2014-2015学年北京市西城区高一（下）期末数学试卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题4分．共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（）
A．P1=P2＜P3B．P2=P3＜P1C．P1=P3＜P2D．P1=P2=P3
2．从1，2，3，4这四个数中一次随机选取两个数，所取两个数之和为5的概率是（）
A．B．C．D．
3．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）
A．2B．C．D．
4．某校对高一年级学生的数学成绩进行统计，全年级同学的成绩全部介于60分与100分之间，将他们的成绩数据绘制成如图所示的频率分布直方图．现从全体学生中，采用分层抽样的方法抽取60名同学的试卷进行分析，则从成绩在[90，100]内的学生中抽取的人数为（）
A．24B．18C．15D．12
5．投掷一颗骰子，掷出的点数构成的基本事件空间是Ω={1，2，3，4，5，6}．设事件A={1，3}，B={3，5，6}，C={2，4，6}，则下列结论中正确的是（）
A．A，C为对立事件
B．A，B为对立事件
C．A，C为互斥事件，但不是对立事件
D．A，B为互斥事件，但不是对立事件
6．下图是1，2两组各7名同学体重（单位：千克）数据的茎叶图．设1，2两组数据的平均数依次为和，标准差依次为s1和s2，那么（）
（注：标准差s=，其中为x1，x2，…，xn的平均数）
A．＜，s1＜s2B．＜，s1＞s2
C．＞，s1＞s2D．＞，s1＜s2
7．如图给出的是计算的一个程序框图，则判断框内应填入关于i的不等式为（）
A．i＜50B．i＞50C．i＜51D．i＞51
8．袋中装有5个小球，颜色分别是红色、黄色、白色、黑色和紫色，现从袋中随机抽取3个小球．设每个小球被抽到的机会均等，则抽到白球或黑球的概率为（）
A．B．C．D．
二、解答题：本大题共2小题，共18分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
9．从某校高一年级随机抽取n名学生，获得了他们日平均睡眠时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表：
组号分组频数频率
1[5，6）20.04
2[6，7）0.20
3[7，8）a
4[8，9）b
5[9，10）0.16
（I）求n的值；
（Ⅱ）若a=10，补全表中数据，并绘制频率分布直方图；
（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替．若上述数据的平均值为7.84，求a，b的值，并由此估计该校高一学生的日平均睡眠时间不少于8小时的概率．
10．已知关于x的一元二次方程x2﹣2ax+b2=0，其中a，b∈R．
（I）若a随机选自集合{0，1，2，3，4}，b随机选自集合{0，1，2，3}，求方程有实根的概率；
（Ⅱ）若a随机选自区间[0，4]，b随机选自区间[0，3]，求方程有实根的概率．
一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
11．数列{an}满足a1=1，an+1=an﹣3（n∈N），则a4=（）
A．10B．8C．﹣8D．﹣10
12．设a，b∈R，且a＞b，则下列结论中正确的是（）
A．＞lB．＜C．|a|＞|b|D．a3＞b3
13．在等比数列{an}中，a1=2，a4=．若am=2﹣15，则m=（）
A．17B．16C．14D．13
14．若实数x，y满足则z=x+3y的最大值是（）
A．6B．4C．D．0
15．在△ABC中，若asinA=bsinB，则△ABC的形状为（）
A．等腰三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．等边三角形
16．已知等差数列{an}的前n项和为Sn．若S2k+1＞0，则一定有（）
A．ak＞0B．Sk＞0C．ak+l＞0D．Sk+l＞0
17．已知数列{an}的前n项的乘积为Tn=2n﹣c，其中c为常数，n∈N．若a4=3，则c=（）
A．4B．3C．2D．1
18．设不等式组表示的平面区域是W，则W中的整点（横、纵坐标均为整数的点）个数是（）
A．231B．230C．219D．218
