高考题型突破高考题型突破高考题型突破练出高分12345练出高分23451练出高分23451练出高分23451练出高分13452练出高分13452练出高分13452练出高分12453练出高分12453练出高分12453练出高分12354练出高分12354练出高分12354练出高分12354练出高分12354练出高分12345练出高分12345练出高分12345考点自测高考题型突破练出高分考点自测高考题型突破练出高分考点自测高考题型突破练出高分考点自测高考题型突破练出高分考点自测高考题型突破练出高分考点自测高考题型突破练出高分专题二高考中的三角函数的综合问题数学北（理）第五章平面向量解析答案题号34521BDB自我检测查缺补漏考点自测A夯基释疑返回高考题型突破题型一三角函数的图像和性质思维启迪解析思维升华题型一三角函数的图像和性质思维启迪解析思维升华高考题型突破题型一三角函数的图像和性质思维启迪解析思维升华高考题型突破题型一三角函数的图像和性质思维启迪解析思维升华高考题型突破题型一三角函数的图像和性质思维启迪解析思维升华高考题型突破题型一三角函数的图像和性质思维启迪解析思维升华高考题型突破高考题型突破题型二三角函数和解三角形思维启迪解析思维升华高考题型突破题型二三角函数和解三角形思维启迪解析思维升华高考题型突破题型二三角函数和解三角形思维启迪解析思维升华高考题型突破题型二三角函数和解三角形思维启迪解析思维升华高考题型突破题型二三角函数和解三角形思维启迪解析思维升华高考题型突破题型二三角函数和解三角形思维启迪解析思维升华高考题型突破高考题型突破高考题型突破高考题型突破题型三三角函数与平面向量的综合应用思维启迪解析思维升华高考题型突破题型三三角函数与平面向量的综合应用思维启迪解析思维升华高考题型突破题型三三角函数与平面向量的综合应用思维启迪解析思维升华高考题型突破题型三三角函数与平面向量的综合应用思维启迪解析思维升华高考题型突破题型三三角函数与平面向量的综合应用思维启迪解析思维升华高考题型突破题型三三角函数与平面向量的综合应用思维启迪解析思维升华高考题型突破【例(2013·重庆)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＋b2＋ab＝c2.
(1)求C；
(2)设cosAcosB＝，＝，求tanα的值．
∴sin(3x－)＝a(0
【例(2013·重庆)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＋b2＋ab＝c2.
(1)求C；
(2)设cosAcosB＝，＝，求tanα的值．
【例(2013·重庆)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＋b2＋ab＝c2.
(1)求C；
(2)设cosAcosB＝，＝，求tanα的值．
【例(2013·重庆)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＋b2＋ab＝c2.
(1)求C；
(2)设cosAcosB＝，＝，求tanα的值．
【例(2013·重庆)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＋b2＋ab＝c2.
(1)求C；
(2)设cosAcosB＝，＝，求tanα的值．
【例(2013·重庆)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＋b2＋ab＝c2.
(1)求C；
(2)设cosAcosB＝，＝，求tanα的值．
当φ＝π时，y＝sin(2x＋φ)＝－sin2x过原点．
对三角函数的性质的讨论，首先要化成y＝Asin(ωx＋φ)＋k(一角、一次、一函数)的形式；根据(2)中条件可确定ω.
【例1已知函数f(x)＝sin(ωx＋)＋sin(ωx－)－2cos2，x∈R(其中ω>0)．
(1)求函数f(x)的值域；
(2)若函数y＝f(x)的图与直线y＝－1的两个相邻交点间的距离为，求函数y＝f(x)的单调增区间．
三角函数的图像和性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，然后将t＝ωx＋φ视为一个整体，结合y＝sint的图像求解．
解(1)因为a2＋b2＋ab＝c2，
三角函数和三角形的结合，一般可以利用正弦定理、余弦定理先确定三角形的边角，再代入到三角函数中，三角函数和差公式的灵活运用是解决此类问题的关键．
跟踪训练2(2012·安徽)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且有2sinBcosA＝sinAcosC＋cosAsinC.
(1)求角A的大小；
(2)若b＝2，c＝1，D为BC的中点，求AD的长．
当曲线过原点时，φ＝kπ，k∈Z，不一定有φ＝π.
由余弦定理有cosC＝＝＝－.
(1)由向量数量积的运算转化成三角函数式，化简求值．
解(1)m·n＝sin·cos＋cos2
＝sin＋＝sin＋，
(2)∵(2a－c)cosB＝bcosC，
(1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题．
由正弦定理得(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC，
(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响．
【例已知向量m＝，n＝.
