已知f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－3.
(1)求函数f(x)在[t，t＋2](t>0)上的最小值；
(2)对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；
(3)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx>－成立．
【例2】已知f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－3.
(1)求函数f(x)在[t，t＋2](t>0)上的最小值；
(2)对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；
(3)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx>－成立．
【例2】已知f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－3.
(1)求函数f(x)在[t，t＋2](t>0)上的最小值；
(2)对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；
(3)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx>－成立．
【例2】已知f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－3.
(1)求函数f(x)在[t，t＋2](t>0)上的最小值；
(2)对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；
(3)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx>－成立．
【例2】已知f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－3.
(1)求函数f(x)在[t，t＋2](t>0)上的最小值；
(2)对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；
(3)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx>－成立．
【例2】已知f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－3.
(1)求函数f(x)在[t，t＋2](t>0)上的最小值；
(2)对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；
(3)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx>－成立．
①当0
f(x)min＝f()＝－；
综上可知，a≥1.
跟踪训练2已知函数f(x)＝sinx(x≥0)，g(x)＝ax(x≥0)．
(1)若f(x)≤g(x)恒成立，求实数a的取值范围；
(2)当a取(1)中的最小值时，求证：g(x)－f(x)≤x3.
所以H(x)＝x－sinx－x3(x≥0)单调递减．
跟踪训练2已知函数f(x)＝sinx(x≥0)，g(x)＝ax(x≥0)．
(1)若f(x)≤g(x)恒成立，求实数a的取值范围；
(2)当a取(1)中的最小值时，求证：g(x)－f(x)≤x3.
所以H(x)＝x－sinx－x3≤H(0)＝0，
即x－sinx－x3≤0(x≥0)，
即x－sinx≤x3(x≥0)．
所以，当a取(1)中的最小值时，g(x)－f(x)≤x3.
【例3】已知f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2lnx.
(1)讨论函数F(x)＝f(x)－g(x)的单调性；
(2)若方程f(x)＝g(x)在区间[，e]上有两个不等解，求a的取值范围．
【例3】已知f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2lnx.
(1)讨论函数F(x)＝f(x)－g(x)的单调性；
(2)若方程f(x)＝g(x)在区间[，e]上有两个不等解，求a的取值范围．
【例3】已知f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2lnx.
(1)讨论函数F(x)＝f(x)－g(x)的单调性；
(2)若方程f(x)＝g(x)在区间[，e]上有两个不等解，求a的取值范围．
【例3】已知f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2lnx.
(1)讨论函数F(x)＝f(x)－g(x)的单调性；
(2)若方程f(x)＝g(x)在区间[，e]上有两个不等解，求a的取值范围．
【例3】已知f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2lnx.
(1)讨论函数F(x)＝f(x)－g(x)的单调性；
(2)若方程f(x)＝g(x)在区间[，e]上有两个不等解，求a的取值范围．
【例3】已知f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2lnx.
(1)讨论函数F(x)＝f(x)－g(x)的单调性；
(2)若方程f(x)＝g(x)在区间[，e]上有两个不等解，求a的取值范围．
由ax2－1<0，得0
故当a>0时，F(x)在区间上单调递增，
(2)原式等价于方程a＝＝φ(x)在区间[，e]上有两个不等解．
＝＝＝φ()．
∴φ(x)min＝φ(e)，
在[，e]上有两个不等解时有φ(x)min＝，
故a的取值范围为≤a<.
综合①，②得b的取值范围是{b|b≥2}．
跟踪训练3已知函数f(x)＝|ax－2|＋blnx(x>0)．
(1)若a＝1，f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，求b的取值范围；
(2)若a≥2，b＝1，求方程f(x)＝在(0,1]上解的个数．
(2)令g(x)＝|ax－2|＋lnx－，
即g(x)＝
当0
g′(x)＝－a＋＋.
∵0.