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．
19．不等式x2＜2x的解集为．
20．在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，则c=．
21．已知等差数列{an}的各项均为正整数，且a8=2015，则a1的最小值是．
22．函数f（x）=x+（x＞1）的最小值是；此时x=．
23．设a∈R，n∈N，求和：l+a+a2+a3+…+an=．
24．设数列{an}的通项公式为an=3n（n∈N）．数列{bn}定义如下：对任意m∈N，bm是数列{an}中不大于32m的项的个数，则b3=；数列{bm}的前m项和Sm=．
三、解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
25．（10分）（2015春?西城区期末）已知数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列．
（Ⅰ）证明：当0＜q＜1时，{an}是递减数列；
（Ⅱ）若对任意k∈N，都有ak，ak+2，ak+1成等差数列，求q的值．
26．（10分）（2015春?西城区期末）已知△ABC为锐角三角形，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a=2csinA．
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）当c=2时，求：△ABC面积的最大值．
27．（12分）（2015春?西城区期末）设m∈R，不等式mx2﹣（3m+1）x+2（m+1）＞0的解集记为集合P．
（I）若P=（x|﹣1＜x＜2），求m的值；
（Ⅱ）当m＞0时，求集合P；
（Ⅲ）若{x|﹣3＜x＜2}?P，求m的取值范围．
28．（12分）（2015春?西城区期末）已知数列{an}的通项公式为an=2n+（﹣1）n+1?（1+λn），其中是常数，n∈N．
（I）当an=﹣1时，求λ的值；
（Ⅱ）数列{an}是否可能为等差数列？证明你的结论；
（Ⅲ）若对于任意n∈N，都有an＞0，求λ的取值范围．
2014-2015学年北京市西城区高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题4分．共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（）
A．P1=P2＜P3B．P2=P3＜P1C．P1=P3＜P2D．P1=P2=P3
考点：简单随机抽样；分层抽样方法；系统抽样方法．
专题：概率与统计．
分析：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论．
解答：解：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，
即P1=P2=P3．
故选：D．
点评：本题主要考查简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的性质，比较基础．
2．从1，2，3，4这四个数中一次随机选取两个数，所取两个数之和为5的概率是（）
A．B．C．D．
考点：古典概型及其概率计算公式．
专题：概率与统计．
分析：从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，其基本事件共有以下6个，其中两个数的和为5的共有两个（1，4），（2，3）．据此可得出答案．
解答：解：从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，其基本事件共有以下6个：
（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）．
其中两个数的和为5的共有两个（1，4），（2，3）．
故所求事件的概率P==，
故选：C．
点评：把所有的基本事件一一列举出来，再找出所要求的事件包含的基本事件个数即可．
3．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）
A．2B．C．D．
考点：程序框图．
专题：算法和程序框图．
分析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
