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| 第十二章 12 |
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B组专项能力提升练出高分234561B组专项能力提升练出高分234561B组专项能力提升练出高分234561B组专项能力提升练出高分234561审题路线图系列6六审细节更完善题型分类·深度剖析审题路线图规范解答温馨提醒审题路线图系列6题型分类·深度剖析审题路线图规范解答温馨提醒五审细节更完善审题路线图系列6题型分类·深度剖析审题路线图规范解答温馨提醒五审细节更完善审题路线图系列6题型分类·深度剖析审题路线图规范解答温馨提醒五审细节更完善审题路线图系列6题型分类·深度剖析4分6分10分12分审题路线图规范解答温馨提醒五审细节更完善审题路线图系列6题型分类·深度剖析审题路线图规范解答温馨提醒五审细节更完善方法与技巧思想方法·感悟提高失误与防范思想方法·感悟提高练出高分A组专项基础训练12345678910A组专项基础训练练出高分12345678910BA组专项基础训练练出高分12345678910DA组专项基础训练练出高分12345678910A组专项基础训练练出高分12345678910DA组专项基础训练练出高分12345678910A组专项基础训练练出高分12345678910CA组专项基础训练练出高分12345678910AA组专项基础训练练出高分12345678910A组专项基础训练练出高分12345678910A组专项基础训练练出高分12345678910A组专项基础训练练出高分12345678910A组专项基础训练练出高分12345678910A组专项基础训练练出高分12345678910A组专项基础训练练出高分12345678910A组专项基础训练练出高分12345678910B组专项能力提升练出高分234561B组专项能力提升练出高分234561DB组专项能力提升练出高分234561DB组专项能力提升练出高分234561B组专项能力提升练出高分234561BB组专项能力提升练出高分234561B组专项能力提升练出高分234561B组专项能力提升练出高分234561基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识题型分类思想方法练出高分§12.2古典概型第十二章概率、随机变量及其分布数学北（理）基础知识·自主学习知识回顾理清教材要点梳理只有有限个相等解析答案题号34521C基础知识·自主学习C夯实基础突破疑难夯基释疑夯基释疑返回题型一基本事件与古典概型的判断题型分类·深度剖析题型一基本事件与古典概型的判断题型分类·深度剖析题型一基本事件与古典概型的判断题型分类·深度剖析题型一基本事件与古典概型的判断题型分类·深度剖析题型一基本事件与古典概型的判断题型分类·深度剖析题型分类·深度剖析D8题型分类·深度剖析题型二古典概型的概率题型分类·深度剖析题型二古典概型的概率题型分类·深度剖析题型二古典概型的概率题型分类·深度剖析题型二古典概型的概率题型分类·深度剖析题型二古典概型的概率题型分类·深度剖析题型分类·深度剖析题型分类·深度剖析题型分类·深度剖析题型三古典概型与统计的综合应用题型分类·深度剖析题型三古典概型与统计的综合应用题型分类·深度剖析题型三古典概型与统计的综合应用题型分类·深度剖析题型三古典概型与统计的综合应用题型分类·深度剖析题型三古典概型与统计的综合应用题型分类·深度剖析题型分类·深度剖析题型分类·深度剖析(3)样本平均数＝(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.
1．古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，它们是否是等可能的．
(1)×(2)×(3)×
跟踪训练1(1)下列问题中是古典概型的是()
A．种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率
B．掷一颗质地不均匀的骰子，求出现1点的概率
C．在区间[1,4]上任取一数，求这个数大于1.5的概率
D．同时掷两颗骰子，求向上的点数之和是5的概率
(2)将一枚硬币抛掷三次共有________种结果．
解析(1)A、B两项中的基本事件的发生不是等可能的；
1．古典概型计算三步曲
第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少个．
【例(2013·山东)某小组共有A，B，C，D，E五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如下表所示：
A B C D E 身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82 体重指标 19.2 25.1 18.5 23.3 20.9 (1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率；
(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率．
从6个数中任取2个数的可能情况有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种，
其中和为偶数的情况有(1,3)，(1,5)，(2,4)，(2,6)，(3,5)，(4,6)，共6种，
C项中基本事件的个数是无限多个；
D项中基本事件的发生是等可能的，且是有限个．
2．确定基本事件的方法
列举法、列表法、树状图法．
2．可利用公式P(A)＝1－P()计算比较复杂事件的概率．
1．古典概型
具有以下两个特征的随机试验的数学模型称为古典的概率模型，简称古典概型．
(1)试验的所有可能结果????????????????????????，每次试验只出现其中的一个结果．
(2)每一个试验结果出现的可能性???????????．
2．古典概型的概率公式
P(A)＝??????????????????????????????????????????＝.