跟踪训练3已知函数f(x)＝|ax－2|＋blnx(x>0)．
(1)若a＝1，f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，求b的取值范围；
(2)若a≥2，b＝1，求方程f(x)＝在(0,1]上解的个数．
则g′(x)>－a＋＋＝≥0.
即g′(x)>0，∴g(x)在(0，)上是递增函数．
当x≥时，g(x)＝ax－2＋lnx－，
g′(x)＝a＋＋>0.
∴g(x)在(，＋∞)上是递增函数．
又因为函数g(x)在x＝有意义，
跟踪训练3已知函数f(x)＝|ax－2|＋blnx(x>0)．
(1)若a＝1，f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，求b的取值范围；
(2)若a≥2，b＝1，求方程f(x)＝在(0,1]上解的个数．
∴g(x)在(0，＋∞)上是递增函数．
∵g()＝ln－，而a≥2，
∴ln≤0，则g()<0.
∵a≥2，∴g(1)＝a－3.
当a≥3时，g(1)＝a－3≥0，
∴g(x)＝0在(0,1]上解的个数为1.
当2≤a≤3时，g(1)＝a－3<0，
∴g(x)＝0在(0,1]上无解，即解的个数为0.
即对任意实数x，有a(－x)3＋(3a＋1)(－x)2＋(b＋2)(－x)＋b
＝－[ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b]，
从而3a＋1＝0，b＝0，
1．已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数．
(1)求f(x)的表达式；
(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．
解得a＝－，b＝0，
因此f(x)的表达式为f(x)＝－x3＋x2.
(2)由(1)知g(x)＝－x3＋2x，所以g′(x)＝－x2＋2.
令g′(x)＝0，解得x1＝－，x2＝，
则当x<－或x>时，g′(x)<0，
1．已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数．
(1)求f(x)的表达式；
(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．
从而g(x)在区间(－∞，－)，(，＋∞)上是减函数；
当－0，
从而g(x)在区间(－，)上是增函数．
由上述讨论知，g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在x＝1，，2时取得，
1．已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数．
(1)求f(x)的表达式；
(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．
而g(1)＝，g()＝，g(2)＝，
因此g(x)在区间[1,2]上的最大值为g()＝，
最小值g(2)＝.
(2)由(1)知，f(x)＝x＋xlnx，又k<对任意x>1恒成立，
即k<对任意x>1恒成立．
2．已知函数f(x)＝ax＋xlnx的图像在点x＝e(e为自然对数的底数)处的切线斜率为3.
(1)求实数a的值；
(2)若k∈Z，且k<对任意x>1恒成立，求k的最大值．
令g(x)＝，则g′(x)＝，
令h(x)＝x－lnx－2(x>1)，则h′(x)＝1－＝>0，
所以函数h(x)在(1，＋∞)上单调递增．
因为h(3)＝1－ln3<0，h(4)＝2－2ln2>0，
所以方程h(x)＝0在(1，＋∞)上存在唯一实根x0，且满足x0∈(3,4)．
2．已知函数f(x)＝ax＋xlnx的图像在点x＝e(e为自然对数的底数)处的切线斜率为3.
(1)求实数a的值；
(2)若k∈Z，且k<对任意x>1恒成立，求k的最大值．
当1x0时，h(x)>0，
即g′(x)>0，所以函数g(x)＝在(1，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，
所以[g(x)]min＝g(x0)＝＝＝x0∈(3,4)，
2．已知函数f(x)＝ax＋xlnx的图像在点x＝e(e为自然对数的底数)处的切线斜率为3.
(1)求实数a的值；
(2)若k∈Z，且k<对任意x>1恒成立，求k的最大值．
所以k<[g(x)]min＝x0∈(3,4)，
故整数k的最大值为3.
从而当1－2a≥0，即a≤时，f′(x)≥0(x≥0)．
3．设函数f(x)＝ex－1－x－ax2.