解答：解：当k=0时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=1，S=2，
当k=1时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=2，S=，
当k=2时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=3，S=，
当k=3时，不满足进行循环的条件，
故输出结果为：，
故选：C．
点评：本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．
4．某校对高一年级学生的数学成绩进行统计，全年级同学的成绩全部介于60分与100分之间，将他们的成绩数据绘制成如图所示的频率分布直方图．现从全体学生中，采用分层抽样的方法抽取60名同学的试卷进行分析，则从成绩在[90，100]内的学生中抽取的人数为（）
A．24B．18C．15D．12
考点：频率分布直方图．
专题：计算题；概率与统计．
分析：根据频率分布直方图，求出成绩在[90，100]内的频率，再利用分层抽样原理计算应抽取的学生数．
解答：解：根据频率分布直方图，得；
成绩在[90，100]内的学生的频率为
0.03×10=0.3，
所以，从成绩在[90，100]内的学生中抽取的人数为
60×0.3=18．
故选：B．
点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了分层抽样原理的应用问题，是基础题目．
5．投掷一颗骰子，掷出的点数构成的基本事件空间是Ω={1，2，3，4，5，6}．设事件A={1，3}，B={3，5，6}，C={2，4，6}，则下列结论中正确的是（）
A．A，C为对立事件
B．A，B为对立事件
C．A，C为互斥事件，但不是对立事件
D．A，B为互斥事件，但不是对立事件
考点：互斥事件与对立事件．
专题：概率与统计．
分析：结合已知中基本事件空间是Ω={1，2，3，4，5，6}．事件A={1，3}，B={3，5，6}，C={2，4，6}，分析A，B，C是否满足互斥事件和对立事件的定义，可得结论．
解答：解：∵投掷一颗骰子，掷出的点数构成的基本事件空间是Ω={1，2，3，4，5，6}．
事件A={1，3}，B={3，5，6}，C={2，4，6}，
当掷出的点数3时，A，B同时发生，
故A，B不是互斥事件，
故A，B也不是对立事件；
即B，D错误；
A，C不可能同时发生，故A，C为互斥事件，
但A∪B={1，2，3，4，6}≠Ω，
故A，C不是对立事件，
故A错误，C正确，
故选：C
点评：本题考查的知识点是互斥事件与对立事件，熟练掌握并正确理解对立事件和互斥事件的概念是解答的关键．
6．下图是1，2两组各7名同学体重（单位：千克）数据的茎叶图．设1，2两组数据的平均数依次为和，标准差依次为s1和s2，那么（）
（注：标准差s=，其中为x1，x2，…，xn的平均数）
A．＜，s1＜s2B．＜，s1＞s2
C．＞，s1＞s2D．＞，s1＜s2
考点：茎叶图．
专题：概率与统计．
分析：将题中的茎叶图还原，结合平均数、方差计算公式，分别算出第1组7位同学和第2组7位同学的平均数和方差，再将所得结果加以比较，即得本题的答案
解答：解：由茎叶图，得第1组的7名同学的体重分别为53565758617072，
∴第1组的7名同学体重的平均数为：=（53+56+57+58+61+70+72）=61kg
因此，第1组的7名同学体重的方差为：s2=[（53﹣61）2+（56﹣61）2+…+（72﹣61）2]=43.00kg2，
同理，第2组的7名同学体重的平均数为：=（54+56+58+60+61+72+73）=62kg
因此，第2组的7名同学体重的方差为：s2=[（54﹣62）2+（56﹣62）2+…+（73﹣62）2]=63.14kg2，
∴＜且s1＜s2
故选：A
点评：本题给出茎叶图，要我们求出数据的平均数和方差，着重考查了茎叶图的认识、样本特征数的计算等知识，属于基础题．
7．如图给出的是计算的一个程序框图，则判断框内应填入关于i的不等式为（）
A．i＜50B．i＞50C．i＜51D．i＞51
考点：程序框图．
专题：算法和程序框图．
分析：框图给出的是计算的值的一个程序框图，首先赋值i=1，执行s=0+时同时执行了i=i+1，和式共有50项作和，所以执行完s=后的i值为51，再判断时i=51应满足条件，由此可以得到正确答案．
