北京市朝阳区2014-2015学年高一下学期期末数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．计算cos330°的值为()
A．﹣ B．﹣ C． D．
考点：运用诱导公式化简求值．
专题：计算题；三角函数的求值．
分析：利用余弦函数的诱导公式cos（2π﹣α）=cosα，即可求得cos330°的值．
解答： 解：cos330°=cos（﹣30°+360°）=cos（﹣30°）=cos30°=，
故选：D．
点评：本题考查运用诱导公式化简求值，属于基础题．
2．函数y=sinx图象的对称轴方程可能是()
A．x=﹣π B．x= C．x=π D．x=
考点：正弦函数的图象．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：由条件利用正弦函数的图象的对称性逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
解答： 解：由于当x=±π时，函数的值等于零，不是最值，故函数的图象不关于x=±π对称，故排除A、C；
当x=时，y=，不是最值，故函数的图象不关于x=对称；故排除B；
由于当x=时，函数y取得最小值为﹣1，故函数y=sinx图象关于直线x=对称，
故选：D．
点评：本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题．
3．等差数列{an}中，已知a1=2，a3+a5=10，则a7等于()
A．5 B．6 C．8 D．10
考点：等差数列的通项公式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：根据题意和等差数列的性质得到：a1+a7=a3+a5，代入数据求出a7的值．
解答： 解：∵等差数列{an}中，a1=2，a3+a5=10，
∴由等差数列的性质得，a1+a7=a3+a5=10，
解得a7=8，
故选：C．
点评：本题考查等差数列的性质的灵活应用，属于基础题．
4．过点（﹣1，3）且垂直于直线x﹣2y+3=0的直线方程为()
A．2x+y﹣1=0 B．2x+y﹣5=0 C．x+2y﹣5=0 D．x﹣2y+7=0
考点：直线的点斜式方程；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．
专题：计算题．
分析：根据题意，易得直线x﹣2y+3=0的斜率为，由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为﹣2，又知其过定点坐标，由点斜式得所求直线方程．
解答： 解：根据题意，易得直线x﹣2y+3=0的斜率为，
由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为﹣2，
又知其过点（﹣1，3），
由点斜式得所求直线方程为2x+y﹣1=0．
点评：本题考查直线垂直与斜率的相互关系，注意斜率不存在的特殊情况．
5．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是()
A． B．
C． D．
考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
专题：数形结合．
分析：观察图象的长度是四分之一个周期，由此推出函数的周期，又由其过点（，2）然后求出φ，即可求出函数解析式．
解答： 解：由图象可知：的长度是四分之一个周期
函数的周期为2，所以ω=
函数图象过（，2）所以A=2，并且2=2sin（φ）
∵，∴φ=
f（x）的解析式是
故选A．
点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，是基础题．
6．在约束条件下，函数z=3x﹣y的最小值是()
A．9 B．5 C．﹣5 D．﹣9
考点：简单线性规划．
专题：不等式的解法及应用．
分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合数形结合即可得到结论．
解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=3x﹣y得y=3x﹣z，
平移直线y=3x﹣z由图象可知当直线y=3x﹣z经过点A时，直线y=3x﹣z的截距最大，
此时z最小．
由，解得，
即A（﹣2，2），
此时z=3×（﹣2）﹣3=﹣9，
故选：D．
点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．
7．一张长方形白纸，其厚度为a，面积为b，现将此纸对折（沿对边中点连线折叠）5次，这时纸的厚度和面积分别为()
A．a，32b B．32a， C．16a， D．16a，
考点：有理数指数幂的化简求值．
专题：等差数列与等比数列．
分析：将报纸依次对折，报纸的厚度和面积也依次成等比数列，公比分别为2和，由此能够求出将报纸对折5次时的厚度和面积．
解答： 解：将报纸依次对折，报纸的厚度和面积也依次成等比数列，
公比分别为2和，故对折5次后报纸的厚度为25a=32a，
报纸的面积×b=，