【例袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球．
(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？
(2)若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？
所以所求的概率是.
(2)设出现正面为1，反面为0，则共有(1,1,1)，(1,1,0)，(1,0,1)，(1,0,0)，(0,1,1)，(0,1,0)，(0,0,1)，(0,0,0)8种结果．
跟踪训练2(1)(2012·上海)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛．若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是________(结果用最简分数表示)．
(2)有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机地抽取并排摆放在书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是________．
解析(1)三位同学每人选择三项中的两项有CCC＝3×3×3＝27(种)选法，
其中有且仅有两人所选项目完全相同的有CCC＝3×3×2＝18(种)选法．
∴所求概率为P＝＝.
典例：(12分)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.
(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n
↓P1＝
解(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个．
从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有{1,2}，{1,3}两个．因此所求事件的概率P＝＝.
又满足条件n≥m＋2的事件为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个，
所以满足条件n≥m＋2的事件的概率为P1＝.
故满足条件n
(1)本题在审题时，要特别注意细节，使解题过程更加完善．如第(1)问，注意两球一起取，实质上是不分先后，再如两球编号之和不大于4等；第(2)问，有次序．
(2)在列举基本事件空间时，可以利用列举、画树状图等方法，以防遗漏．同时要注意细节，如用列举法，第(1)问应写成{1,2}的形式，表示无序，第(2)问应写成(1,2)的形式，表示有序．(3)本题解答时，存在格式不规范，思维不流畅的严重问题．如在解答时，缺少必要的文字说明，没有按要求列出基本事件．在第(2)问中，由于不能将事件n
1．(2013·课标全国Ⅰ)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是()
A．B．C．D．
2．甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是()
A．B．C．D．
3．(2013·安徽)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为()
A．B．C．D．
4．第16届亚运会于2010年11月12日在中国广州举行，运动会期间来自A大学2名和B大学4名共计6名大学生志愿者，现从这6名志愿者中随机抽取2人到体操比赛场馆服务，至少有一名A大学志愿者的概率是()
A．B．C．D．
5．连掷两次骰子分别得到点数m、n，则向量(m，n)与向量(－1,1)的夹角θ>90°的概率是()
A．B．C．D．
6．将一颗骰子投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax－by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2相交的概率为________．
7．(2013·江苏)现有某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n(m≤7，n≤9)可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为________．
8．用两种不同的颜色给图中三个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则相邻两个矩形涂不同颜色的概率是________．
9．设连续掷两次骰子得到的点数分别为m，n，令平面向量a＝(m，n)，b＝(1，－3)．
(1)求使得事件“a⊥b”发生的概率；
(2)求使得事件“|a|≤|b|”发生的概率．
10．(2013·天津)某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S＝x＋y＋z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：
产品编号 A1 A2 A3 A4 A5 质量指标(x，y，z) (1,1,2) (2,1,1) (2,2,2) (1,1,1) (1,2,1) 产品编号 A6 A7 A8 A9 A10 质量指标(x，y，z) (1,2,2) (2,1,1) (2,2,1) (1,1,1) (2,1,2)
1．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于()
A．B．C．D．
2．将一骰子向上抛掷两次，所得点数分别为m和n，则函数y＝mx3－nx＋1在[1，＋∞)上为增函数的概率是()
A B． C． D．
3．一个袋子中有5个大小相同的球，其中3个白球2个黑球，现从袋中任意取出一个球，取出后不放回，然后再从袋中任意取出一个球，则第一次为白球、第二次为黑球的概率为()
A．B．C．D．
4．袋中装有大小相同的总数为5的黑球、白球，若从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是，则从中任意摸出2个球，得到的都是白球的概率为________．
5．(2013·课标全国Ⅱ)从n个正整数1,2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n＝________.
