题型分类·深度剖析思想与方法系列21解决复数问题的实数化思想题型分类·深度剖析思维启迪规范解答温馨提醒题型分类·深度剖析规范解答温馨提醒思维启迪思想与方法系列21解决复数问题的实数化思想题型分类·深度剖析规范解答温馨提醒3分5分7分思维启迪思想与方法系列21解决复数问题的实数化思想题型分类·深度剖析规范解答温馨提醒12分9分思维启迪思想与方法系列21解决复数问题的实数化思想题型分类·深度剖析规范解答温馨提醒思维启迪思想与方法系列21解决复数问题的实数化思想思想方法·感悟提高方法与技巧思想方法·感悟提高方法与技巧思想方法·感悟提高方法与技巧思想方法·感悟提高失误与防范思想方法·感悟提高失误与防范练出高分A组专项基础训练12345678910A组专项基础训练练出高分12345678910AA组专项基础训练练出高分12345678910DA组专项基础训练练出高分12345678910DA组专项基础训练练出高分12345678910CA组专项基础训练练出高分12345678910CA组专项基础训练练出高分123456789105－5iA组专项基础训练练出高分123456789103A组专项基础训练练出高分12345678910A组专项基础训练练出高分12345678910A组专项基础训练练出高分12345678910B组专项能力提升练出高分123456B组专项能力提升练出高分123456B组专项能力提升练出高分123456B组专项能力提升练出高分C123456B组专项能力提升练出高分D123456B组专项能力提升练出高分1123456B组专项能力提升练出高分3或6123456B组专项能力提升练出高分－23123456基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识题型分类思想方法练出高分§13.2复数第十三章算法初步、复数数学北（理）基础知识·自主学习知识回顾理清教材要点梳理实部虚部b＝0b≠0a＝0且b≠0a＝c且b＝d这个直角坐标平面x轴y轴基础知识·自主学习知识回顾理清教材要点梳理基础知识·自主学习知识回顾理清教材要点梳理解析答案题号34521B基础知识·自主学习夯实基础突破疑难夯基释疑CBD夯基释疑返回题型分类·深度剖析题型一复数的概念题型分类·深度剖析题型一复数的概念题型分类·深度剖析题型一复数的概念题型分类·深度剖析题型一复数的概念题型分类·深度剖析D题型分类·深度剖析AD题型分类·深度剖析题型二复数的运算思维启迪解析答案思维升华题型分类·深度剖析思维启迪解析答案思维升华题型二复数的运算题型分类·深度剖析思维启迪解析答案思维升华题型二复数的运算题型分类·深度剖析思维启迪解析答案思维升华3－3i－1＋i题型二复数的运算3－3i－1＋i题型分类·深度剖析思维启迪解析答案思维升华题型二复数的运算3－3i－1＋i题型分类·深度剖析思维启迪解析答案思维升华题型二复数的运算题型分类·深度剖析题型分类·深度剖析0题型三复数的几何意义思维启迪思维升华解析题型分类·深度剖析题型分类·深度剖析题型三复数的几何意义思维启迪思维升华解析题型分类·深度剖析题型三复数的几何意义思维启迪思维升华解析题型分类·深度剖析题型三复数的几何意义思维启迪思维升华解析题型分类·深度剖析题型三复数的几何意义思维启迪思维升华解析题型分类·深度剖析3．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．
(2)复数z＝a＋bi??????????????????????????.
(3)复数z＝a＋bi的模或绝对值：|z|＝????????????????.