(1)若m·n＝1，求cos的值；
(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC，求函数f(A)的取值范围．
∴“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过原点”的充分不必要条件．
又0
因为C＝，所以A＋B＝，所以sin(A＋B)＝，
因为cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB，
即－sinAsinB＝，
解得sinAsinB＝－＝.
(2)在△ABC中，求出∠A的范围，再求f(A)的取值范围．
∵m·n＝1，∴sin＝.
∵cos＝1－2sin2＝，
∴cos＝－cos＝－.
∴2sinAcosB＝sin(B＋C)．
∴2sinAcosB－sinCcosB
＝sinBcosC.
∵A＋B＋C＝π，
∴sin(B＋C)＝sinA≠0.
∴cosB＝，
∵0
∴<＋<，sin∈.
又∵f(x)＝sin＋.
∴f(A)＝sin＋.
故函数f(A)的取值范围是.
解(1)f(x)＝sinωx＋cosωx＋sinωx－cosωx－(cosωx＋1)
＝2(sinωx－cosωx)－1＝2sin(ωx－)－1.
由－1≤sin(ωx－)≤1，
得－3≤2sin(ωx－)－1≤1，
所以函数f(x)的值域为[－3,1]．
(2)由题设条件及三角函数图像和性质可知，y＝f(x)的周期为π，
所以＝π，即ω＝2.
所以f(x)＝2sin(2x－)－1，
再由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以函数y＝f(x)的单调增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
跟踪训练1已知函数f(x)＝sin2x－2sinxcosx＋3cos2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)当x∈[，π]时，求函数f(x)的最大值和最小值．
解f(x)＝sin2x－2sinxcosx＋3cos2x
＝1－sin2x＋2cos2x＝2＋cos2x－sin2x＝2＋cos(2x＋)．
(1)函数f(x)的最小正周期T＝π.
(2)因为≤x≤π，所以π≤2x＋≤.
所以≤cos(2x＋)≤1.
所以3≤2＋cos(2x＋)≤2＋，即3≤f(x)≤2＋.
所以函数f(x)的最小值为3，最大值为2＋.
【例(2013·重庆)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＋b2＋ab＝c2.
(1)求C；
(2)设cosAcosB＝，＝，求tanα的值．
【例(2013·重庆)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＋b2＋ab＝c2.
(1)求C；
(2)设cosAcosB＝，＝，求tanα的值．
【例(2013·重庆)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＋b2＋ab＝c2.
(1)求C；
(2)设cosAcosB＝，＝，求tanα的值．
【例(2013·重庆)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＋b2＋ab＝c2.
(1)求C；
(2)设cosAcosB＝，＝，求tanα的值．
【例(2013·重庆)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＋b2＋ab＝c2.
(1)求C；
(2)设cosAcosB＝，＝，求tanα的值．
(1)利用余弦定理求C；
(2)由(1)和cosAcosB＝可求得A＋B，代入求tanα.
故C＝.
(2)由题意得
＝.
因此(tanαsinA－cosA)(tanαsinB－cosB)＝，
tan2αsinAsinB－tanα(sinAcosB＋cosAsinB)＋cosAcosB＝，
tan2αsinAsinB－tanαsin(A＋B)＋cosAcosB＝.①
由①得tan2α－5tanα＋4＝0，解得tanα＝1或tanα＝4.
解(1)方法一由题设知，2sinBcosA＝sin(A＋C)＝sinB.
因为sinB≠0，所以cosA＝.
由于0
方法二由题设可知，2b·＝a·＋c·，
于是b2＋c2－a2＝bc，所以cosA＝＝.
由于0
跟踪训练2(2012·安徽)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且有2sinBcosA＝sinAcosC＋cosAsinC.
(1)求角A的大小；
(2)若b＝2，c＝1，D为BC的中点，求AD的长．
(2)方法一因为2＝2＝(2＋2＋2·)
＝(1＋4＋2×1×2×cos)＝，
所以||＝.从而AD＝.
跟踪训练2(2012·安徽)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且有2sinBcosA＝sinAcosC＋cosAsinC.
(1)求角A的大小；
(2)若b＝2，c＝1，D为BC的中点，求AD的长．
方法二因为a2＝b2＋c2－2bccosA＝4＋1－2×2×1×＝3，
所以a2＋c2＝b2，B＝.
因为BD＝，AB＝1，所以AD＝＝.
【例已知向量m＝，n＝.
(1)若m·n＝1，求cos的值；
(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC，求函数f(A)的取值范围．
【例已知向量m＝，n＝.
(1)若m·n＝1，求cos的值；
(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC，求函数f(A)的取值范围．
【例已知向量m＝，n＝.
(1)若m·n＝1，求cos的值；
(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC，求函数f(A)的取值范围．
【例已知向量m＝，n＝.
(1)若m·n＝1，求cos的值；
(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC，求函数f(A)的取值范围．
【例已知向量m＝，n＝.