解答：解：框图首先给变量s，n，i赋值s=0，n=2，i=1．
判断，条件不满足，执行s=0+，n=2+2=4，i=1+1=2；
判断，条件不满足，执行s=+，n=4+2=6，i=2+1=3；
判断，条件不满足，执行s=++，n=6+2=8，i=3+1=4；
…
由此看出，当执行s=时，执行n=100+2=102，i=50+1=51．
在判断时判断框中的条件应满足，所以判断框中的条件应是i＞50？．
故选：B．
点评：本题考查了程序框图中的直到型循环，虽然是先进行了一次判断，但在不满足条件时执行循环，直到满足条件算法结束，此题是基础题．
8．袋中装有5个小球，颜色分别是红色、黄色、白色、黑色和紫色，现从袋中随机抽取3个小球．设每个小球被抽到的机会均等，则抽到白球或黑球的概率为（）
A．B．C．D．
考点：古典概型及其概率计算公式．
专题：概率与统计．
分析：从口袋中5个小球中随机摸出3个小球，共有10种选法，则既没有黑球也没有白球只有1种，根据互斥事件的概率公式计算即可．
解答：解：从口袋中5个小球中随机摸出3个小球，共有C53=10种选法，则既没有黑球也没有白球只有1种，
∴每个小球被抽到的机会均等，则抽到白球或黑球的概率为1﹣=，
故选：D．
点评：本题考查了古典概型的概率计算公式和组合数的计算公式，属于基础题
二、解答题：本大题共2小题，共18分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
9．从某校高一年级随机抽取n名学生，获得了他们日平均睡眠时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表：
组号分组频数频率
1[5，6）20.04
2[6，7）0.20
3[7，8）a
4[8，9）b
5[9，10）0.16
（I）求n的值；
（Ⅱ）若a=10，补全表中数据，并绘制频率分布直方图；
（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替．若上述数据的平均值为7.84，求a，b的值，并由此估计该校高一学生的日平均睡眠时间不少于8小时的概率．
考点：频率分布直方图．
专题：概率与统计．
分析：（I）根据频率=，求出n的值；
（II）根据频率、频数与样本容量的关系，求出表中空余的数值，补全数表，并绘制频率分布直方图；
（III）根据平均数的定义，列出方程组，求出a、b的值，计算日平均睡眠时间不少于8小时的概率．
解答：解：（I）∵小组[5，6）内的频数是2，对应的频率是0.04，
∴样本容量为n=；（1分）
（II）小组[6，7）内的频数为50×0.20=10，
小组[7，8）内的频率为=0.20，
小组[8，9）内的频数为50﹣2﹣10﹣10﹣8=20，
频率为=0.40，
小组[9，10）内的频数为50×0.16=8，
由此补全数据见下表（3分）；
组号分组频数频率
1[5，6）20.04
2[6，7）100.20
3[7，8）100.20
4[8，9）200.40
5[9，10）80.16
绘制频率分布直方图见下图：（5分）
（III）根据题意，得
，（7分）
解得；（8分）
设“该校高一学生的日平均睡眠时间不少于8小时”为事件A，
则P（A）=．（9分）
点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了平均数与概率的计算问题，是基础题目．
10．已知关于x的一元二次方程x2﹣2ax+b2=0，其中a，b∈R．
（I）若a随机选自集合{0，1，2，3，4}，b随机选自集合{0，1，2，3}，求方程有实根的概率；
（Ⅱ）若a随机选自区间[0，4]，b随机选自区间[0，3]，求方程有实根的概率．
考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
专题：应用题；概率与统计．
分析：（I）根据判别式△≥0得出一元二次方程有实根的条件为事件A，
由a∈{0，1，2，3，4}，b∈{0，1，2，3}，列出基本事件数，计算对应的概率即可；
（II）利用几何概型求出对应的概率即可．
解答：解：（I）设“关于x的一元二次方程x2﹣2ax+b2=0有实根”为事件A，
由△=（﹣2a）2﹣4b2≥0，得a2≥b2；
因为a≥0，b≥0，
所以a≥b时事件A发生；
又a∈{0，1，2，3，4}，b∈{0，1，2，3}，
