B组专项能力提升练出高分34512150°B组专项能力提升练出高分24513B组专项能力提升练出高分245135B组专项能力提升练出高分23514B组专项能力提升练出高分23514B组专项能力提升练出高分23514B组专项能力提升练出高分23415B组专项能力提升练出高分23415B组专项能力提升练出高分23415题型分类·深度剖析题型四平面向量在物理中的应用思维启迪解析答案思维升华题型分类·深度剖析题型四平面向量在物理中的应用思维启迪解析答案思维升华题型分类·深度剖析题型四平面向量在物理中的应用思维启迪解析答案思维升华题型分类·深度剖析题型四平面向量在物理中的应用北偏西30°思维启迪解析答案思维升华题型分类·深度剖析题型四平面向量在物理中的应用北偏西30°思维启迪解析答案思维升华题型分类·深度剖析思维启迪解析温馨提醒高频小考点5高考中以向量为背景的创新题题型分类·深度剖析高频小考点5高考中以向量为背景的创新题思维启迪解析题型分类·深度剖析温馨提醒高频小考点5高考中以向量为背景的创新题思维启迪解析题型分类·深度剖析D温馨提醒高频小考点5高考中以向量为背景的创新题题型分类·深度剖析D思维启迪解析温馨提醒思维启迪解析温馨提醒高频小考点5高考中以向量为背景的创新题题型分类·深度剖析高频小考点5高考中以向量为背景的创新题题型分类·深度剖析思维启迪解析温馨提醒高频小考点5高考中以向量为背景的创新题题型分类·深度剖析思维启迪解析温馨提醒题型分类·深度剖析高频小考点5高考中以向量为背景的创新题题型分类·深度剖析思维启迪解析温馨提醒方法与技巧思想方法·感悟提高失误与防范思想方法·感悟提高练出高分A组专项基础训练12345678910A组专项基础训练练出高分23456789101BA组专项基础训练练出高分13456789102CA组专项基础训练练出高分12456789103DA组专项基础训练练出高分12356789104DA组专项基础训练练出高分12346789105BA组专项基础训练练出高分12345789106A组专项基础训练练出高分12345689107(1,2)A组专项基础训练练出高分123456791083A组专项基础训练练出高分12345678109A组专项基础训练练出高分12345678109A组专项基础训练练出高分12345678910A组专项基础训练练出高分12345678910B组专项能力提升练出高分23451B组专项能力提升练出高分23451B组专项能力提升练出高分23451D基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识题型分类思想方法练出高分§5.4平面向量的应用数学北（理）第五章平面向量基础知识·自主学习知识回顾理清教材要点梳理x1y2－x2y1＝0a·b＝0x1x2＋y1y2＝0基础知识·自主学习知识回顾理清教材要点梳理矢量加法和减法基础知识·自主学习知识回顾理清教材要点梳理解析答案题号34521C基础知识·自主学习C夯实基础突破疑难夯基释疑夯基释疑返回题型分类·深度剖析题型一平面向量在平面几何中的应用思维启迪解析思维升华题型分类·深度剖析题型一平面向量在平面几何中的应用思维启迪解析思维升华题型分类·深度剖析题型一平面向量在平面几何中的应用思维启迪解析思维升华题型分类·深度剖析题型一平面向量在平面几何中的应用思维启迪解析思维升华题型分类·深度剖析C题型分类·深度剖析A题型分类·深度剖析题型二平面向量在三角函数中的应用思维启迪解析思维升华题型分类·深度剖析题型二平面向量在三角函数中的应用思维启迪解析思维升华题型分类·深度剖析题型二平面向量在三角函数中的应用思维启迪解析思维升华题型分类·深度剖析题型二平面向量在三角函数中的应用思维启迪解析思维升华题型分类·深度剖析题型二平面向量在三角函数中的应用思维启迪解析思维升华题型分类·深度剖析题型分类·深度剖析题型三平面向量在解析几何中的应用思维启迪解析思维升华题型分类·深度剖析题型三平面向量在解析几何中的应用思维启迪解析思维升华题型分类·深度剖析题型三平面向量在解析几何中的应用思维启迪解析思维升华题型分类·深度剖析题型三平面向量在解析几何中的应用思维启迪解析思维升华题型分类·深度剖析题型三平面向量在解析几何中的应用思维启迪解析思维升华题型分类·深度剖析题型三平面向量在解析几何中的应用思维启迪解析思维升华题型分类·深度剖析题型分类·深度剖析思维启迪解析答案思维升华题型四平面向量在物理中的应用∵·＝0，
1．向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题．
2．以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法．
正方形中有垂直关系，因此考虑建立平面直角坐标系，求出所求线段对应的向量，根据向量知识证明．
1．注意向量夹角和三角形内角的关系，两者并不等价．
2．注意向量共线和两直线平行的关系；两向量a，b夹角为锐角和a·b>0不等价．
(1)√(2)√(3)√(4)×(5)√(6)√
【例1如图所示，四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点(不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形，试用向量法证明：PA＝EF.