故选：B．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细分析，避免错误
8．已知，，，，则的最大值为()
A． B．2 C． D．
考点：平面向量数量积的运算．
专题：平面向量及应用．
分析：由题意可知四边形ABCD为圆内接四边形，由圆的最长的弦为其直径，只需由勾股定理求的AC的长即可．
解答： 解：由题意可知：AB⊥BC，CD⊥AD，
故四边形ABCD为圆内接四边形，
且圆的直径为AC，由勾股定理可得AC==，
因为BD为上述圆的弦，而圆的最长的弦为其直径，
故的最大值为：
故选C
点评：本题为模长的最值的求解，划归为圆内接四边形是解决问题的关键，属中档题
9．已知△ABC的三个内角，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2cosBsinAsinC=sin2B，则()
A．a，b，c成等差数列 B．，，成等比数列
C．a2，b2，c2成等差数列 D．a2，b2，c2成等比数列
考点：余弦定理；正弦定理．
专题：解三角形．
分析：根据正弦、余弦定理化简2cosBsinAsinC=sin2B，再由等差中项的性质判断出正确答案．
解答： 解：由题意知，2cosBsinAsinC=sin2B，
根据正弦、余弦定理得，2??a?c=b2，
化简可得，a2+c2﹣b2=b2，即a2+c2=2b2，
所以a2、b2、c2成等差数列，
故选：C．
点评：本题考查正弦、余弦定理，以及等差中项的性质，考查化简、计算能力，属于中档题．
10．记函数f（x）=1+的所有正的零点从小到大依次为x1，x2，x3，…，若θ=x1+x2+x3+…x2015，则cosθ的值是()
A．﹣1 B． C．0 D．1
考点：函数零点的判定定理．
专题：函数的性质及应用．
分析：由条件可得sinx+cosx=﹣1，且1+sinx≠0，求得x=2kπ+π，k∈z；从而求得θ=x1+x2+x3+…+x2015的值；再利用诱导公式求得cosθ的值
解答： 解：令函数f（x）=1+=0，求得sinx+cosx=﹣1，且1+sinx≠0，
∴，∴x=2kπ+π，（k∈z），
由题意可得x1=π，x2=2π+π，x3=4π+π，…，x2015=2014×2π+π，
∴θ=x1+x2+x3+…+x2015=（1+2+3+…+2014）2π+2015×π，
∴cosθ=cos=cosπ=﹣1，
故选：A．
点评：本题主要考查函数零点的定义，同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，答案写在答题卡上．
11．已知半径为3的扇形的弧长为4π，则这个扇形的圆心角的弧度数为．
考点：弧长公式．
专题：三角函数的求值．
分析：直接利用弧长、半径、圆心角公式，求出扇形圆心角的弧度数．
解答： 解：由题意可知，l=4π，r=3
扇形圆心角的弧度数为：
α==．
故答案为：．
点评：本题考查扇形圆心角的弧度数的求法，考查计算能力．
12．已知直线3x+4y﹣3=0与直线6x+my+14=0平行，则m的值是8．
考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．
专题：直线与圆．
分析：利用直线平行的充要条件，求解即可．
解答： 解：直线3x+4y﹣3=0与直线6x+my+14=0平行，
可得m=8，
故答案为：8．
点评：本题考查在的平行的条件的应用，基本知识的考查．
13．已知数列{an}满足a1=1，an=an﹣1+2n（n≥2，n∈N），则a4=13．
考点：数列递推式．
专题：计算题；等差数列与等比数列．
分析：由an=an﹣1+2n（n≥2，n∈N），a1=1可得a2，a3，a4即可．
解答： 解：∵an=an﹣1+2n（n≥2，n∈N），a1=1；
∴a2=a1+2=3，a3=a2+2?2=3+4=7，
a4=a3+2?3=7+6=13，
故答案为：13．
点评：本题考查了数列递推公式的应用，属于基础题．
14．如图，一只蜘蛛从点O出发沿北偏东45°方向爬行xcm，到达点A处捕捉到一只小虫，然后沿OA方向右转105°爬行10cm，到达点B处捕捉哦另一只小虫，这时他沿AB方向右转135°爬行回到它的出发点O处，那么x=．
考点：解三角形的实际应用．
专题：计算题；解三角形．
分析：先由题意，可知∠OAB=75°，∠ABO=45°，∠O=60°，AB=10，再由正弦定理可确定答案．
解答： 解：由题意，可知∠OAB=75°，∠ABO=45°，∠O=60°，AB=10
根据正弦定理可得：，
∴x=，
故答案为：．
点评：本题主要考查正弦定理的应用，考查学生的计算能力，属基础题．
15．已知点M（﹣1，0），N（2，5），设点M关于直线l：x﹣y=0的对称点为M′，则点M到直线M′N的距离是；若点P在直线l上运动，则|PM|+|PN|的最小值是2．
考点：与直线关于点、直线对称的直线方程．
专题：直线与圆．
分析：先求出点M′的坐标，再用两点式求出直线M′N的方程，用点到直线的距离公式求得点M到直线M′N的距离．根据两个点关于直线对称的性质求得|PM|+|PN|取得最小值为|M′N|，计算求得结果．
