北京市朝阳区2014-2015学年高二下学期期末数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1．已知i是虚数单位，则2i（1+i）=()
A．﹣2+2i B．2+2i C．2i D．﹣2i
考点：复数代数形式的乘除运算．
专题：数系的扩充和复数．
分析：根复数的基本运算进行求解即可．
解答： 解：2i（1+i）=2i+2i2=﹣2+2i，
故选：A
点评：本题主要考查复数的基本运算，比较基础．
2．已知集合A={x|（x﹣3）（x+1）≤0}，B={x|2x＞2}，则A∩B=()
A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|1＜x≤3} C．{x|﹣1≤x＜2} D．{x|x＞2}
考点：交集及其运算．
专题：集合．
分析：求出A与B中不等式的解集，确定出A与B，找出两集合的交集即可．
解答： 解：由A中不等式解得：﹣1≤x≤3，即A={x|﹣1≤x≤3}，
由B中不等式变形得：2x＞2=21，得到x＞1，即B={x|x＞1}，
则A∩B={x|1＜x≤3}，
故选：B．
点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
3．若sinθcosθ＜0，则角θ是()
A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角
C．第三或第四象限角 D．第二或第四象限角
考点：象限角、轴线角．
专题：计算题．
分析：直接利用三角函数的值的符号，判断θ所在象限即可．
解答： 解：因为sinθcosθ＜0，所以sinθ，cosθ异号，即或，所以θ第二或第四象限角．
故选D．
点评：本题考查三角函数值的符号，角所在象限的判断，基本知识的应用．
4．已知函数f（x）=cosx﹣sinx，f′（x）为函数f（x）的导函数，那么等于()
A． B． C． D．
考点：导数的运算．
专题：导数的概念及应用．
分析：根据导数的运算法则求导，再代值计算即可．
解答： 解：f′（x）=﹣sinx﹣cosx，
∴f′（）=﹣sin﹣cos=﹣，
故选：C．
点评：本题考查了导数的运算法则和导数的基本公式，属于基础题．
5．设a=20.3，b=log43，5，则()
A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．c＜b＜a
考点：对数值大小的比较．
专题：函数的性质及应用．
分析：确定a=20.3，b=log43，5，这些数值与0、1的大小即可．
解答： 解：∵a=20.3＞1，0＜b=log43＜b=log44=1，5＜0，
∴c＜b＜a，
故选：D．
点评：本题主要考查指数、对数综合比较大小的问题，这里注意与特殊值1、0这些特殊值的比较．
6．设a，b∈R，则“a＞b＞1”是“a﹣b＜a2﹣b2”的()
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：简易逻辑．
分析：根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．
解答： 解：设命题p：a＞b＞1；则a﹣b＞0，
命题q：a﹣b＜a2﹣b2化简得
（a﹣b）＜（a+b）（a﹣b），
又∵a，b∈R，
∴p?q，q推不出p，
∴P是q的充分不必要条件，
即“a＞b＞1”是“a﹣b＜a2﹣b2”的充分不必要条件，
故选：A．
点评：本题重点考查充分条件、必要条件和充要条件的概念及其应用，属于中档题
7．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则实数a的取值范围是()
A．{a|1≤a≤3或a＞5} B．{a|1＜a≤3或a≥5} C．{a|1＜a≤5} D．{a|3≤a≤5}
考点：简单线性规划．
专题：不等式的解法及应用．
分析：作出不等式组对应的平面区域，利用平面区域为三角形，建立条件关系即可求m的取值范围．
解答： 解：先作出不等式组对应的平面区域如图：（△ABC），
∵不等x+y≤a表示的平面区域为直线x+y=a的左下面．
∴要使不等式组表示的平面区域是一个三角形，
①当A（1，4）在直线x+y=a的下方时，满足条件，
即此时1+4≤a，即a≥5．
②当直线x+y=a经过BC线段时，也满足条件，
此时满足B（1，0）在直线x+y=a的下方，
同时C（3，0）在x+y=a的上方或在直线上，
即，即1＜a≤3，
综上1＜a≤3或a≥5，
故选：B．
点评：本题主要考查线性规划的应用，利用二元一次不等式组和平面区域之间的关系是解决本题的关键，注意利用数形结合．
8．已知定义在R上的函数f（x）的对称轴为x=﹣3，且当x≥﹣3时，f（x）=2x﹣3．若函数f（x）在区间（k﹣1，k）（k∈Z）上有零点，则k的值为()
A．2或﹣7 B．2或﹣8 C．1或﹣7 D．1或﹣8
考点：根的存在性及根的个数判断．
专题：函数的性质及应用．
分析：先作出当x≥﹣3时函数f（x）=2x﹣3的图象，观察图象的交点所在区间，再根据对称性得出另一个交点所在区间即可．
解答： 解：作出当x≥﹣3时函数f（x）=2x﹣3的图象，观察图象的交点所在区间在（1，2）．
∵f（1）=21﹣3=﹣1＜0，
f（2）=22﹣3=1＞0，
∴f（1）?f（2）＜0，∴有零点的区间是（1，2），
因定义在R上的函数f（x）的对称轴为x=﹣3，
故另一个零点的区间是（﹣8，﹣7），
则k的值为2或﹣7．
故选A．
点评：本题主要考查了根的存在性及根的个数判断．二分法是求方程根的一种基本算法，其理论依据是零点存在定理：一般地，若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f（a）f（b）＜0，则函数y=f（x）在区间（a，b）上有零点．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把答案填在答题卡的相应位置上.