(1)若m·n＝1，求cos的值；
(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC，求函数f(A)的取值范围．
跟踪训练3已知a＝(5cosx，cosx)，b＝(sinx,2cosx)，设函数f(x)＝a·b＋|b|2＋.
(1)当x∈[，]时，求函数f(x)的值域；
(2)当x∈[，]时，若f(x)＝8，求函数f(x－)的值；
(3)将函数y＝f(x)的图像向右平移个单位后，再将得到的图像上各点的纵坐标向下平移5个单位，得到函数y＝g(x)的图像，求函数g(x)的表达式并判断奇偶性．
解(1)f(x)＝a·b＋|b|2＋＝5sinxcosx＋2cos2x＋4cos2x＋sin2x＋
(2)f(x)＝5sin(2x＋)＋5＝8，则sin(2x＋)＝，
＝5sinxcosx＋5cos2x＋
＝sin2x＋5×＋＝5sin(2x＋)＋5.
由≤x≤，得≤2x＋≤，
∴－≤sin(2x＋)≤1，
∴当≤x≤时，函数f(x)的值域为[，10]．
所以cos(2x＋)＝－，
f(x－)＝5sin2x＋5＝5sin(2x＋－)＋5＝＋7.
(3)由题意知f(x)＝5sin(2x＋)＋5→
g(x)＝5sin[2(x－)＋]＋5－5＝5sin2x，
即g(x)＝5sin2x，
g(－x)＝5sin(－2x)＝－5sin2x＝－g(x)，
故g(x)为奇函数．
1．函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)在同一个周期内，当x＝时，y取最大值1，当x＝时，y取最小值－1.
(1)求函数的解析式y＝f(x)；
(2)函数y＝sinx的图像经过怎样的变换可得到y＝f(x)的图像；
(3)若函数f(x)满足方程f(x)＝a(0
2．(2013·安徽)已知函数f(x)＝4cosωx·sin(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)讨论f(x)在区间上的单调性．
解(1)f(x)＝4cosωx·sin＝2sinωx·cosωx＋2cos2ωx
3．(2013·四川)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cosB－sin(A－B)sinB＋cos(A＋C)＝－.
(1)求cosA的值；
(2)若a＝4，b＝5，求向量在方向上的影．
解(1)由2cos2cosB－sin(A－B)sinB＋cos(A＋C)＝－，4．已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosx，sinx)，c＝(sinx＋2sinα，cosx＋2cosα)，其中0<α
(1)若α＝，求函数f(x)＝b·c的最小值及相应x的值；
(2)若a与b的夹角为，且a⊥c，求tan2α的值．
解(1)∵b＝(cosx，sinx)，
5．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，A>0，ω>0,0<φ<)的部分图像如图所示．
(1)求f(x)的解析式；
(2)设g(x)＝[f(x－)]2，求函数g(x)在x∈[－，]上的最大值，并确定此时x的值．
解(1)∵T＝2(π－)＝π，∴ω＝3，
又∵sin(π＋φ)＝1，∴＋φ＝2kπ＋，k∈Z.
又|φ|<，得φ＝－，
∴函数的解析式为f(x)＝sin(3x－)．
(2)y＝sinx的图像向右移个单位，得到y＝sin(x－)的图像，
再由y＝sin(x－)的图像上所有点的横坐标变为原来的，
纵坐标不变，得到y＝sin(3x－)的图像．
(3)∵f(x)＝sin(3x－)的最小正周期为π，
∴f(x)＝sin(3x－)在[0,2π]内恰有3个周期，
同理，x3＋x4＝，x5＋x6＝π，
故所有实数根之和为＋＋＝.
＝(sin2ωx＋cos2ωx)＋＝2sin＋.
因为f(x)的最小正周期为π，且ω>0.
从而有＝π，故ω＝1.
(2)由(1)知，f(x)＝2sin＋.
若0≤x≤，则≤2x＋≤.
当≤2x＋≤，即0≤x≤时，f(x)单调递增；
当≤2x＋≤，即≤x≤时，f(x)单调递减．
综上可知，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．
得[cos(A－B)＋1]cosB－sin(A－B)sinB－cosB＝－，
即cos(A－B)cosB－sin(A－B)sinB＝－.
则cos(A－B＋B)＝－，即cosA＝－.
(2)由cosA＝－，0
由正弦定理，有＝，所以，sinB＝＝.
由题知a>b，则A>B，故B＝，
根据余弦定理，有(4)2＝52＋c2－2×5c×，
解得c＝1或c＝－7(舍去)．
故向量在方向上的射影为||cosB＝.
c＝(sinx＋2sinα，cosx＋2cosα)，α＝，∴f(x)＝b·c
＝cosxsinx＋2cosxsinα＋sinxcosx＋2sinxcosα
＝2sinxcosx＋(sinx＋cosx)．
解(1)由题图知A＝2，＝，则＝4×，∴ω＝.