解答： 解：如图所示：
点M（﹣1，0）关于直线l：x﹣y=0的对称点为M′（0，﹣1），
故直线M′N的方程为=，即3x﹣y﹣1=0，
故点M到直线M′N的距离为=．
由于|PM|+|PN|=|PM′|+|PN|，故当点P是M′N和直线l的交点时，|PM|+|PN|取得最小值时，
且此最小值为|M′N|=2，
故答案为：；2．
点评：本题主要考查求一个点关于直线的对称点的坐标，两个点关于直线对称的性质，用两点式求直线的方程，点到直线的距离公式，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．
16．已知正方形ABCD的边长为1，以顶点A为起点，其余顶点为终点的向量记为（i=1，2，3），则|+|（i，j=1，2，3，i≠j）的最大值是，以C为顶点，其余顶点为终点的向量记为（m=1，2，3），若t=（），其中i，j，m，n均属于集合{1，2，3}，且i≠j，m≠n，则t的最小值为﹣5．
考点：平面向量数量积的运算．
专题：平面向量及应用．
分析：如图建立直角坐标系．不妨记以A为起点，其余顶点为终点的向量为（i=1，2，3），分别为，以C为起点，其余顶点为终点的向量为（m=1，2，3），分别为．再分类讨论当i，j，m，n取不同的值时，利用向量的坐标运算计算|+|的最大值和（）最小值．
解答： 解：不妨记以A为起点，其余顶点为终点的向量为其余顶点为终点的向量为（i=1，2，3），分别为，
以C为起点，其余顶点为终点的向量为（m=1，2，3），分别为．如图建立坐标系．
（1）当i=1，j=2，m=1，n=2时，则+=（1，0）+（1，1）=（2，1），|+|=；
（）=[（1，0）+（1，1）]?[（（﹣1，0）+（﹣1，﹣1）]=﹣5；
（2）当i=1，j=2，m=1，n=3时，则（）=[（1，0）+（1，1）]?[（（﹣1，0）+（0，﹣1）]=﹣3；
（3）当i=1，j=2，m=2，n=3时，则（）=[（1，0）+（1，1）]?[（（﹣1，﹣1）+（0，﹣1）]=﹣4；
（4）当i=1，j=3，m=1，n=2时，则+=（（1，0）+（0，1）=（1，1），|+|=；
（）=[（1，0）+（0，1）]?[（（﹣1，0）+（﹣1，﹣1）]=﹣3；
同样地，当i，j，m，n取其它值时，|+|=，，（）=﹣5，﹣4，或﹣3．
则|+|最大值为；（）的最小值是﹣5．
故答案为：；﹣5．
点评：本小题主要考查平面向量坐标表示、平面向量数量积的运算等基本知识，考查考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能
三、解答题：本大题共4小题，共4分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx﹣2．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）的单调增区间．
考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：（Ⅰ）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得：f（x）=sin（2x﹣）﹣，由周期公式即可得解．
（Ⅱ）由2kπ≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z可解得f（x）的单调增区间．
解答： （本题满分为9分）
解：（Ⅰ）∵f（x）=sin2x+sinxcosx﹣2
=+sin2x﹣2
=sin（2x﹣）﹣，
∴f（x）的最小正周期T=…5分
（Ⅱ）由2kπ≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z可解得f（x）的单调增区间是：[k，k]（k∈Z）…9分
点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，周期公式的应用，正弦函数的单调性，属于基本知识的考查．
18．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量=（1，2），=（﹣1，cosA），且=0．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=，b+c=2，求证：△ABC为等边三角形．
考点：平面向量数量积的运算；余弦定理．
专题：平面向量及应用．
分析：（Ⅰ）利用数量积公式求出A的余弦值，进而求角A的大小；
（Ⅱ）利用余弦定理得到a，b，c三边，判断三角形的形状．
解答： 解：（Ⅰ）由向量=（1，2），=（﹣1，cosA），且=0．
得到﹣1+2cosA=0解得cosA=，由0＜A＜π，所以A=；
（Ⅱ）证明：在△ABC中，因为a2=b2+c2﹣2bccosA，且a=，b+c=2，
所以3=b2+c2﹣2bc=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc，解得c=，所以b=，
所以a=b=c=，所以三角形为等边三角形．
点评：本题考查了平面向量的数量积运用以及利用余弦定理判断三角形的形状；属于基础题目．