9．已知sinα=，则cosα=；tanα=．
考点：同角三角函数基本关系的运用．
专题：三角函数的求值．
分析：由sinα的值及α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，进而求出tanα的值．
解答： 解：∵sinα=，α∈（0，），
∴cosα==；tanα==．
故答案为：；
点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
10．函数y=+lgx的定义域是（0，2]．
考点：函数的定义域及其求法．
专题：常规题型．
分析：根据函数的结构，可以知道要使函数有意义需要满足：被开放式大于等于零以及真数大于零，解不等式组即可．
解答： 解：由题意知，
所以0＜x≤2，
即函数的定义域为（0，2]，
故答案为（0，2]．
点评：本题考察函数定义域的求法，从解析式来看这是该类题目中比较简单、比较基础的了．
11．已知平面向量=（1，﹣3），=（4，﹣2），λ+与垂直，则λ=﹣1．
考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．
专题：计算题．
分析：先求出互相垂直的2个向量的坐标，再利用这2个向量的数量积等于0，求出待定系数λ的值．
解答： 解：，
（）?（λ+4）×1+（﹣3λ﹣2）×（﹣3）=0?λ=﹣1，
故答案为﹣1．
点评：本题考查2个向量坐标形式的运算法则，及2个向量垂直的条件是他们的数量积等于0．
12．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=，b=，B=135°，则a=1，S△ABC=．
考点：正弦定理；余弦定理．
专题：解三角形．
分析：由余弦定理列出关系式，将b，c，cosB的值代入求出a的值，利用三角形面积公式求出三角形ABC面积即可．
解答： 解：∵△ABC中，c=，b=，B=135°，
∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即5=a2+2+2a，
解得：a=﹣3（舍去）或a=1，
则S△ABC=acsinB=×1××=．
故答案为：1；
点评：此题考查了余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
13．在数列{an}中，已知a2=4，a3=15，且数列{an+n}是等比数列，则an=2?3n﹣1﹣n；．
考点：等比数列的通项公式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：由于数列{an+n}是等比数列，可得，解得a1．即可得到公比q==．再利用等比数列的通项公式即可得出．
解答： 解：∵数列{an+n}是等比数列，∴，
∴（4+2）2=（a1+1）×（15+3），解得a1=1．
∴公比q==．
∴an+n=2×3n﹣1．
∴an=2?3n﹣1﹣n，
故答案为：2?3n﹣1﹣n．
点评：本题考查了等比数列的定义及其通项公式，属于基础题．
14．已知函数f（x）=ex﹣alnx的定义域是（0，+∞），关于函数f（x）给出下列命题：
①对于任意a∈（0，+∞），函数f（x）存在最小值；
②对于任意a∈（﹣∞，0），函数f（x）是（0，+∞）上的减函数；
③存在a∈（﹣∞，0），使得对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＞0成立；
④存在a∈（0，+∞），使得函数f（x）有两个零点．
其中正确命题的序号是①④．
考点：函数零点的判定定理；函数的定义域及其求法．
专题：函数的性质及应用．
分析：先求导数，若为减函数则导数恒小于零；在开区间上，若有最小值则有唯一的极小值，若有零点则对应方程有根．
解答： 解：由对数函数知：函数的定义域为：（0，+∞），f′（x）=ex﹣，
①∵a∈（0，+∞），∴存在x有f′（x）=ex﹣=0，可以判断函数有最小值，①正确，
②∵a∈（﹣∞，0）∴f′（x）=ex﹣≥0，是增函数．所以②错误，
③画出函数y=ex，y=﹣alnx的图象，如图：显然不正确．
④令函数y=ex是增函数，y=alnx是减函数，所以存在a∈（0，+∞），f（x）=ex﹣alnx=0有两个根，正确．
故答案为：①④．
点评：本题主要考查导数法研究函数的单调性、极值、最值等问题．
三、解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请把答案填在答题卡的相应位置上.