4．复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝?????????????????????????????；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝????????????????????????????????；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝???????????????????????????????????????????；
平面向量
2．在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，则向量对应的复数是()
A．1－2iB．－1＋2i
C．3＋4iD．－3－4i
1．复数的有关概念
(1)复数的概念
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫作复数，其中a，b分别是它的?????????和??????????．若?????????，则a＋bi为实数，若???????????，则a＋bi为虚数，若????????????????????????????，则a＋bi为纯虚数．
(2)复数相等：a＋bi＝c＋di??????????????????????????????(a，b，c，d∈R)．
2．复平面
当用直角坐标平面内的点来表示复数时，我们称?????????????????????????????????????为复平面，??????????称为实轴，???????????称为虚轴．
(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√
由题意知x＋yi＝＝4－3i，
1．复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．
1．判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义．
2．对于复系数(系数不全为实数)的一元二次方程的求解，判别式不再成立．因此解此类方程的解，一般都是将实根代入方程，用复数相等的条件进行求解．
④除法：＝＝
＝???????????????????????????????????????????(c＋di≠0)．
(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝???????????????，(z1＋z2)＋z3＝??????????????????????????．
【例(1)已知a∈R，复数z1＝2＋ai，z2＝1－2i，若为纯虚数，则复数的虚部为()
A．1B．iC．D．0
(2)若z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，则“m＝1”是“z1＝z2”的()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
跟踪训练1(1)(2013·安徽)设i是虚数单位．若复数a－(a∈R)是纯虚数，则a的值为()
A．－3B．－1C．1D．3
(2)(2012·江西)若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，是z的共轭复数，则z2＋2的虚部为()
A．0B．－1C．1D．－2
解析(1)a－＝a－(3＋i)＝(a－3)－i，
【例计算：(1)＝________；
(2)()6＋＝________.
复数的除法运算，实质上是分母实数化的运算．
(1)＝＝
＝－＝－3i(i＋1)＝3－3i.
(2)原式＝[]6＋
＝i6＋＝－1＋i.
(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式．
(2)记住以下结论，可提高运算速度，
①(1±i)2＝±2i；②＝i；③＝－i；④＝b－ai；⑤i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．
跟踪训练2(1)已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·＝________.
(2)＋()2014＝________.
解析(1)方法一|z|＝＝，z·＝|z|2＝.
方法二z＝＝－＋，
z·＝＝.
跟踪训练3已知z是复数，z＋2i、均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
解设z＝x＋yi(x、y∈R)，
∴z＋2i＝x＋(y＋2)i，由题意得y＝－2.
∵＝＝(x－2i)(2＋i)
＝(2x＋2)＋(x－4)i，
由题意得x＝4.∴z＝4－2i.
典例：(12分)已知x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x，y.
(1)x，y为共轭复数，可用复数的基本形式表示出来；
(2)利用复数相等，将复数问题转化为实数问题．
解设x＝a＋bi(a，b∈R)，
则y＝a－bi，x＋y＝2a，xy＝a2＋b2，
代入原式，得(2a)2－3(a2＋b2)i＝4－6i，
根据复数相等得，
解得或或或.
故所求复数为
或或或.
(1)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法．
(2)本题求解的关键是先把x、y用复数的形式表示出来，再用待定系数法求解．这是常用的数学方法．
(3)本题易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解．
1．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为()
A．－1B．0
C．1D．－1或1
3．若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是()
A．EB．FC．GD．H
4．(2013·山东)复数z＝(i为虚数单位)，则|z|等于()
A．25B．
C．5D．
5．复数的共轭复数是()
A．－iB．i
C．－iD．i
6．(2013·天津)i是虚数单位，复数(3＋i)(1－2i)＝________.
7．(2012·湖北)若＝a＋bi(a，b为实数，i为虚数单位)，则a＋b＝________.
8．复数(3＋i)m－(2＋i)对应的点在第三象限内，则实数m的取值范围是________．
9．已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.
10．复数z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，若1＋z2是实数，求实数a的值．
1．(2012·课标全国)下面是关于复数z＝的四个命题：
p1：|z|＝2;p2：z2＝2i；
p3：z的共轭复数为1＋i;p4：z的虚部为－1.