19．某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜）在某一个周期的图象时，列表并填入的部分数据如下表：
x x1 x2 x3
ωx+φ 0 π 2π
Asin（ωx+φ） 0 2 0 ﹣2 0
（Ⅰ）求x1，x2，x3的值及函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移π个单位，可得到函数g（x）的图象，若直线y=k与函数y=f（x）g（x）的图象在[0，π]上有交点，求实数k的取值范围．
考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的图象．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：（Ⅰ）由φ=0，+φ=0，可解得ω，φ的值，由，，，可求x1，x2，x3的值，又由Asin（）=2，可求A的值，即可求得函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可求g（x）=2cos（），y=f（x）g（x）=2sin（x﹣），结合范围x∈[0，π]时，可得x﹣∈[﹣，]，利用正弦函数的图象和性质即可得解．
解答： （本题满分为10分）
解：（Ⅰ）由φ=0，+φ=0，可得，φ=﹣，
由，，，
可得：x1=，，，
又因为Asin（）=2，所以A=2．
所以f（x）=2sin（）…6分
（Ⅱ）由f（x）=2sin（）的图象向左平移π个单位，
得g（x）=2sin（）=2cos（）的图象，
所以y=f（x）g（x）=2×2sin（）?cos（）=2sin（x﹣）．
因为x∈[0，π]时，x﹣∈[﹣，]，
所以实数k的取值范围为：[﹣2，]…10分
点评：本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．
20．对于数列{an}，如果存在正整数k，使得an﹣k+an+k=2an，对于一切n∈N，n＞k都成立，则称数列{an}为k﹣等差数列．
（1）若数列{an}为2﹣等差数列，且前四项分别为2，﹣1，4，﹣3，求a8+a9的值；
（2）若{an}是3﹣等差数列，且an=﹣n+sinωn（ω为常数），求ω的值，并求当ω取最小正值时数列{an}的前3n项和S3n；
（3）若{an}既是2﹣等差数列，又是3﹣等差数列，证明{an}是等差数列．
考点：数列递推式．
专题：点列、递归数列与数学归纳法．
分析：（1）由新定义结合已知求出a8、a9的值，则a8+a9的值可求；
（2）由an=﹣n+sinωn，且{an}是3﹣等差数列，列式求出ω的最小正值后求出，然后利用分组求和求得S3n；
（3）根据2﹣等差数列和3﹣等差数列的定义结合等差数列的定义进行证明．
解答： （1）解：由数列{an}为2﹣等差数列，且前四项分别为2，﹣1，4，﹣3，
∴a8=a2+3（a4﹣a2）=﹣1+3×（﹣2）=﹣7，
a9=a1+4×（a3﹣a1）=2+4×2=10，
∴a8+a9=﹣7+10=3；
（2）∵{an}是3﹣等差数列，an+3+an﹣3=2an，
∵an=﹣n+sinωn，
∴﹣（n﹣3）+sin（ωn﹣3ω）﹣（n+3）+sin（ωn+3ω）=2（﹣n+sinωn），（n∈N），
即2sinωn=sin（ωn+3ω）+sin（ωn﹣3ω）=2sinωncos3ω（n∈N），
∴sinωn=0，或cos3ω=1．
由sinωn=0对n∈N恒成立时，ω=kπ（k∈Z）．
由cos3ω=1时，3ω=2kπ（k∈Z），
即ω=，k∈Z，
这是ω的值为ω=kπ或，k∈Z，
∴ω最小正值等于，此时an=﹣n+sin，
∵sin+sin+sin=0，（n∈N），
∴a3n﹣2+a3n﹣1+a3n=﹣3（3n﹣1）（n∈N）．
∴S3n=（a1+a2+a3）+（a4+a5+a6）+…+（a3n﹣2+a3n﹣1+a3n）==﹣
（3）证明：若{an}为2﹣等差数列，即an+2+an﹣2=2an，
则{a2n﹣1}，{a2n}均成等差数列，
设等差数列{a2n﹣1}，{a2n}的公差分别为d1，d2．
{an}为3﹣等差数列，即an+3+an﹣3=2an，
则{a3n﹣2}成等差数列，设公差为D，
a1，a7既是{a2n﹣1}中的项，也是{a3n﹣2}中的项，
a7﹣a1=3d1=2D．
a4，a10既是中{a2n}的项，也是{a3n﹣2}中的项，
a10﹣a4=3d2=2D∴3d1=3d2=2D．
设d1=d2=2d，则D=3d．
∴a2n﹣1=a1+（n﹣1）d1=a1+（2n﹣2）d（n∈N），
a2n=a2+（n﹣1）d2=a2+（2n﹣2）d，（n∈N）．
又a4=a1+D=a1+3d，a4=a2+d2=a2+2d，
∴a2=a1+d，
∴a2n=a1+（2n﹣1）d（n∈N）．
综合得：an=a1+（n﹣1）d，
∴{an}为等差数列．
点评：本题主要考查与等差数列有关的新定义，结合条件以及等差数列的性质，考查学生的运算和推理能力，综合性较强．
12
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