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学案7指数与指数函数
导学目标：1.了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数
幂的意义，掌握幂的运算．
3．理解指数函数的概念，并掌握指数函数的单调性与函数图象通过的特殊点.4.知道指
数函数是一类重要的函数模型．
自主梳理
1．指数幂的概念
(1)根式
如果一个数的n次方等于a(n>1且n∈N)，那么这个数叫做a的n次方根．也就是，若
xn＝a，则x叫做________，其中n>1且n∈N.式子na叫做________，这里n叫做________，
a叫做____________．
(2)根式的性质
①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a
的n次方根用符号________表示．
②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的n次方
根用符号________表示，负的n次方根用符号________表示．正负两个n次方根可以合写成
________(a>0)．
③(na)n＝____.
④当n为偶数时，nan＝|a|＝
??
??
?a，a≥0，
－a，a<0.
⑤当n为奇数时，nan＝____.
⑥负数没有偶次方根．
⑦零的任何次方根都是零．
2．有理指数幂
(1)分数指数幂的表示
①正数的正分数指数幂是
mna＝________(a>0，m，n∈N，n>1)．
②正数的负分数指数幂是
mna?＝____________＝______________(a>0，m，n∈N，n>1)．
③0的正分数指数幂是______，0的负分数指数幂无意义．
(2)有理指数幂的运算性质
①aras＝________(a>0，r，s∈Q)．
②(ar)s＝________(a>0，r，s∈Q)．
③(ab)r＝________(a>0，b>0，r∈Q)．
3．指数函数的图象与性质
a>10
图象
定义域(1)________
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值域(2)________
性质
(3)过定点________
(4)当x>0时，______；当x<0
时，______
(5)当x>0时，________；当
x<0时，______
(6)在(－∞，＋∞)上是
______
(7)在(－∞，＋∞)上是
______
自我检测
1．下列结论正确的个数是
()
①当a<0时，232)(a＝a3；
②nan＝|a|；
③函数y＝21)2(?x－(3x－7)0的定义域是(2，＋∞)；
④若100a＝5,10b＝2，则2a＋b＝1.
A．0B．1C．2D．3
2．函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有()
A．a＝1或a＝2B．a＝1
C．a＝2D．a>0且a≠1
3．如图所示的曲线C1，C2，C3，C4分别是函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的图象，
则a，b，c，d的大小关系是
()
A．a
B．a
C．b
D．b
4．若a>1，b>0，且ab＋a－b＝22，则ab－a－b的值等于
()
A.6B．2或－2
C．－2D．2
5．(2011·六安模拟)函数f(x)＝ax－b的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的
是
(
)
A．a>1，b<0
B．a>1，b>0
C．00
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D．0
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探究点一有理指数幂的化简与求值
例1已知a，b是方程9x2－82x＋9＝0的两根，且a
求：(1)a
－1＋b－1
?ab?－1；3327?aa÷
3a－8·3a15.
变式迁移1化简
342
1
4
1
3223
)(abba
abba(a、b>0)的结果是
()
A.baB．abC.abD．a2b
探究点二指数函数的图象及其应用
例2已知函数y＝(13)|x＋1|.
(1)作出函数的图象(简图)；
(2)由图象指出其单调区间；
(3)由图象指出当x取什么值时有最值，并求出最值．
变式迁移2(2009·山东)函数y＝e
x＋e－x
ex－e－x的图象大致为()
探究点三指数函数的性质及应用
例3如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0且a≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，求a的值．
变式迁移3(2011·龙岩月考)已知函数f(x)＝(12x－1＋12)x3.
(1)求f(x)的定义域；
(2)证明：f(－x)＝f(x)；
(3)证明：f(x)>0.
