第2课时二次函数y=a(x-h)2+k,y=ax2+bx+c的图象和性质1.二次函数y=a(x-h)2+k的图象(1)探究: 二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0), ①若h=0,k=0,则y=a(x-h)2+k变形为________,其图象 为________,对称轴为______,顶点坐标为_________. ②若h=0,k≠0,则y=a(x-h)2+k变形 为_________,其图象为________,对称轴为______,顶点坐标为_________. ③若h≠0,k=0, 则y=a(x-h)2+k变形为____________,其图象为________,对称轴为_________,顶点坐标为_ ______. 归纳:(1)抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2形状______,位置______.y=ax2 (0,0)y=ax2+k抛物线(0,k)直线x=h(h,0)相同不同抛物线y轴y轴y=a(x-h)2 抛物线a的符号开口方向对称轴顶点坐标有最高或最低点a>0a<0(2)把抛物线y=ax2向左或向右平移|h| 个单位,再向上或向下平移|k|个单位,即可以得到抛物线y=a(x-h)2+k.(3)抛物线y=a(x-h)2+k的特点: 向上向下x=h(h,k)有最低点有最高点2.二次函数y=ax2+bx+c的图象(1)求其顶点与 对称轴的常用方法:__________.(2)通过变形可将其转化为_______________的形式.(3)对称 轴是____________,顶点坐标是______________.y=a(x-h)2+k配方 3.二次函数y=a x2+bx+c的增减性 探究:二次函数y=a(x-h)2+k, (1)当a>0时,图象开口向____,当x< h时,y随x的增大而______;当x>h时,y随x的增大而_______. (2)当a<0时, 图象开口向____,当xh时,y随x的增大而_______. 上减小增大增大减小下 归纳:二次函数y=ax2+bx+c, (1)a>0,当x<______时,y随 x的增大而______;当x>______时,y随x的增大而________. (2)a<0,当 x<______时,y随x的增大而______;当x>______时,y随x的增大而________.- b2a减小- b2a- b2a增大- b2a减小增大知识点1二次函数图象的平移(重难点) 【 例1】(1)抛物线y=2x2通过怎样的平移可以得到抛物线y=2x2+1,又通过怎样的平移可以得到抛物线y=2(x-1 )2+1; (2)抛物线y=-x2通过怎样的平移可以得到抛物线y=-x2-2,又通过怎样的平移可以得到抛物线 y=-(x+2)2-2. 思路点拨:通过画函数草图判断平移的方向及距离. 解:(1)抛物线y=2x2通过向上平移1 个单位得到抛物线y=2x2+1,又通过向右平移1个单位得到抛物线y=2(x-1)2+1. (2)抛物线y=-x2 通过向下平移2个单位得到抛物线y=-x2-2,又通过向左平移2个单位得到抛物线y=-(x+2)2-2.由抛物线 y=ax2得到抛物线y=a(x-h)2+k的平移方法如下:当h>0时,向右平移|h|个单位;当h<0时,向左平移 |h|个单位.当k>0时,向上平移|k|个单位;当k<0时,向下平移|k|个单位. 【跟踪训练】 ________,当x=________时,y最小值=_______.(-5,0)02.(2012年广东广州)将 二次函数y=x2的图象向下平移一)A个单位,则平移以后的二次函数的解析式为(x=-5-5A.y=x2-1 B.y=x2+1C.y=(x-1)2 D.y=(x+1)2知识点2配方法在二次函数中的应用(重点) 【例2】将下列函数化为y=a(x-h)2 +k的形式,并指出其对称轴与顶点坐标: (1)y=x2+2x+2; (2)y=-2x2-8x; 解:(1)y=x2+2x+2=(x2+2x+1)+1=(x+1)2+1. ∴对称轴为直线x=-1,顶点坐标为(- 1,1).(2)y=-2x2-8x=-2(x2+4x)=-2(x2+4x+4-4)=-2(x+2)2+8.∴对称轴为直线 x=-2,顶点坐标为(-2,8). ∴对称轴为直线x=3,顶点坐标 为(3,-1). 本题也可直接套用公式,即二次函数y=ax2+【跟踪训练】的形式为________________; 它的开口_________;对称轴是直线________;顶点坐标是________.x=-1(-1,2)向下知识点 3二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质(重难点) (1)写出抛物线开口方向,顶点坐标,对称轴,最值; (2)求抛物线与y轴、x轴的交点坐标; (3)作出函数的草图; (4)观察图象,当x为何值时,y随x 的增大而减小;当x为何值时,y随x的增大而增大; (5)观察图象,当x为何值时,y>0;当x何值时,y=0 ;当x为何值时,y<0.∴抛物线的开口向上,顶点坐标为(-2,-1),对称轴是x=-2.∴当x=-2时,y最 小值=-1.(2)令x=0,则y=1.∴抛物线与y轴交于点(0,1).(3)草图如图D3.图D3(4)由图象 可知:当x≤-2时,y随x增大而减小;当x≥-2时,y随x增大而增大.| (1)二次函数y=ax2 +bx+c的图象可以看作 是由抛物线y=ax2向左或向右平移个单位,再向上或向下平移|4ac-b2 4a个单位得到的.(2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线上的最低点;当a<0时,抛物线的开口向下,顶点 是抛物线上的最高点.【跟踪训练】4.通过配方确定y=-2x2+4x+6的开口方向、对称轴和顶点坐标,并指出其增减性.解:y=-2x2+4x+6=-2(x-1)2+8. ∴抛物线开口向下,对称轴是直线x=1,顶点坐标为(1,8).当x<1时,y随x的增大而增大;当x>1时,y随x的增大而减小. |
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