6．一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：
轿车A 轿车B 轿车C 舒适型 100 150 z 标准型 300 450 600 按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．
解析基本事件的总数为6，
构成“取出的2个数之差的绝对值为2”这个事件的基本事件的个数为2，
所以所求概率P＝＝，故选B.
解析最后一个景点甲有6种选法，乙有6种选法，共有36种，
他们选择相同的景点有6种，
解析由题意知，从五位大学毕业生中录用三人，
所有不同的可能结果有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10种，
解析记2名来自A大学的志愿者为A1，A2，4名来自B大学的志愿者为B1，B2，B3，B4.
从这6名志愿者中选出2名的基本事件有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)，共15种．
解析∵(m，n)·(－1,1)＝－m＋n<0，∴m>n.
基本事件总共有6×6＝36(个)，
符合要求的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，…，(5,4)，(6,1)，…，(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15(个)．
∴P＝＝，故选A.
解析圆心(2,0)到直线ax－by＝0的距离d＝，
当d<时，直线与圆相交，则有d＝<，
得b>a，满足b>a的，共有15种情况，
因此直线ax－by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2相交的概率为＝.
解析P＝＝.
解析由于只有两种颜色，不妨将其设为1和2，
若只用一种颜色有111；222.
若用两种颜色有122；212；221；211；121；112.
所以基本事件共有8种．
又相邻颜色各不相同的有2种，故所求概率为.
解(1)由题意知，m∈{1,2,3,4,5,6}，n∈{1,2,3,4,5,6}，
故(m，n)所有可能的取法共36种．
a⊥b，即m－3n＝0，即m＝3n，共有2种：(3,1)、(6,2)，
所以事件a⊥b的概率为＝.
(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；
(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品．
①用产品编号列出所有可能的结果；
②设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率．
解析如图所示，
从正六边形ABCDEF的6个顶点中随机选4个顶点，可以看作随机选2个顶点，剩下的4个顶点构成四边形，
解析所有事件有6×6＝36(种)，若满足条件，
则y′＝2mx2－n≥0对x≥1恒成立，
又m>0，即(2mx2－n)min＝2m－n，即2m≥n，
而2m
解析设3个白球分别为a1，a2，a3,2个黑球分别为b1，b2，
则先后从中取出2个球的所有可能结果为(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)，(a2，a1)，(a3，a1)，(b1，a1)，(b2，a1)，(a3，a2)，(b1，a2)，(b2，a2)，(b1，a3)，(b2，a3)，(b2，b1)，共20种．
解析因为袋中装有大小相同的总数为5的黑球、白球，若从袋中任意摸出2个球，共有10种情况，没有得到白球的概率为，设白球个数为x，则黑球个数为5－x，那么可知白球有3个，黑球有2个，因此从中任意摸出2个球，得到的都是白球的概率为.
解析由题意，知取出的两个数只可能是1与4,2与3这两种情况，∴在n个数中任意取出两个不同的数的总情况应该是C＝＝2÷＝28，
思维启迪判断一个概率模型是否为古典概型的依据是古典概型的“有限性”和“等可能性”．
解(1)由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不同的摸法．
故一次摸球摸到白球的可能性为，
思维升华古典概型需满足两个条件：①对于每次随机试验来说，只可能出现有限个不同的试验结果；②对于所有不同的试验结果而言，它们出现的可能性是相等的．
又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，
故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型．
(2)由于11个球共有3种颜色，因此共有3个基本事件，分别记为A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到红球”，
又因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为，而白球有5个，
同理可知摸到黑球、红球的可能性均为，
显然这三个基本事件出现的可能性不相等，
所以以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型．
思维启迪计算基本事件总数或计算某一事件包含的基本事件数时，可以用列举的方法，列举时要不重不漏．
解(1)从身高低于1.80的4名同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)共6个．设“选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)”为事件N，且事件N包括事件有(C，D)，(C，E)，(D，E)共3个．思维升华求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树状图法，具体应用时可根据需要灵活选择．
设“选到的2人身高都在1.78以下”为事件M，其包括事件有3个，故P(M)＝＝.