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分类讨论思想的应用
例(12分)已知f(x)＝aa2－1(ax－a－x)(a>0且a≠1)．
(1)判断f(x)的奇偶性；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)当x∈[－1,1]时f(x)≥b恒成立，求b的取值范围．
【答题模板】
解(1)函数定义域为R，关于原点对称．
又因为f(－x)＝aa2－1(a－x－ax)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．[3分]
(2)当a>1时，a2－1>0，
y＝ax为增函数，y＝a－x为减函数，从而y＝ax－a－x为增函数，
所以f(x)为增函数．[5分]
当0
y＝ax为减函数，y＝a－x为增函数，从而y＝ax－a－x为减函数，
所以f(x)为增函数．
故当a>0，且a≠1时，f(x)在定义域内单调递增．[7分]
(3)由(2)知f(x)在R上是增函数，
∴在区间[－1,1]上为增函数，
∴f(－1)≤f(x)≤f(1)，
∴f(x)min＝f(－1)＝aa2－1(a－1－a)＝aa2－1·1－a
2
a
＝－1.[10分]
∴要使f(x)≥b在[－1,1]上恒成立，则只需b≤－1，
故b的取值范围是(－∞，－1]．[12分]
【突破思维障碍】
本例第(2)(3)问是难点，讨论f(x)的单调性对参数a如何分类，分类的标准和依据是思维
障碍之一．
【易错点剖析】
在(2)中，函数的单调性既与ax－a－x有关，还与aa2－1的符号有关，若没考虑aa2－1的符
号就会出错，另外分类讨论完，在表达单调性的结论时，要综合讨论分类的情况，如果没有
一个总结性的表达也要扣分，在表达时如果不呈现a的题设条件中的范围也是错误的．
1．一般地，进行指数幂的运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数
为分数进行运算，便于用运算性质进行乘、除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的．
2．比较两个指数幂大小时，尽量化同底数或同指数，当底数相同，指数不同时，构造
同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比
较大小．
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3．指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示，则
0
相应的底数由大变小；即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．函数y＝x2的值域是
()
A．[0，＋∞)B．[1，＋∞)
C．(－∞，＋∞)D．[2，＋∞)
2．(2011·金华月考)函数y＝xa
x
|x|(0
()
3．(2010·重庆)函数f(x)＝4
x＋1
2x的图象
()
A．关于原点对称B．关于直线y＝x对称
C．关于x轴对称D．关于y轴对称
4．定义运算ab＝
??
??
?a?a≤b?，
b?a>b?，则函数f(x)＝
x的图象是()
5．若关于x的方程|ax－1|＝2a(a>0，a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是()
A．(0,1)∪(1，＋∞)B．(0,1)
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C．(1，＋∞)D．(0，12)
题号12345
答案
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．(2011·嘉兴月考)函数f(x)＝
??
??
?－x＋3a，x<0，
ax，x≥0(a>0且a≠1)是R上的减函数，则a
的取值范围是________．
7．(2010·江苏)设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)，x∈R是偶函数，则实数a＝________.
8．若函数f(x)＝ax－1(a>0且a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a的值为________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)(2011·衡阳模拟)已知定义域为R的函数f(x)＝－2
x＋b
2x＋1＋a是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．
10．(12分)(2010·北京丰台区期末)已知函数f(x)＝3x，f(a＋2)＝18，g(x)＝λ·3ax－4x的定
义域为[0,1]．
(1)求a的值．
(2)若函数g(x)在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．
11．(14分)(2011·东莞模拟)函数y＝1＋2x＋4xa在x∈(－∞，1]上y>0恒成立，求a的
取值范围．
答案自主梳理
1．(1)a的n次方根根式根指数被开方数(2)①na②na－na±na③a
⑤a2.(1)①nam②
nma
1
1
nam
③0(2)①ar＋s②ars③arbr3.(1)R(2)(0，＋∞)
(3)(0,1)(4)y>101(6)增函数(7)减函数
自我检测
1．B[只有④正确．①中a<0时，232)(a>0，a3<0，所以232)(a≠a3；②中，n为奇数
时且a<0时，nan＝a；③中定义域为[2，73)∪(73，＋∞)．]
2．C[∵y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，∴a2－3a＋3＝1，解得a＝2或a＝1(舍去)．]
3．D[y轴左、右的图象对应函数的底数按逆时针方向增大．所以c>d>1,1>a>b>0.]
4．D[(ab－a－b)2＝(ab＋a－b)2－4＝4，
∵a>1，b>0，∴ab>1,0
5．D[由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以
0
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函数f(x)＝ax－b的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b<0.]
课堂活动区
例1解题导引1.指数幂的化简原则
(1)化负数指数为正指数；
(2)化根式为分数指数幂；
(3)化小数为分数．
2．指数幂的化简结果要求为
有关有理指数幂的化简结果不要同时含有根号和分数指数幂，也不要既有分母又含有负
指幂，即尽量化成与题目表示形式一致且统一的最简结果．
解∵a，b是方程的两根，而由9x2－82x＋9＝0解得x1＝19，x2＝9，且a
故a＝19，b＝9，
(1)化去负指数后求解．
a－1＋b－1
?ab?－1＝
1
a＋
1
b
1
ab
＝
a＋b
ab
1
ab
＝a＋b.