1．向量在平面几何中的应用
平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．
(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a∥b???????????????????????????????????????????????????????.
(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质
a⊥b??????????????????????????????????????????????.
(3)求夹角问题，利用夹角公式
cosθ＝????????????????＝???????????????????????????(θ为a与b的夹角)．
用向量方法解决平面几何问题可分三步：
【例已知在锐角△ABC中，两向量p＝(2－2sinA，cosA＋sinA)，q＝(sinA－cosA,1＋sinA)，且p与q是共线向量．
(1)求A的大小；
(2)求函数y＝2sin2B＋cos取最大值时，B的大小．
向量与三角函数的结合往往是简单的组合．如本题中的条件通过向量给出，根据向量的平行得到一个等式．因此这种题目较为简单．
解(1)∵p∥q，
解决平面向量与三角函数的交汇问题的关键，准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决．
跟踪训练2△ABC的三个内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，设向量m＝(a＋b，sinC)，n＝(a＋c，sinB－sinA)，若m∥n，则角B的大小为________．
∴AC⊥BD.
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
∴(2－2sinA)(1＋sinA)－(cosA＋sinA)(sinA－cosA)＝0，
(1)直接利用数量积的坐标运算代入；
解(1)设P(x，y)，则Q(8，y)．
由(＋)·(－)＝0，
(2)∵＝＋，＝＋，
平面向量与平面解析几何交汇的题目，涉及向量数量积的基本运算，数量积的求解以及轨迹、直线和圆、直线和椭圆中最值等问题，解决此类问题应从向量的坐标运算入手，这也是解决解析几何问题的基本方法——坐标法．
跟踪训练3已知点P(0，－3)，点A在x轴上，点Q在y轴的正半轴上，点M满足·＝0，＝－，当点A在x轴上移动时，求动点M的轨迹方程．
解设M(x，y)为所求轨迹上任一点，
又＋＝0.
【例已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且(＋)·(－)＝0.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)若EF为圆N：x2＋(y－1)2＝1的任一条直径，求·的最值．
2．平面向量在物理中的应用
(1)由于物理学中的力、速度、位移都是??????????，它们的分解与合成与向量的???????????????????????相似，可以用向量的知识来解决．
(2)物理学中的功是一个标量，这是力F与位移s的数量积．即W＝F·s＝|F||s|cosθ(θ为F与s的夹角)．
3．平面向量与其他数学知识的交汇
平面向量作为一个运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题．
此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．
y2＝8x(x≠0)
2m/s
∴四边形ABCD的面积S＝||·||
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系如距离、夹角等问题；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．
跟踪训练1(1)平面上O，A，B三点不共线，设＝a，＝b，则△OAB的面积等于()
A B．
C． D．
∴sin2A＝，sinA＝，
∵△ABC为锐角三角形，
∴A＝60°.
【例在长江南岸渡口处，江水以km/h的速度向东流，渡船的速度为25km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为____________．
题中涉及的三个速度(向量)：江水速度、渡船的速度、船实际过江的速度，三个速度的关系是本题的核心．
如图所示，渡船速度为，水流速度为，
船实际垂直过江的速度为，
∴cos(∠BOD＋90°)＝－，
∴sin∠BOD＝，
在使用向量解决物理问题时要注意：
(2)通过抽象、概括，把物理问题转化为与之相关的向量问题；
跟踪训练4质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为________．
(2)将·转化为关于y的函数，求函数的最值．
得||2－||2＝0，
即(x－2)2＋y2－(x－8)2＝0，
化简得＋＝1.