(2)从小组5名同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)共10个．
则P(N)＝.
(1)基本事件为取两个球
↓(两球一次取出，不分先后，可用集合的形式表示)
把取两个球的所有结果列举出来
↓{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}
↓两球编号之和不大于4
(注意：和不大于4，应为小于4或等于4)
↓{1,2}，{1,3}
↓利用古典概型概率公式P＝＝
(2)两球分两次取，且有放回
↓(两球的编号记录是有次序的，用坐标的形式表示)
基本事件的总数可用列举法表示
↓(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)
(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)
↓(注意细节，m是第一个球的编号，n是第2个球的编号)
n
↓计算n≥m＋2的概率
↓n≥m＋2的所有情况为(1,3)，(1,4)，(2,4)
↓?注意细节，P1＝是n≥m＋2的概率，需转化为其对立事件的概率?
n
(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．
其中“甲与乙均未被录用”的所有不同的可能结果只有(丙，丁，戊)这1种，
故其对立事件“甲或乙被录用”的可能结果有9种，所求概率P＝.
(2)|a|≤|b|，即m2＋n2≤10，
共有(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(3,1)6种，其概率为＝.
解(1)计算10件产品的综合指标S，如下表：
(2)①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}，共15种．
产品编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 S 4 4 6 3 4 5 4 5 3 5
其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，故该样本的一等品率为＝0.6，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.
②在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为A1，A2，A5，A7，则事件B发生的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A5，A7}，共6种．所以P(B)＝＝.
有A、B，A、C，A、D，A、E，A、F，B、C，B、D，B、E，B、F，C、D，C、E，C、F，D、E，D、F，E、F，共15种．
若要构成矩形，只要选相对顶点即可，有A、D，B、E，C、F，共3种，故其概率为＝.
∴n＝8.
8
(1)求z的值；
(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；
(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：
9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2，把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．
解(1)设该厂这个月共生产轿车n辆，
由题意得＝，所以n＝2000，
则z＝2000－100－300－150－450－600＝400.
【例袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球．
(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？
(2)若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？
【例袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球．
(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？
(2)若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？
【例袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球．
(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？
(2)若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？
【例袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球．
(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？
(2)若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？
【例(2013·山东)某小组共有A，B，C，D，E五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如下表所示：
A B C D E 身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82 体重指标 19.2 25.1 18.5 23.3 20.9 (1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率；
(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率．
【例(2013·山东)某小组共有A，B，C，D，E五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如下表所示：
A B C D E 身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82 体重指标 19.2 25.1 18.5 23.3 20.9 (1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率；
(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率．
【例(2013·山东)某小组共有A，B，C，D，E五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如下表所示：
A B C D E 身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82 体重指标 19.2 25.1 18.5 23.3 20.9 (1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率；
(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率．
【例(2013·山东)某小组共有A，B，C，D，E五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如下表所示：
A B C D E 身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82 体重指标 19.2 25.1 18.5 23.3 20.9 (1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率；
(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率．
跟踪训练2(1)(2012·上海)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛．若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是________(结果用最简分数表示)．
(2)有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机地抽取并排摆放在书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是________．
(2)第一步先排语文书有A＝2(种)排法．第二步排物理书，分成两类．一类是物理书放在语文书之间，有1种排法，这时数学书可从4个空中选两个进行排列，有A＝12(种)排法；一类是物理书不放在语文书之间有2种排法，再选一本数学书放在语文书之间有2种排法，另一本有3种排法．
跟踪训练2(1)(2012·上海)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛．若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是________(结果用最简分数表示)．
(2)有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机地抽取并排摆放在书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是________．
因此同一科目的书都不相邻共有2×(12＋2×2×3)＝48(种)排法，而5本书全排列共有A＝120(种)，所以同一科目的书都不相邻的概率是＝.
【例(2013·陕西)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：
组别 A B C D E 人数 50 100 150 150 50 (1)为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组中抽取了6人．请将其余各组抽取的人数填入下表.
