B组专项能力提升23451B组专项能力提升23451B组专项能力提升23451B组专项能力提升23451数学北（理）第三章导数及其应用压轴题目突破练——函数与导数23456789110A组专项基础训练A组专项基础训练23456789110AA组专项基础训练23456789110CA组专项基础训练23456789110AA组专项基础训练23456789110A组专项基础训练B23456789110A组专项基础训练23456789110A组专项基础训练23456789110A组专项基础训练23456789110A组专项基础训练23456789110A组专项基础训练234567891102∶1A组专项基础训练23456789110A组专项基础训练23456789110A组专项基础训练23456789110A组专项基础训练23456789110A组专项基础训练23456789110A组专项基础训练23456789110B组专项能力提升23451B组专项能力提升23451CB组专项能力提升23451B组专项能力提升23451B组专项能力提升23451DB组专项能力提升2345121B组专项能力提升23451B组专项能力提升23451[1，＋∞)B组专项能力提升234511．与直线2x－6y＋1＝0垂直，且与曲线f(x)＝x3＋3x2－1相切的直线方程是()
A．3x＋y＋2＝0B．3x－y＋2＝0
C．x＋3y＋2＝0D．x－3y－2＝0
2．设f(x)，g(x)在[a，b]上可导，且f′(x)>g′(x)，则当a
A．f(x)>g(x)
B．f(x)
C．f(x)＋g(a)>g(x)＋f(a)
D．f(x)＋g(b)>g(x)＋f(b)
3．三次函数f(x)＝mx3－x在(－∞，＋∞)上是减函数，则m的取值范围是()
A．m<0B．m<1
C．m≤0D．m≤1
5．函数f(x)在定义域内的图像如图所示，记f(x)的导函数为f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为()
A．∪[1,2)
B．∪
C．∪[2,3)
D．∪∪
6．设函数f(x)＝x3＋·x2＋tanθ，其中θ∈，则导数f′(1)的取值范围是________．
8．把一个周长为12cm的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为________．
10．已知f(x)是二次函数，不等式f(x)<0的解集是(0,5)，且f(x)在区间[－1,4]上的最大值是12.
(1)求f(x)的解析式；
(2)是否存在自然数m，使得方程f(x)＋＝0在区间(m，m＋1)内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出所有m的值；若不存在，请说明理由．
4．点P是曲线x2－y－2ln＝0上任意一点，则点P到直线4x＋4y＋1＝0的最短距离是()
A．(1－ln2)B．(1＋ln2)
C．D．(1＋ln2)
7．(2012·江西)计算定积分?(x2＋sinx)dx＝________.
9．(2013·重庆)设f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．
(1)确定a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值．
则由切线与直线2x－6y＋1＝0垂直，
解析设切点的坐标为(x0，x＋3x－1)，
可得切线的斜率为－3，
又f′(x)＝3x2＋6x，故3x＋6x0＝－3，
解得x0＝－1，于是切点坐标为(－1,1)，
从而得切线的方程为3x＋y＋2＝0.
解析∵f′(x)－g′(x)>0，∴(f(x)－g(x))′>0，
∴f(x)－g(x)在[a，b]上是增函数，
∴当af(a)－g(a)，
∴f(x)＋g(a)>g(x)＋f(a)．
解析f′(x)＝3mx2－1，依题可得m<0.
解析将直线4x＋4y＋1＝0平移后得直线l：4x＋4y＋b＝0，使直线l与曲线切于点P(x0，y0)，
由x2－y－2ln＝0得y′＝2x－，
∴直线l的斜率k＝2x0－＝－1
解析∵f′(x)＝sinθ·x2＋cosθ·x，
∴f′(1)＝sinθ＋cosθ＝2sin.
∵θ∈，∴θ＋∈，
∴sin∈.∴f′(1)∈[，2]．
解析∵′＝x2＋sinx，
解析设圆柱高为x，底面半径为r，
则r＝，圆柱体积V＝π2x＝(x3－12x2＋36x)(0
V′＝(x－2)(x－6)．
解(1)因为f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，
故f′(x)＝2a(x－5)＋.