所以它的基本事件共20个：
（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，1），（1，2），
（1，3），（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），（3，0），（3，1），
（3，2），（3，3），（4，0），（4，1），（4，2），（4，3）；（3分）
且事件A包含的基本事件有14个：
（0，0），（1，0），（1，1），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），
（3，1），（3，2），（3，3），（4，0），（4，1），（4，2），（4，3）；（4分）
所以P（A）=；（5分）
（II）因为a∈[0，4]，b∈[0，3]，
则试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|0≤a≤4，0≤b≤3}，
Ω的面积为μΩ=3×4=12；（6分）
事件A所构成的区域A={（a，b）|0≤a≤4，0≤b≤3，a≥b}，
A的面积为，如图所示；（8分）
所以P（A）=．（9分）
点评：本题考查了用列举法求古典概型的概率问题，也考查了几何概型的应用问题，是基础题目．
一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
11．数列{an}满足a1=1，an+1=an﹣3（n∈N），则a4=（）
A．10B．8C．﹣8D．﹣10
考点：等差数列的通项公式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：由an+1=an﹣3得到数列{an}是等差数列，进行求解即可．
解答：解：∵an+1=an﹣3，
∴an+1﹣an=﹣3得
数列{an}是公差d=﹣3的等差数列，
则a4=a1+3d=1﹣9=﹣8，
故选：C．
点评：本题主要考查等差数列的应用，根据条件判断数列是等差数列是解决本题的关键．
12．设a，b∈R，且a＞b，则下列结论中正确的是（）
A．＞lB．＜C．|a|＞|b|D．a3＞b3
考点：不等式的基本性质．
专题：不等式．
分析：对于A，B，C，举反例即可判断，对于D，根据幂函数的性质即可判断．
解答：解：对于A，若a=1，b=﹣1，则＜1，故A不成立，
对于B，若a=1，b=﹣1，则＞，故B不成立，
对于C，若a=1，b=﹣1，则|a|=|b|，故C不成立，
对于D，对于幂函数y=x3为增函数，故a3＞b3，故D成立，
故选：D．
点评：本题主要考查不等式与不等关系，不等式的基本性质的应用，属于基础题
13．在等比数列{an}中，a1=2，a4=．若am=2﹣15，则m=（）
A．17B．16C．14D．13
考点：等比数列的通项公式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：根据等比数列的通项公式进行求解即可．
解答：解：∵a1=2，a4=．
∴q3===，
则q=，
∵am=2﹣15=a1qm﹣1=2×（）m﹣1=22﹣m，
∴2﹣m=﹣15，
即m=17，
故选：A．
点评：本题主要考查等比数列通项公式的应用，根据条件求出公比是解决本题的关键．
14．若实数x，y满足则z=x+3y的最大值是（）
A．6B．4C．D．0
考点：简单线性规划．
专题：不等式的解法及应用．
分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x+3y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．
解答：解：先根据约束条件画出可行域，
当直线z=x+3y表示直线y=x+，当过点B（1，1）时，
z最大是4；
故选：B
点评：本小题主要考查线性规划问题，以及利用几何意义求最值，属于基础题．
15．在△ABC中，若asinA=bsinB，则△ABC的形状为（）
A．等腰三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．等边三角形
考点：三角形的形状判断．
专题：解三角形．
分析：由条件利用正弦定理可得sinA=sinB，故有a=b，可得△ABC为等腰三角形．
解答：解：∵△ABC中，已知asinA=bsinB，
∴由正弦定理可得sinAsinA=sinBsinB，