所以点P在椭圆上，其方程为＋＝1.
∴·＝2－2＝x2＋(y－1)2－1
∵－2≤y≤2.
∴当y＝－3时，·的最大值为19，
当y＝2时，·的最小值为12－4.
综上：·的最大值为19；
·的最小值为12－4.
设A(a,0)，Q(0，b)(b>0)，
依题意知||＝，||＝25.
∵＝＋，
∴·＝·＋2，
∴∠BOD＝30°，
∴航向为北偏西30°.
(3)利用向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量的解；
(4)利用这个结果，对原物理现象作出合理解释，即用向量知识圆满解决物理问题．
(1)认真分析物理问题，深刻把握物理量之间的相互关系；
2
根据新定义，得ab＝＝＝cosθ，ba＝＝＝cosθ.
设Q(c，d)，由新的运算可得
解答创新型问题，首先需要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，然后应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义信息题难点的关键所在．
先根据定义表示出ab和ba，利用其属于集合{|n∈Z}，将其表示成集合中元素的形式，两式相乘即可表示出cosθ，然后利用θ∈(，)确定cosθ的取值范围，结合集合中n∈Z的限制条件即可确定n的值，从而求出ab的值．
典例：(1)(5分)对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβ＝.若两个非零的平面向量a，b满足a与b的夹角θ∈(，)，且ab和ba都在集合{|n∈Z}中，则ab等于()
A．B．C．1D．
又因为ab和ba都在集合{|n∈Z}中，设ab＝，ba＝(n1，n2∈Z)，那么(ab)·(b°a)＝cos2θ＝，
又θ∈(，)，所以0
所以n1，n2的值均为1.故ab＝＝.
典例：(2)(5分)设向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，定义一种向量积ab＝(a1b1，a2b2)，已知向量m＝(2，)，n＝(，0)，点P(x，y)在y＝sinx的图上运动，Q是函数y＝f(x)图上的点，且满足＝m＋n(其中O为坐标原点)，则函数y＝f(x)的值域是_____________．
根据定义先写出m，进而求出，确定函数y＝f(x)的解析式．
＝m＋n＝(2x，sinx)＋(，0)＝(2x＋，sinx)，
3．向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题．
a＝λb(b≠0)
＝××2＝5.
【例1如图所示，四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点(不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形，试用向量法证明：PA＝EF.
【例1如图所示，四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点(不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形，试用向量法证明：PA＝EF.
【例1如图所示，四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点(不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形，试用向量法证明：PA＝EF.
证明建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为1，DP＝λ(0<λ<)，
则A(0,1)，P(λ，λ)，E(1，λ)，F(λ，0)，
∴＝(－λ，1－λ)，＝(λ－1，－λ)，
∴||＝＝，
||＝＝，
∴||＝||，即PA＝EF.
解析∵cos∠BOA＝，
则sin∠BOA＝，
∴S△OAB＝|a||b|
＝.
跟踪训练1(2)在△ABC中，已知向量与满足·＝0且·＝，则△ABC为()
A．等边三角形B．直角三角形
C．等腰非等边三角形D．三边均不相等的三角形
所以∠BAC的平分线垂直于BC，所以AB＝AC.
又cos∠BAC＝·＝，所以∠BAC＝.
所以△ABC为等边三角形．
【例已知在锐角△ABC中，两向量p＝(2－2sinA，cosA＋sinA)，q＝(sinA－cosA,1＋sinA)，且p与q是共线向量．
(1)求A的大小；
(2)求函数y＝2sin2B＋cos取最大值时，B的大小．
【例已知在锐角△ABC中，两向量p＝(2－2sinA，cosA＋sinA)，q＝(sinA－cosA,1＋sinA)，且p与q是共线向量．
(1)求A的大小；
(2)求函数y＝2sin2B＋cos取最大值时，B的大小．
【例已知在锐角△ABC中，两向量p＝(2－2sinA，cosA＋sinA)，q＝(sinA－cosA,1＋sinA)，且p与q是共线向量．
(1)求A的大小；
(2)求函数y＝2sin2B＋cos取最大值时，B的大小．
【例已知在锐角△ABC中，两向量p＝(2－2sinA，cosA＋sinA)，q＝(sinA－cosA,1＋sinA)，且p与q是共线向量．
(1)求A的大小；
(2)求函数y＝2sin2B＋cos取最大值时，B的大小．
＝2sin2B＋cos(2B－60°)＝1－cos2B＋cos(2B－60°)
＝1－cos2B＋cos2Bcos60°＋sin2Bsin60°
＝1－cos2B＋sin2B＝1＋sin(2B－30°)，
当2B－30°＝90°，即B＝60°时，函数取最大值2.