组别 A B C D E 人数 50 100 150 150 50 抽取人数 6 (2)在(1)中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．
思维启迪各组抽取人数的比率是相等的，因此，由B组抽取的比率可求得其它各组抽取的人数．
解(1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表：
组别 A B C D E 人数 50 100 150 150 50 抽取人数 3 6 9 9 3
(2)记从A组抽到的3个评委为a1，a2，a3，其中a1，a2支持1号歌手；
从{a1，a2，a3}和{b1，b2，b3，b4，b5，b6}中各抽取1人的所有结果为
思维升华有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、分布直方图、茎叶图等给出信息，只需要能够从题中提炼出需要的信息，则此类问题即可解决．
跟踪训练3为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：
(1)估计该校男生的人数；
(2)估计该校学生身高在170～185cm之间的概率；
(3)从样本中身高在180～190cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190cm之间的概率．
解(1)样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400.
(2)由统计图知，样本中身高在170～185cm之间的学生有14＋13＋4＋3＋1＝35(人)，样本容量为70，所以样本中学生身高在170～185cm之间的频率f＝＝0.5.【例(2013·陕西)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：
组别 A B C D E 人数 50 100 150 150 50 (1)为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组中抽取了6人．请将其余各组抽取的人数填入下表.
组别 A B C D E 人数 50 100 150 150 50 抽取人数 6 (2)在(1)中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．
【例(2013·陕西)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：
组别 A B C D E 人数 50 100 150 150 50 (1)为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组中抽取了6人．请将其余各组抽取的人数填入下表.
组别 A B C D E 人数 50 100 150 150 50 抽取人数 6 (2)在(1)中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．
【例(2013·陕西)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：
组别 A B C D E 人数 50 100 150 150 50 (1)为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组中抽取了6人．请将其余各组抽取的人数填入下表.
组别 A B C D E 人数 50 100 150 150 50 抽取人数 6 (2)在(1)中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．
【例(2013·陕西)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：
组别 A B C D E 人数 50 100 150 150 50 (1)为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组中抽取了6人．请将其余各组抽取的人数填入下表.
组别 A B C D E 人数 50 100 150 150 50 抽取人数 6 (2)在(1)中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．
从B组抽到的6个评委为b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1号歌手．
由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2共4种，故所求概率P＝＝.
故由f估计该校学生身高在170～185cm之间的概率P＝0.5.
(3)样本中身高在180～185cm之间的男生有4人，设其编号为①②③④，样本中身高在185～190cm之间的男生有2人，设其编号为⑤⑥.
从上述6人中任选2人的树状图为
故从样本中身高在180～190cm之间的男生中任选2人的所有可能结果数为15，至少有1人身高在185～190cm之间的可能结果数为9，因此，所求概率P＝＝0.6.
所以P＝＝，所以选D.
3．(2013·安徽)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为()
A．B．C．D．
4．第16届亚运会于2010年11月12日在中国广州举行，运动会期间来自A大学2名和B大学4名共计6名大学生志愿者，现从这6名志愿者中随机抽取2人到体操比赛场馆服务，至少有一名A大学志愿者的概率是()
A．B．C．D．
其中至少有一名A大学志愿者的事件有9种．
故所求概率P＝＝.故选C.
3．一个袋子中有5个大小相同的球，其中3个白球2个黑球，现从袋中任意取出一个球，取出后不放回，然后再从袋中任意取出一个球，则第一次为白球、第二次为黑球的概率为()
A．B．C．D．
其中满足第一次为白球、第二次为黑球的有(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，共6种，故所求概率为＝.
(2)设所抽样本中有a辆舒适型轿车，
由题意得＝，则a＝2.
因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．
用A1，A2表示2辆舒适型轿车，用B1，B2，B3表示3辆标准型轿车，用E表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，
则基本事件空间包含的基本事件有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共10个．
事件E包含的基本事件有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，共7个．
故P(E)＝，即所求概率为.
设D表示事件“从样本中任取一个数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，
则基本事件空间中有8个基本事件，事件D包含的基本事件有9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0，共6个，所以P(D)＝＝，即所求概率为.
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