∴sinA=sinB，∴a=b，
故△ABC为等腰三角形，
故选：A．
点评：本题主要考查正弦定理的应用，考查运算能力，属于基本知识的考查．
16．已知等差数列{an}的前n项和为Sn．若S2k+1＞0，则一定有（）
A．ak＞0B．Sk＞0C．ak+l＞0D．Sk+l＞0
考点：等差数列的前n项和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：根据等差数列的性质以及前n项和公式进行推导即可．
解答：解：∵S2k+1=×（2k+1）=ak+l×（2k+1）＞0，
∴ak+l＞0，
故选：C．
点评：本题主要考查等差数列的性质，利用等差数列的前n项和公式进行转化是解决本题的关键．
17．已知数列{an}的前n项的乘积为Tn=2n﹣c，其中c为常数，n∈N．若a4=3，则c=（）
A．4B．3C．2D．1
考点：数列递推式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：利用a4==3计算即得结论．
解答：解：∵Tn=2n﹣c，a4=3，
∴a4===3，
解得：c=4，
故选：A．
点评：本题考查数列递推式，注意解题方法的积累，属于基础题．
18．设不等式组表示的平面区域是W，则W中的整点（横、纵坐标均为整数的点）个数是（）
A．231B．230C．219D．218
考点：简单线性规划．
专题：数形结合；不等式的解法及应用．
分析：由约束条件作出可行域，求出可行域内点的横坐标的范围，然后分别取范围内的整数x，求出对应的整数y，得到整点个数．
解答：解：由约束条件作出平面区域是W，
联立，解得A（﹣80，﹣60）；
联立，解得B（60，40）．
分别取x=﹣80，﹣79，﹣78，﹣77，…，60，求出满足不等式组的整数y值，
可得总的整点个数为231．
故选：A．
点评：求平面区域的整点个数是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后分析平面区域内的点，易求出平面区域内的整点个数，是中档题．
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．
19．不等式x2＜2x的解集为（0，2）．
考点：一元二次不等式的解法．
专题：不等式的解法及应用．
分析：通过提公因式可因式分解，求对应方程的根，比较两根大小，写出不等式的解集．
解答：解：不等式x2＜2x化为：x2﹣2x＜0，
可因式分解为x（x﹣2）＜0，
对应方程的实数根为：x1=0，x2=2，
不等式x2＜2x的解集为：（0，2）．
故答案为：（0，2）．
点评：本题主要考查一元二次不等式的解法，用到了通过提公因式因式分解、比较两根大小．
20．在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，则c=．
考点：余弦定理．
专题：计算题；解三角形．
分析：由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC，代入数据，即可得到答案．
解答：解：由余弦定理知，c2=a2+b2﹣2abcosC
==3，
所以c=．
故答案为：
点评：本题考查余弦定理及运用，考查运算能力，属于基础题．
21．已知等差数列{an}的各项均为正整数，且a8=2015，则a1的最小值是6．
考点：等差数列的通项公式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：根据等差数列的通项公式表示出a1=2015﹣7d，则当d取最大值时，即可得到结论．
解答：解：设公差为d，则d为整数（d＞0），
由a8=a1+7d=2015，
得a1=2015﹣7d，
∵2015=7×287+6，
∴当d=287时，a1=6最小，
故答案为：6．
点评：本题主要考查等差数列通项公式的应用，比较基础．
22．函数f（x）=x+（x＞1）的最小值是3；此时x=2．
考点：基本不等式在最值问题中的应用．
专题：不等式的解法及应用．
分析：由x＞1可得x﹣1＞0，函数y=+x=x﹣1++1，利用基本不等式即可得出．
解答：解：∵x＞1，∴x﹣1＞0．
∴函数y=+x=x﹣1++1≥2+1=3，
当且仅当x=2时取等号．
∴函数y=+x的最小值是3．此时x=2．
故答案为：3，2．
点评：本题考查基本不等式的运用：求最值，注意变形：x=x﹣1+1，属于基础题．