(2)y＝2sin2B＋cos
＝2sin2B＋cos
解析∵m∥n，∴(a＋b)(sinB－sinA)－sinC(a＋c)＝0，又∵＝＝，
则化简得a2＋c2－b2＝－ac，
∴cosB＝＝－，∵0
∴B＝.
【例已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且(＋)·(－)＝0.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)若EF为圆N：x2＋(y－1)2＝1的任一条直径，求·的最值．
【例已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且(＋)·(－)＝0.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)若EF为圆N：x2＋(y－1)2＝1的任一条直径，求·的最值．
【例已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且(＋)·(－)＝0.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)若EF为圆N：x2＋(y－1)2＝1的任一条直径，求·的最值．
【例已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且(＋)·(－)＝0.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)若EF为圆N：x2＋(y－1)2＝1的任一条直径，求·的最值．
【例已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且(＋)·(－)＝0.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)若EF为圆N：x2＋(y－1)2＝1的任一条直径，求·的最值．
＝16(1－)＋(y－1)2－1＝－y2－2y＋16
＝－(y＋3)2＋19.
则＝(a,3)，＝(x－a，y)，＝(－x，b－y)，
由·＝0，得a(x－a)＋3y＝0.①
由＝－，得(x－a，y)＝－(－x，b－y)＝(x，(y－b))，
∴∴
把a＝－代入①，得－(x＋)＋3y＝0，整理得y＝x2(x≠0)．
【例在长江南岸渡口处，江水以km/h的速度向东流，渡船的速度为25km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为____________．
【例在长江南岸渡口处，江水以km/h的速度向东流，渡船的速度为25km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为____________．
【例在长江南岸渡口处，江水以km/h的速度向东流，渡船的速度为25km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为____________．
【例在长江南岸渡口处，江水以km/h的速度向东流，渡船的速度为25km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为____________．
【例在长江南岸渡口处，江水以km/h的速度向东流，渡船的速度为25km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为____________．
∵⊥，∴·＝0，
∴25×cos(∠BOD＋90°)＋()2＝0，
解析方法一由已知条件F1＋F2＋F3＝0，
则F3＝－F1－F2，F＝F＋F＋2|F1||F2|cos60°＝28.
因此，|F3|＝2.
方法二如图，||2＝|F1|2＋|F2|2－2|F1||F2|cos60°＝12，
则||2＋||2＝||2，
即∠OF1F2为直角，
|F3|＝2＝2.
典例：(1)(5分)对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβ＝.若两个非零的平面向量a，b满足a与b的夹角θ∈(，)，且ab和ba都在集合{|n∈Z}中，则ab等于()
A．B．C．1D．
典例：(1)(5分)对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβ＝.若两个非零的平面向量a，b满足a与b的夹角θ∈(，)，且ab和ba都在集合{|n∈Z}中，则ab等于()
A．B．C．1D．
由消去x得d＝sin(c－)，
所以y＝f(x)＝sin(x－)，
易知y＝f(x)的值域是.
1．已知P是△ABC所在平面内一点，若＝λ＋，其中λ∈R，则点P一定在()
A．△ABC的内部B．AC边所在直线上
C．AB边所在直线上D．BC边所在直线上
解析由题意知：－＝λ，
2．在△ABC中，(＋)·＝||2，则△ABC的形状一定是()
A．等边三角形B．等腰三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
解析由(＋)·＝||2，
即＋＝λ，∴＝λ，即与共线，
∴点P在AC边所在直线上．
得·(＋－)＝0，
即·(＋＋)＝0,2·＝0，
∴⊥，∴A＝90°.
又根据已知条件不能得到||＝||，
故△ABC一定是直角三角形．
解析因为非零向量与满足·＝0，∴cos(∠BOD＋90°)＝－，
∴sin∠BOD＝，
∴∠BOD＝30°，
∴航向为北偏西30°.