其中的真命题为()
A．p2，p3B．p1，p2
C．p2，p4D．p3，p4
2．设f(n)＝n＋n(n∈N＋)，则集合{f(n)}中元素的个数为()
A．1B．2C．3D．无数个
3．对任意复数z＝x＋yi(x，y∈R)，i为虚数单位，则下列结论正确的是()
A．|z－|＝2yB．z2＝x2＋y2
C．|z－|≥2xD．|z|≤|x|＋|y|
4．设复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i(i为虚数单位)，则z的实部是________．
5．已知集合M＝{1，m,3＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1,3}，若M∩N＝{3}，则实数m的值为________．
2．在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法则的方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合．
3．实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
复数集C和复平面内所有的点所成的集合及平面向量是一一对应关系，即
4．复数运算常用的性质：
(1)①(1±i)2＝±2i；②＝i，＝－i；
(2)设ω＝－＋i，则①|ω|＝1；②1＋ω＋ω2＝0；③＝ω2.
(3)in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N＋)．
3．两个虚数不能比较大小．
4．利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件．
5．注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z1，z2∈C，z＋z＝0，就不能推出z1＝z2＝0；z2<0在复数范围内有可能成立．
解析由复数z为纯虚数，得，
解析因为＝＋＝－1－3i＋(－2－i)＝－3－4i.
解析由题图知复数z＝3＋i，
∴＝＝＝＝2－i.
∴表示复数的点为H.
解析z＝＝－4－3i，解析方法一∵＝＝＝i，
∴的共轭复数为－i.
方法二∵＝＝＝i.
∴的共轭复数为－i.
解析(3＋i)(1－2i)＝3－5i－2i2＝5－5i.
解析利用复数相等的条件求出a，b的值．
＝＝[(3－b)＋(3＋b)i]＝＋i.
∴解得∴a＋b＝3.
解析z＝(3m－2)＋(m－1)i，其对应点(3m－2，m－1)，在第三象限内，
故3m－2<0且m－1<0，∴m<.
m<
解(z1－2)(1＋i)＝1－iz1＝2－i.
设z2＝a＋2i，a∈R，
则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.
∵z1·z2∈R，∴a＝4.∴z2＝4＋2i.
解1＋z2＝＋(a2－10)i＋＋(2a－5)i
＝＋[(a2－10)＋(2a－5)]i
＝＋(a2＋2a－15)i.
∵1＋z2是实数，
解析利用复数的有关概念以及复数的运算求解．
∵z＝＝－1－i，
∴|z|＝＝，
∴p1是假命题；
∵z2＝(－1－i)2＝2i，
∴p2是真命题；
∵＝－1＋i，∴p3是假命题；
∵z的虚部为－1，∴p4是真命题．
其中的真命题共有2个：p2，p4.
答案C
解析f(n)＝n＋n＝in＋(－i)n，
f(1)＝0，f(2)＝－2，f(3)＝0，f(4)＝2，f(5)＝0，…
∴集合中共有3个元素．
解析∵＝x－yi(x，y∈R)，|z－|＝|x＋yi－x＋yi|＝|2yi|＝|2y|，∴A不正确；
对于B，z2＝x2－y2＋2xyi，故B不正确；
∵|z－|＝|2y|≥2x不一定成立，∴C不正确；
对于D，|z|＝≤|x|＋|y|，故D正确．
解析设z＝a＋bi(a、b∈R)，由i(z＋1)＝－3＋2i，
得－b＋(a＋1)i＝－3＋2i，
解析∵M∩N＝{3}，∴3∈M且－1M，
∴m≠－1,3＋(m2－5m－6)i＝3或m＝3，
∴m2－5m－6＝0且m≠－1或m＝3，
解得m＝6或m＝3.
6．(2012·上海改编)若1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则b＝________，c＝________.
解析利用实系数方程的根与系数的关系求解．
∵实系数一元二次方程x2＋bx＋c＝0的一个虚根为1＋i，
∴其共轭复数1－i也是方程的根．
由根与系数的关系知，
∴b＝－2，c＝3.
所以|x＋yi|＝|4－3i|＝＝5.