23．设a∈R，n∈N，求和：l+a+a2+a3+…+an=．
考点：等差数列的前n项和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：分a=0、a=1、a≠0且a≠1分别求解得答案．
解答：解：当a=0时，l+a+a2+a3+…+an=0；
当a=1时，l+a+a2+a3+…+an=1+1+…+1=n+1；
当a≠0且a≠1时，l+a+a2+a3+…+an=．
验证当a=0时，上式成立．
∴l+a+a2+a3+…+an=．
故答案为：．
点评：本题考查等比数列的前n项和，体现了分类讨论的数学思想方法，是基础题．
24．设数列{an}的通项公式为an=3n（n∈N）．数列{bn}定义如下：对任意m∈N，bm是数列{an}中不大于32m的项的个数，则b3=243；数列{bm}的前m项和Sm=．
考点：等比数列的性质．
专题：综合题；等差数列与等比数列．
分析：利用数列{bn}定义如下：对任意m∈N，bm是数列{an}中不大于32m的项的个数，可得bm=32m﹣1，即可得出结论．
解答：解：由题意，3n≤36，∴n≤243，∴b3=243；
由3n≤32m，∴n≤32m﹣1，∴bm=32m﹣1，∴Sm==．
故答案为：243，．
点评：本题考查等比数列的性质与求和，考查学生的计算能力，比较基础．
三、解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
25．（10分）（2015春?西城区期末）已知数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列．
（Ⅰ）证明：当0＜q＜1时，{an}是递减数列；
（Ⅱ）若对任意k∈N，都有ak，ak+2，ak+1成等差数列，求q的值．
考点：等差数列与等比数列的综合．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（I）运用等比数列的通项公式，求得an，再由an+1﹣an，分解因式，结合条件即可得证；
（II）运用等差数列的性质和等比数列的通项公式，化简整理，计算即可得到q．
解答：（I）证明：因为数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列，
所以an=qn﹣1，n∈N．
所以an+1﹣an=qn﹣qn﹣1=qn﹣1（q﹣1），
当0＜q＜1时，有qn﹣1＞0，q﹣1＜0，
所以an+1﹣an＜0，n∈N．
所以{an}是递减数列．
（II）解：因为ak，ak+2，ak+1成等差数列，
所以2ak+2﹣（ak+ak+1）=0，其中k∈N．
即2qk+1﹣（qk﹣1+qk）=0，
整理得qk﹣1?（2q2﹣q﹣1）=0．
因为q≠0，
所以2q2﹣q﹣1=0，
解得q=1，或q=．
点评：本题考查等差数列和等比数列的通项和性质，考查数列的单调性的证明，考查运算能力，属于中档题．
26．（10分）（2015春?西城区期末）已知△ABC为锐角三角形，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a=2csinA．
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）当c=2时，求：△ABC面积的最大值．
考点：正弦定理的应用；三角形的面积公式．
专题：综合题；解三角形．
分析：（Ⅰ）由a=2csinA，利用正弦定理，结合△ABC为锐角三角形，a求角C；
（Ⅱ）当c=2时，利用余弦定理，结合基本不等式，可得ab≤12，即可求：△ABC面积的最大值．
解答：（I）解：由正弦定理得，（1分）
将已知代入得sinC=．（2分）
因为△ABC为锐角三角形，所以0＜C＜，（3分）
所以C=．（4分）
（II）证明：由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC，（5分）
即12=a2+b2﹣ab，（6分）
又a2+b2﹣ab≥2ab﹣ab=ab
所以ab≤12．（8分）
所以△ABC的面积S=absinC=ab≤3，（9分）
当且仅当a=b，即△ABC为等边三角形时，△ABC的面积取到3．
所以△ABC面积的最大值为3．（10分）
点评：本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查基本不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