15．在等差数列{an}中，a3=2，a9=2a4．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=，求数列{bn}的前n项和Sn．
考点：数列的求和；等差数列的通项公式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（1）根据等差数列的性质得出方程组求解得出a1，d．运用通项公式求解即可．
（2）把bn裂项得出=，出现正负项，即可求解和．
解答： 解：（1）设等差数列的首项为a1，公差为d．
因为
所以
解得
所以通项公式为：．
（Ⅱ）因为，
所以=．
点评：本题考察了等差数列的常规题型知三求二，裂项法求解数列的和，属于中档题，计算准确即可．
16．已知函数f（x）=sinxcosx+．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和最大值；
（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间．
考点：三角函数中的恒等变换应用．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：（Ⅰ）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得：f（x）=，由周期公式可求函数f（x）的最小正周期，利用正弦函数的图象和性质即可求得最大值．
（Ⅱ）由，即可求得函数f（x）的单调增区间．
解答： （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）…
==，…
所以函数f（x）的最小正周期为π．…
当，即时取得最大值为1．…
（Ⅱ）令，
得．
故函数f（x）的单调增区间为．…
点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．
17．已知函数f（x）=﹣lnx，a∈R．
（I）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（II）讨论f（x）的单调性．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．
专题：分类讨论；导数的概念及应用；导数的综合应用．
分析：（I）求出a=2的函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程，即可得到所求切线方程；
（II）求得函数的导数，讨论（i）若a≤0，（ii）若a＞0，令导数大于0，可得增区间，令导数小于0，可得减区间．
解答： 解：（I）当a=2时，f（x）=x2﹣lnx，
．
则f′（1）=1，f（1）=1，
曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为l：y﹣f（1）=f''（1）（x﹣1），
所以切线方程为l：x﹣y=0；
（II）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
．
（i）若a≤0，f′（x）＜0恒成立，则f（x）在（0，+∞）上单调递减．
（ii）若a＞0，令f′（x）=0，则．
当x变化时，f′（x）与f（x）的变化情况如下表：
x
f′（x） ﹣ 0 +
f（x） ↘ 极小值 ↗
所以f（x）在上单调递减，在上单调递增．
点评：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间，掌握分类讨论的思想方法是解题的关键．
18．已知M是由所有满足下述条件的函数f（x）构成的集合：①方程f（x）﹣x=0有实数根；②设函数f（x）的导函数f′（x），且对f（x）定义域内任意的x，都有f′（x）＞1．
（Ⅰ）判断函数f（x）=2x+sinx是否是集合M中的元素，并说明理由；
（Ⅱ）若函数g（x）=lnx+ax是集合M中的元素，求实数a的取值范围．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：导数的综合应用．
分析：（Ⅰ）先求出函数f（x）的导数，得到当cosx=﹣1时，f′（x）=1，不符合条件②，从而得出结论；
（Ⅱ）先求出函数g（x）的导数，通过讨论a的范围，结合新定义从而求出a的范围．
解答： 解：（Ⅰ）∵f′（x）=2+cosx，当cosx=﹣1时，f′（x）=1，不符合条件②，
∴函数f（x）不是集合M中的元素；
（Ⅱ）∵g（x）是集合M中的元素，
∴g′（x）=+a＞1对于任意x＞0均成立，
即a＞1﹣（x＞0）恒成立，即a≥1，
令G（x）=g（x）﹣x=lnx+（a﹣1）x，
依题意g（x）是集合M中的元素，必满足a≥1，
当a≥1时，G′（x）=+a﹣1＞0对任意x＞0恒成立，
∴G（x）在（0，+∞）递增，
又G（e﹣a）=lne﹣a+a?e﹣a﹣e﹣a=a（e﹣a﹣1）﹣e﹣a＜0，
G（e）=1+（a﹣1）e＞0，
∴方程G（x）=g（x）﹣x=0有实根，也符合条件①，
当a＜1时，在x＞＞0时，g′（x）=+a＜1与条件②矛盾，
综上，a≥1．
点评：本题考查了新定义问题，考查导数的应用、函数的单调性，是一道中档题．
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