典例：(2)(5分)设向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，定义一种向量积ab＝(a1b1，a2b2)，已知向量m＝(2，)，n＝(，0)，点P(x，y)在y＝sinx的图上运动，Q是函数y＝f(x)图上的点，且满足＝m＋n(其中O为坐标原点)，则函数y＝f(x)的值域是_____________．
典例：(2)(5分)设向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，定义一种向量积ab＝(a1b1，a2b2)，已知向量m＝(2，)，n＝(，0)，点P(x，y)在y＝sinx的图上运动，Q是函数y＝f(x)图上的点，且满足＝m＋n(其中O为坐标原点)，则函数y＝f(x)的值域是_____________．
典例：(2)(5分)设向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，定义一种向量积ab＝(a1b1，a2b2)，已知向量m＝(2，)，n＝(，0)，点P(x，y)在y＝sinx的图上运动，Q是函数y＝f(x)图上的点，且满足＝m＋n(其中O为坐标原点)，则函数y＝f(x)的值域是_____________．
3．已知|a|＝2|b|，|b|≠0且关于x的方程x2＋|a|x－a·b＝0有两相等实根，则向量a与b的夹角是()
A．－B．－C．D．
解析由已知可得Δ＝|a|2＋4a·b＝0，
即4|b|2＋4·2|b|·|b|cosθ＝0，
∴cosθ＝－，又∵0≤θ≤π，∴θ＝.
4．已知点A(－2,0)、B(3,0)，动点P(x，y)满足·＝x2，则点P的轨迹是()
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
解析＝(－2－x，－y)，＝(3－x，－y)，
∴·＝(－2－x)(3－x)＋y2＝x2，∴y2＝x＋6.
5．若函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)在一个周期内的图如图所示，M，N分别是这段图的最高点和最低点，且·＝0(O为坐标原点)，则A等于()
A B．π C．π D．π
解析由题意知M(，A)，N(π，－A)，
又·＝×π－A2＝0，
∴A＝π.
6．(2013·天津)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB的长为________．
解析在平行四边形ABCD中，取AB的中点F，则＝，
∴＝＝－，又＝＋，
∴·＝(＋)·(－)
＝2－·＋·－2
＝||2＋||||cos60°－||2＝1＋×||－||2＝1.
∴||＝0，又||≠0，∴||＝.
7．已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f4，则f4＝________.
解析由物理知识知：f1＋f2＋f3＋f4＝0，
故f4＝－(f1＋f2＋f3)＝(1,2)．
8．已知在平面直角坐标系中，O(0,0)，M(1,1)，N(0,1)，Q(2,3)，动点P(x，y)满足不等式0≤·≤1,0≤·≤1，则z＝·的最大值为________．
解析＝(x，y)，＝(1,1)，＝(0,1)，
∴·＝x＋y，·＝y，
即在条件下，求z＝2x＋3y的最大值，由线性规划知识，当x＝0，y＝1时，zmax＝3.
9．已知△ABC中，∠C是直角，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上一点，且AE＝2EB，求证：AD⊥CE.
证明建立如图所示的直角坐标系，
设A(a,0)，则B(0，a)，E(x，y)．
∵D是BC的中点，∴D(0，)．
又∵＝2，即(x－a，y)＝2(－x，a－y)，
∴解得x＝，y＝a.
9．已知△ABC中，∠C是直角，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上一点，且AE＝2EB，求证：AD⊥CE.
∵＝(0，)－(a,0)＝(－a，)，
＝＝(，a)，
∴·＝－a×＋a×
＝－a2＋a2＝0.
∴⊥，即AD⊥CE.
10．已知A，B，C三点的坐标分别为A(3,0)，B(0,3)，C(cosα，sinα)，其α∈(，)．
(1)若||＝||，求角α的值．
(2)若·＝－1，求tan(α＋)的值．
解(1)∵＝(cosα－3，sinα)，＝(cosα，sinα－3)，
∴||＝＝，
||＝.
由||＝||得sinα＝cosα，
又α∈(，)，∴α＝π.
10．已知A，B，C三点的坐标分别为A(3,0)，B(0,3)，C(cosα，sinα)，其α∈(，)．
(1)若||＝||，求角α的值．
(2)若·＝－1，求tan(α＋)的值．
(2)由·＝－1，
得(cosα－3)cosα＋sinα(sinα－3)＝－1，
∴sinα＋cosα＝，∴sin(α＋)＝>0.