27．（12分）（2015春?西城区期末）设m∈R，不等式mx2﹣（3m+1）x+2（m+1）＞0的解集记为集合P．
（I）若P=（x|﹣1＜x＜2），求m的值；
（Ⅱ）当m＞0时，求集合P；
（Ⅲ）若{x|﹣3＜x＜2}?P，求m的取值范围．
考点：一元二次不等式的解法．
专题：不等式的解法及应用．
分析：（Ⅰ）因为P={x|﹣1＜x＜2}，所以方程mx2﹣（3m+1）x+2（m+1）=0的两根为﹣1和2，根据根与系数的关系即可求出m的值；
（Ⅱ）不等式mx2﹣（3x+1）x+2（2m+1）＞0可化为（x﹣2）[mx﹣（m+1）]＞0，需要分类讨论，即得到不等式的解集；
（Ⅲ）依题意，当x∈（﹣3，2）时，不等式mx2﹣（3m+1）x+2（m+1）＞0恒成立，分类讨论即可求出m的范围．
解答：解：（I）因为P={x|﹣1＜x＜2}，
所以方程mx2﹣（3m+1）x+2（m+1）=0的两根为﹣1和2．
将x=﹣1代入上述方程，得m（﹣1）2﹣（3m+1）（﹣1）+2（m+1）=0，
解得m=．
（II）不等式mx2﹣（3x+1）x+2（2m+1）＞0可化为（x﹣2）[mx﹣（m+1）]＞0．
当m＞0时，方程m（﹣1）2﹣（3m+1）（﹣1）+2（m+1）=0的两根为和2．
①当=2，即m=1时，解得x≠2．
②当＞2，即0＜m＜1时，解得x＜2或x＞．
③当＜2，即m＞1时，解得x＜或x＞2．
综上，当0＜m＜1时，P={x|x＜2或x＞}；当m=1时，P={x|x∈R，且x≠2}；当m＞1时，P={x|x＜或x＞2}．
（III）依题意，当x∈（﹣3，2）时，不等式mx2﹣（3m+1）x+2（m+1）＞0恒成立．
当m=0时，原不等式化为﹣x+2＞0，即P={x|x＜2}，适合题意．
当m＞0时，由（II）可得0＜m≤1时，适合题意．
当m＜0时，因为=1+，所以P={x|＜x＜2}．
此时必有≤﹣3成立，解得．
综上，若{x|﹣3＜x＜2}?P，则m的取值范围是[]．
点评：本题考查了一元二次不等式的解法，分类讨论是关键，属于中档题．
28．（12分）（2015春?西城区期末）已知数列{an}的通项公式为an=2n+（﹣1）n+1?（1+λn），其中是常数，n∈N．
（I）当an=﹣1时，求λ的值；
（Ⅱ）数列{an}是否可能为等差数列？证明你的结论；
（Ⅲ）若对于任意n∈N，都有an＞0，求λ的取值范围．
考点：数列递推式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（I）通过在an=2n+（﹣1）n+1?（1+λn）中令n=2，计算即得结论；
（II）通过an=2n+（﹣1）n+1?（1+λn）（n∈N）求出前4项的值，假设存在λ使{an}为等差数列，利用2a2=a1+a3可知λ=，验证即可得出结论；
（III）通过an＞0可知（﹣1）n，分n为正奇数、正偶数两种情况讨论即可．
解答：解：（I）因为an=2n+（﹣1）n+1?（1+λn）（n∈N），
所以n=2时，a2=3﹣2λ．（1分）
由3﹣2λ=﹣1，
解得λ=2．（2分）
（II）结论：数列{an}不可能为等差数列．
证明如下：
由an=2n+（﹣1）n+1?（1+λn）（n∈N），得
a1=3+λ，a2=3﹣2λ，a3=7+3λ，a4=7﹣4λ．（4分）
若存在λ，使{an}为等差数列，则2a2=a1+a3，（5分）
即2（3﹣2λ）=（3+λ）+（7+3λ），
解得λ=．（6分）
于是，a2﹣a1=﹣3λ=，a4﹣a3=﹣7λ=，这与{an}为等差数列矛盾！
所以，对任意实数λ，{an}都不可能是等差数列．（7分）
（III）由an＞0，得2n+（﹣1）n+1?（1+λn）＞0，
将上式变形为（﹣1）n，其中n∈N．①
（i）当n为正偶数时，①式化简为．
因为2﹣随着正偶数n的增大而增大，
欲使上式对于任意正偶数恒成立，则λ＜2=．（9分）
（ii）当n为正奇数时，①式化简为．
因为随着正奇数n的增大而增大，
欲使上式对于任意正奇数恒成立，则λ≥﹣2．（11分）
综上，若对于任意n∈N，都有an＞0，则λ的取值范围是[﹣2，）．（12分）
点评：本题考查数列的递推式，注意解题方法的积累，属于中档题．
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