令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，
?x0＝或x0＝－1(舍去)，
4．点P是曲线x2－y－2ln＝0上任意一点，则点P到直线4x＋4y＋1＝0的最短距离是()
A．(1－ln2)B．(1＋ln2)
C．D．(1＋ln2)
∴P，
所求的最短距离即为点P到直线4x＋4y＋1＝0的距离d＝＝(1＋ln2)．
解析不等式f′(x)≤0的解集即为函数f(x)的单调递减区间，从图像中可以看出函数f(x)在和[2,3)上是单调递减的，所以不等式f′(x)≤0的解集为∪[2,3)，答案选C.
答案C
当x＝2时，V最大．
此时底面周长为6－x＝4,4∶2＝2∶1.
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－16a＝(6－8a)(x－1)，
由点(0,6)在切线上可得6－16a＝8a－6，故a＝.
9．(2013·重庆)设f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．
(1)确定a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值．
(2)由(1)知，f(x)＝(x－5)2＋6lnx(x>0)，
f′(x)＝x－5＋＝.
令f′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝3.
当03时，f′(x)>0，
故f(x)在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；
9．(2013·重庆)设f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．
(1)确定a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值．
当2
由此可知，f(x)在x＝2处取得极大值f(2)＝＋6ln2，
在x＝3处取得极小值f(3)＝2＋6ln3.
解(1)∵f(x)是二次函数，且f(x)<0的解集是(0,5)，
当x∈时，h′(x)<0，h(x)是减函数；
∴可设f(x)＝ax(x－5)(a>0)．
∴f(x)在区间[－1,4]上的最大值是f(－1)＝6a.
由已知，得6a＝12，∴a＝2，
∴f(x)＝2x(x－5)＝2x2－10x(x∈R)．
(2)方程f(x)＋＝0等价于方程2x3－10x2＋37＝0
设h(x)＝2x3－10x2＋37，
则h′(x)＝6x2－20x＝2x(3x－10)．
当x∈时，h′(x)>0，h(x)是增函数．
∵h(3)＝1>0，h＝－<0，h(4)＝5>0，
∴方程h(x)＝0在区间，内分别有唯一实数根，而在区间(0,3)，(4，＋∞)内没有实数根，
∴存在唯一的自然数m＝3，使得方程f(x)＋＝0在区间(m，m＋1)内有且只有两个不等的实数根．
1．已知函数f(x)(x∈R)的图像上任一点(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x0－2)(x－1)(x－x0)，那么函数f(x)的单调减区间是()
A．[－1，＋) B．(－，2]
C．(－∞，－1)，(1,2)D．[2，＋∞)
解析根据函数f(x)(x∈R)的图像上任一点(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x0－2)(x－1)(x－x0)，2．给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称函数f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′.若f″(x)<0在D上恒成立，则称函数f(x)在D上为凸函数，以下四个函数在上不是凸函数的是()
A．f(x)＝sinx＋cosxB．f(x)＝lnx－2x
C．f(x)＝－x3＋2x－1D．f(x)＝－xe－x
解析对于选项A，f(x)＝sinx＋cosx，
3．函数y＝x2(x>0)的图像在点(ak，a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N＋.若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．
解析因为y′＝2x，所以过点(ak，a)处的切线方程为y－a＝2ak(x－ak)．
4．设函数f(x)＝，g(x)＝，对任意x1、x2∈(0，＋∞)，不等式≤恒成立，则正数k的取值范围是________．