由于<α<，∴<α＋<π，∴cos(α＋)＝－.
故tan(α＋)＝－.
1．(2013·浙江)设△ABC，P0是边AB上一定点，满足P0B＝AB，且对于边AB上任一点P，恒有·≥·，则()
A．∠ABC＝90°B．∠BAC＝90°
C．AB＝ACD．AC＝BC
解析设BC中点为M，
则·＝2－2
＝2－2，
同理·＝2－2，
1．(2013·浙江)设△ABC，P0是边AB上一定点，满足P0B＝AB，且对于边AB上任一点P，恒有·≥·，则()
A．∠ABC＝90°B．∠BAC＝90°
C．AB＝ACD．AC＝BC
∵·≥·恒成立，
∴||≥||恒成立．
即P0M⊥AB，
取AB的中点N，又P0B＝AB，
则CN⊥AB，∴AC＝BC.故选D.
2．已知在△ABC中，＝a，＝b，a·b<0，S△ABC＝，|a|＝3，|b|＝5，则∠BAC＝________.
解析∵·<0，∴∠BAC为钝角，
又S△ABC＝|a||b|sin∠BAC＝.
∴sin∠BAC＝，∴∠BAC＝150°.
3．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为______．
解析方法一以D为原点，分别以DA、DC所在直线为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC＝a，DP＝x.
∴D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)，
＝(2，－x)，＝(1，a－x)，
∴＋3＝(5,3a－4x)，
|＋3|2＝25＋(3a－4x)2≥25，
∴|＋3|的最小值为5.
3．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为______．
方法二设＝x(0
∴＝(1－x)，
＝－＝－x，
＝＋＝(1－x)＋.
∴＋3＝＋(3－4x)，
|＋3|2＝2＋2××(3－4x)·＋(3－4x)2·2
＝25＋(3－4x)22≥25，
∴|＋3|的最小值为5.
4．已知点A(2,0)，B(0,2)，C(cosα，sinα)，且0<α<π.
(1)若|＋|＝，求与的夹角；
(2)若⊥，求tanα的值．
解(1)因为|＋|＝，
所以(2＋cosα)2＋sin2α＝7，所以cosα＝.
又因为α∈(0，π)，所以α＝∠AOC＝.
又因为∠AOB＝，所以与的夹角为.
4．已知点A(2,0)，B(0,2)，C(cosα，sinα)，且0<α<π.
(1)若|＋|＝，求与的夹角；
(2)若⊥，求tanα的值．
(2)＝(cosα－2，sinα)，＝(cosα，sinα－2)．
因为⊥，所以·＝0，
所以cosα＋sinα＝，①
所以(cosα＋sinα)2＝，所以2sinαcosα＝－.
又因为α∈(0，π)，所以α∈(，π)．
4．已知点A(2,0)，B(0,2)，C(cosα，sinα)，且0<α<π.
(1)若|＋|＝，求与的夹角；
(2)若⊥，求tanα的值．
因为(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝，cosα－sinα<0，
所以cosα－sinα＝－.②
由①②得cosα＝，sinα＝，
所以tanα＝－.
5．如图所示，已知点F(1,0)，直线l：x＝－1，P为平面上的一动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且·＝·.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M.已知＝λ1，＝λ2，求λ1＋λ2的值．
解(1)设点P(x，y)，则Q(－1，y)，
由·＝·，得(x＋1,0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)，化简得P的轨迹C的方程为y2＝4x.
(2)设直线AB的方程为x＝my＋1(m≠0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，又M(－1，－)，
联立方程消去x，得y2－4my－4＝0，Δ＝(－4m)2＋16>0，
故
由＝λ1，＝λ2，
得y1＋＝－λ1y1，y2＋＝－λ2y2，整理，得λ1＝－1－，λ2＝－1－，
所以λ1＋λ2＝－2－(＋)＝－2－·
＝－2－·＝0.
典例：(1)(5分)对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβ＝.若两个非零的平面向量a，b满足a与b的夹角θ∈(，)，且ab和ba都在集合{|n∈Z}中，则ab等于()
A．B．C．1D．
解答创新型问题，首先需要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，然后应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义信息题难点的关键所在．
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