又f(－)＝2sin[×(－)＋φ]＝2sin(－＋φ)＝0，
∴sin(φ－)＝0，
∵0<φ<，∴－<φ－<，
∴φ－＝0，即φ＝，∴f(x)＝2sin(x＋)．
(2)由(1)可得f(x－)＝2sin[(x－)＋]＝2sin(x＋)，
∴g(x)＝[f(x－)]2＝4×＝2－2cos(3x＋)，
∵x∈[－，]，∴－≤3x＋≤，
∴当3x＋＝π，即x＝时，[g(x)]max＝4.
【例1已知函数f(x)＝sin(ωx＋)＋sin(ωx－)－2cos2，x∈R(其中ω>0)．
(1)求函数f(x)的值域；
(2)若函数y＝f(x)的图与直线y＝－1的两个相邻交点间的距离为，求函数y＝f(x)的单调增区间．
【例1已知函数f(x)＝sin(ωx＋)＋sin(ωx－)－2cos2，x∈R(其中ω>0)．
(1)求函数f(x)的值域；
(2)若函数y＝f(x)的图与直线y＝－1的两个相邻交点间的距离为，求函数y＝f(x)的单调增区间．
【例1已知函数f(x)＝sin(ωx＋)＋sin(ωx－)－2cos2，x∈R(其中ω>0)．
(1)求函数f(x)的值域；
(2)若函数y＝f(x)的图与直线y＝－1的两个相邻交点间的距离为，求函数y＝f(x)的单调增区间．
【例1已知函数f(x)＝sin(ωx＋)＋sin(ωx－)－2cos2，x∈R(其中ω>0)．
(1)求函数f(x)的值域；
(2)若函数y＝f(x)的图与直线y＝－1的两个相邻交点间的距离为，求函数y＝f(x)的单调增区间．
【例1已知函数f(x)＝sin(ωx＋)＋sin(ωx－)－2cos2，x∈R(其中ω>0)．
(1)求函数f(x)的值域；
(2)若函数y＝f(x)的图与直线y＝－1的两个相邻交点间的距离为，求函数y＝f(x)的单调增区间．
2．(2013·安徽)已知函数f(x)＝4cosωx·sin(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)讨论f(x)在区间上的单调性．
2．(2013·安徽)已知函数f(x)＝4cosωx·sin(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)讨论f(x)在区间上的单调性．
3．(2013·四川)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cosB－sin(A－B)sinB＋cos(A＋C)＝－.
(1)求cosA的值；
(2)若a＝4，b＝5，求向量在方向上的影．
3．(2013·四川)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cosB－sin(A－B)sinB＋cos(A＋C)＝－.
(1)求cosA的值；
(2)若a＝4，b＝5，求向量在方向上的影．
令t＝sinx＋cosx，
4．已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosx，sinx)，c＝(sinx＋2sinα，cosx＋2cosα)，其中0<α
(1)若α＝，求函数f(x)＝b·c的最小值及相应x的值；
(2)若a与b的夹角为，且a⊥c，求tan2α的值．
则2sinxcosx＝t2－1，且－1
则y＝t2＋t－1＝2－，－1
∴t＝－时，ymin＝－，此时sinx＋cosx＝－，
即sin＝－，
4．已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosx，sinx)，c＝(sinx＋2sinα，cosx＋2cosα)，其中0<α
(1)若α＝，求函数f(x)＝b·c的最小值及相应x的值；
(2)若a与b的夹角为，且a⊥c，求tan2α的值．
∵
∴x＋＝π，∴x＝.
∴函数f(x)的最小值为－，相应x的值为.
4．已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosx，sinx)，c＝(sinx＋2sinα，cosx＋2cosα)，其中0<α
(1)若α＝，求函数f(x)＝b·c的最小值及相应x的值；
(2)若a与b的夹角为，且a⊥c，求tan2α的值．
(2)∵a与b的夹角为，
∴cos＝＝cosαcosx＋sinαsinx＝cos(x－α)．
∵0<α
4．已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosx，sinx)，c＝(sinx＋2sinα，cosx＋2cosα)，其中0<α
(1)若α＝，求函数f(x)＝b·c的最小值及相应x的值；
(2)若a与b的夹角为，且a⊥c，求tan2α的值．
∴sin(x＋α)＋2sin2α＝0，即sin＋2sin2α＝0.
∴sin2α＋cos2α＝0，∴tan2α＝－.
∵a⊥c，∴cosα(sinx＋2sinα)＋sinα(cosx＋2cosα)＝0，
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