(1)若a＝0，求f(x)的单调区间；
(2)若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围．
∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增．
而f(0)＝0，于是当x≥0时，f(x)≥0.
由ex>1＋x(x≠0)可得e－x>1－x(x≠0)．
从而当a>时，f′(x)
令e－x(ex－1)(ex－2a)<0得1
∴0
3．设函数f(x)＝ex－1－x－ax2.
(1)若a＝0，求f(x)的单调区间；
(2)若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围．
故当x∈(0，ln2a)时，f′(x)<0，
∴f(x)在(0，ln2a)上单调递减．
而f(0)＝0，于是当x∈(0，ln2a)时，f(x)<0.不符合要求．
综上可得a的取值范围为(－∞，]．
令y′＝0，得x1＝－1，x2＝，
故得极值点分别在－1和处取得，且极大值、极小值都是负值．
故公共点只有一个．
4．已知f(x)＝x2＋3x＋1，g(x)＝＋x.
(1)a＝2时，求y＝f(x)和y＝g(x)的公共点个数；
(2)a为何值时，y＝f(x)和y＝g(x)的公共点个数恰为两个．
(2)由得x2＋3x＋1＝＋x，
整理得a＝x3＋x2－x(x≠1)，
令h(x)＝x3＋x2－x，
联立
4．已知f(x)＝x2＋3x＋1，g(x)＝＋x.
(1)a＝2时，求y＝f(x)和y＝g(x)的公共点个数；
(2)a为何值时，y＝f(x)和y＝g(x)的公共点个数恰为两个．
如图，对h(x)求导可以得到极值点分别在－1和处，画出草图，
h(－1)＝1，h()＝－，
当a＝h(－1)＝1时，y＝a与y＝h(x)仅有一个公共点(因为(1,1)点不在y＝h(x)曲线上)，
故a＝－时恰有两个公共点．
解(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
∵f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，
∴f′(1)＝3a＋2b＋c＝0，()
由f′(x)是偶函数得b＝0，①
又f(x)的图像在x＝0处的切线与直线y＝x＋2垂直，
∴f′(0)＝c＝－1，②
将①②代入()得a＝，
∴f(x)＝x3－x＋3.
设M(x)＝4lnx－x2＋1，x∈[1，e]，
则M′(x)＝－2x＝，
令M′(x)＝0，∵x∈[1，e]，∴x＝.
当
当1≤x≤时，M′(x)>0，∴M(x)在[1，]上为增函数，
∴M(x)在[1，e]上有最大值且在x＝处取到．
又M(1)＝0，M(e)＝5－e2<0，
(2)由已知得，若存在x∈[1，e]，使4lnx－m
即存在x∈[1，e]，使m>(4lnx－x2＋1)min.
∴M(x)的最小值为5－e2.
∴m>5－e2.
解(1)当0≤x≤a时，f(x)＝；
②若0
(2)由(1)知，当a≥4时，f(x)在(0,4)上单调递减，故不满足要求．
∈.
当x>a时，f(x)＝.
因此，当x∈(0，a)时，f′(x)＝<0，
f(x)在(0，a)上单调递减；
当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＝>0，
f(x)在(a，＋∞)上单调递增．
①若a≥4，则f(x)在(0,4)上单调递减，g(a)＝f(0)＝.
所以g(a)＝max{f(0)，f(4)}．
而f(0)－f(4)＝－＝，
故当0
当1
综上所述，g(a)＝
当0
若存在x1，x2∈(0,4)(x1
则x1∈(0，a)，x2∈(a,4)，且f′(x1)·f′(x2)＝－1.
即·＝－1.
亦即x1＋2a＝.()
由x1∈(0，a)，x2∈(a,4)得x1＋2a∈(2a,3a)，
故()成立等价于集合A＝{x|2a
因为<3a，所以当且仅当0<2a<1，
即0
综上所述，存在a使函数f(x)在区间(0,4)内的图像上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且a的取值范围是.
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