思维启迪(1)若z＝a＋bi(a，b∈R)，则b＝0时，z∈R；b≠0时，z是虚数；a＝0且b≠0时，z是纯虚数．
解析(1)由＝＝＝＋i是纯虚数，得a＝1，此时＝i，其虚部为1.
思维升华处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．
(2)直接根据复数相等的条件求解．
(2)由，解得m＝－2或m＝1，
所以“m＝1”是“z1＝z2”的充分不必要条件．
答案(1)A(2)A
由a∈R，且a－为纯虚数知a＝3.
(2)利用复数运算法则求解．
∵z＝1＋i，
∴＝1－i，z2＋2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i－2i＝0.
(2)原式＝＋[()2]1007
＝i＋()1007＝i＋i1007
＝i＋i4×251＋3＝i＋i3＝0.
【例如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i，试求：
(1)、所表示的复数；
(2)对角线所表示的复数；
(3)求B点对应的复数．
结合图形和已知点对应的复数，根据加减法的几何意义，即可求解．
解(1)＝－，
∴所表示的复数为－3－2i.
∵＝，∴所表示的复数为－3－2i.
(2)＝－，∴所表示的复数为
因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可．
(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)＝＋＝＋，
∴所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，
即B点对应的复数为1＋6i.
∵(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，
根据条件，可知，
解得2
∴实数a的取值范围是(2,6)．
解得x＝－1，故选A.
∴a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.
又(a＋5)(a－1)≠0，∴a≠－5且a≠1，故a＝3.
(a＋c)＋(b＋d)i
(a－c)＋(b－d)i
(ac－bd)＋(ad＋bc)i
＋i
z2＋z1
z1＋(z2＋z3)
【例(1)已知a∈R，复数z1＝2＋ai，z2＝1－2i，若为纯虚数，则复数的虚部为()
A．1B．iC．D．0
(2)若z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，则“m＝1”是“z1＝z2”的()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【例(1)已知a∈R，复数z1＝2＋ai，z2＝1－2i，若为纯虚数，则复数的虚部为()
A．1B．iC．D．0
(2)若z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，则“m＝1”是“z1＝z2”的()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【例(1)已知a∈R，复数z1＝2＋ai，z2＝1－2i，若为纯虚数，则复数的虚部为()
A．1B．iC．D．0
(2)若z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，则“m＝1”是“z1＝z2”的()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
跟踪训练1(1)(2013·安徽)设i是虚数单位．若复数a－(a∈R)是纯虚数，则a的值为()
A．－3B．－1C．1D．3
(2)(2012·江西)若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，是z的共轭复数，则z2＋2的虚部为()
A．0B．－1C．1D．－2
【例计算：(1)＝________；
(2)()6＋＝________.
【例计算：(1)＝________；
(2)()6＋＝________.
【例计算：(1)＝________；
(2)()6＋＝________.
【例计算：(1)＝________；
(2)()6＋＝________.
【例计算：(1)＝________；
(2)()6＋＝________.
(1)＝＝
＝－＝－3i(i＋1)＝3－3i.
(2)原式＝[]6＋
＝i6＋＝－1＋i.
跟踪训练2(1)已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·＝________.
(2)＋()2014＝________.
【例如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i，试求：
(1)、所表示的复数；
(2)对角线所表示的复数；
(3)求B点对应的复数．
【例如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i，试求：
(1)、所表示的复数；
(2)对角线所表示的复数；
(3)求B点对应的复数．
【例如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i，试求：
(1)、所表示的复数；
(2)对角线所表示的复数；
(3)求B点对应的复数．
【例如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i，试求：
(1)、所表示的复数；
(2)对角线所表示的复数；
(3)求B点对应的复数．
跟踪训练3已知z是复数，z＋2i、均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
典例：(12分)已知x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x，y.
典例：(12分)已知x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x，y.
典例：(12分)已知x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x，y.
典例：(12分)已知x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x，y.
所以|z|＝＝5.
∴a＋1＝2，∴a＝1.
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