解析因为对任意x1、x2∈(0，＋∞)，
5．(2012·辽宁)设f(x)＝lnx＋－1，证明：
(1)当x>1时，f(x)<(x－1)；
(2)当1
证明(1)方法一记g(x)＝lnx＋－1－(x－1)，
可知其导数f′(x)＝(x－2)(x2－1)＝(x＋1)(x－1)(x－2)，令f′(x)<0得x<－1或1
则f″(x)＝－sinx－cosx<0在上恒成立，
故此函数为凸函数；
对于选项B，f(x)＝lnx－2x，
2．给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称函数f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′.若f″(x)<0在D上恒成立，则称函数f(x)在D上为凸函数，以下四个函数在上不是凸函数的是()
A．f(x)＝sinx＋cosxB．f(x)＝lnx－2x
C．f(x)＝－x3＋2x－1D．f(x)＝－xe－x
则f″(x)＝－<0在上恒成立，
故此函数为凸函数；
对于选项C，f(x)＝－x3＋2x－1，
则f″(x)＝－6x<0在上恒成立，
2．给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称函数f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′.若f″(x)<0在D上恒成立，则称函数f(x)在D上为凸函数，以下四个函数在上不是凸函数的是()
A．f(x)＝sinx＋cosxB．f(x)＝lnx－2x
C．f(x)＝－x3＋2x－1D．f(x)＝－xe－x
故此函数为凸函数；
对于选项D，f(x)＝－xe－x，
则f″(x)＝2e－x－xe－x＝(2－x)e－x>0在上恒成立，故此函数不是凸函数．
又该切线与x轴的交点为(ak＋1,0)，
所以ak＋1＝ak，即数列{ak}是等比数列，
首项a1＝16，其公比q＝，
所以a3＝4，a5＝1.
所以a1＋a3＋a5＝21.
不等式≤恒成立，所以≥max.
因为g(x)＝，
所以g′(x)＝(xe2－x)′＝e2－x＋xe2－x·(－1)＝e2－x(1－x)．
当00；当x>1时，g′(x)<0，
所以g(x)在(0,1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减．
4．设函数f(x)＝，g(x)＝，对任意x1、x2∈(0，＋∞)，不等式≤恒成立，则正数k的取值范围是________．
所以当x＝1时，g(x)取到最大值，即g(x)max＝g(1)＝e；
因为f(x)＝，当x∈(0，＋∞)时，
f(x)＝e2x＋≥2e，当且仅当e2x＝，
即x＝时取等号，故f(x)min＝2e.
所以max＝＝.所以≥.
又因为k为正数，所以k≥1.
则当x>1时，g′(x)＝＋－<0.
又g(1)＝0，所以有g(x)<0，即f(x)<(x－1)．
方法二当x>1时，2
令k(x)＝lnx－x＋1，则k(1)＝0，k′(x)＝－1<0，
5．(2012·辽宁)设f(x)＝lnx＋－1，证明：
(1)当x>1时，f(x)<(x－1)；
(2)当1
故k(x)<0，即lnx
由①②得，当x>1时，f(x)<(x－1)．
(2)方法一记h(x)＝f(x)－，
由(1)得h′(x)＝＋－
＝－<－＝.
5．(2012·辽宁)设f(x)＝lnx＋－1，证明：
(1)当x>1时，f(x)<(x－1)；
(2)当1
令G(x)＝(x＋5)3－216x，则当1
G′(x)＝3(x＋5)2－216<0，
因此G(x)在(1,3)内是减函数．
又由G(1)＝0，得G(x)<0，所以h′(x)<0.
因此h(x)在(1,3)内是减函数．
又h(1)＝0，所以h(x)<0.
5．(2012·辽宁)设f(x)＝lnx＋－1，证明：
(1)当x>1时，f(x)<(x－1)；
(2)当1
于是当1
方法二记h(x)＝(x＋5)f(x)－9(x－1)，
则当1
由(1)得h′(x)＝f(x)＋(x＋5)f′(x)－9
<(x－1)＋(x＋5)·－9
5．(2012·辽宁)设f(x)＝lnx＋－1，证明：
(1)当x>1时，f(x)<(x－1)；
(2)当1
＝[3x(x－1)＋(x＋5)(2＋)－18x]
<
＝(7x2－32x＋25)<0.
因此h(x)在(1,3)内单调递减．
又h(1)＝0，所以h(x)<0，即f(x)<.
[，2]
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