∵a＝19，b＝9，∴a＋b＝829，即原式＝829.
(2)原式＝3127?a·3123??a÷(21)38(??a·21315?a)＝)2534(2167????a＝21?a.
∵a＝19，
∴原式＝3.
变式迁移1C[原式＝
3
1
3
12
3
1
6
1
2
3
baab
baba
??
?
＝3123113116123???????ba＝ab－1＝ab.]
例2解题导引在作函数图象时，首先要研究函数与某一基本函数的关系，然后通
过平移、对称或伸缩来完成．
解(1)方法一由函数解析式可得
y＝(13)|x＋1|＝
??
??
??13?x＋1，x≥－1，
3x＋1，x<－1.
其图象由两部分组成：
一部分是：y＝(13)x(x≥0)――→向左平移1个单位
y＝(13)x＋1(x≥－1)；
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另一部分是：y＝3x(x<0)――→向左平移1个单位y＝3x＋1(x<－1)．
如图所示．
方法二①由y＝(13)|x|可知函数是偶函数，其图象关于y轴对称，故先作出y＝(13)x的图
象，保留x≥0的部分，当x<0时，其图象是将y＝(13)x(x≥0)图象关于y轴对折，从而得出y
＝(13)|x|的图象．
②将y＝(13)|x|向左移动1个单位，即可得y＝(13)|x＋1|的图象，如图所示．
(2)由图象知函数在(－∞，－1]上是增函数，在[－1，＋∞)上是减函数．
(3)由图象知当x＝－1时，有最大值1，无最小值．
变式迁移2A[y＝e
x＋e－x
ex－e－x＝1＋
2
e2x－1，当x>0时，e
2x－1>0，且随着x的增大而增大，
故y＝1＋2e2x－1>1且随着x的增大而减小，即函数y在(0，＋∞)上恒大于1且单调递减．又
函数y是奇函数，故只有A正确．]
例3解题导引1.指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象与性质与a的取值有关，要特
别注意区分a>1与0
2．指数函数与二次函数复合而成的初等函数的性质可通过换元的方法转化为指数函数
或二次函数的性质．
解设t＝ax，则y＝f(t)＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.
(1)当a>1时，t∈[a－1，a]，
∴ymax＝a2＋2a－1＝14，解得a＝3，满足a>1；
(2)当0
∴ymax＝(a－1)2＋2a－1－1＝14，
解得a＝13，满足0
故所求a的值为3或13.
变式迁移3(1)解由2x－1≠0?x≠0，
所以定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(2)证明f(x)＝(12x－1＋12)x3可化为f(x)＝2
x＋1
2?2x－1?·x
3，
则f(－x)＝2
－x＋1
2?2－x－1?(－x)
3
＝2
x＋1
2?2x－1?x
3＝f(x)，
所以f(－x)＝f(x)．
(3)证明当x>0时，2x>1，x3>0，
所以(12x－1＋12)x3>0.
因为f(－x)＝f(x)，
所以当x<0时，f(x)＝f(－x)>0.
综上所述，f(x)>0.
课后练习区
1．B[由y＝x2中x≥0，所以y＝x2≥20＝1，即函数的值域为[1，＋∞)．]
2．D[函数的定义域为{x|x∈R，x≠0}，且y＝xa
x
|x|＝???
??ax，x>0
－ax，x<0.当x>0时，函数是一
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个指数函数，其底数a满足0
的图象关于x轴对称，函数递增．]
3．D[函数定义域为R，关于原点对称，
∵f(－x)＝4
－x＋1
2－x＝
1＋4x
2x＝f(x)，
∴f(x)是偶函数，图象关于y轴对称．]
4．A[当x<0时，0<2x<1，此时f(x)＝2x；
当x≥0时，2x≥1，此时f(x)＝1.
所以f(x)＝1?2x＝
??
??
?2x?x<0?，
1?x≥0?.]
5．D[方程|ax－1|＝2a有两个不等实根可转化为函数y＝|ax－1|与函数y＝2a有两个不
同交点，作出函数y＝|ax－1|的图象，从图象观察可知只有0<2a<1时，符合题意，即0
6．[13，1)
解析据单调性定义，f(x)为减函数应满足：
??
??
?0
3a≥a0，即
1
3≤a<1.
7．－1
解析设g(x)＝ex＋ae－x，则f(x)＝xg(x)是偶函数．
∴g(x)＝ex＋ae－x是奇函数．
∴g(0)＝e0＋ae－0＝1＋a＝0，
∴a＝－1.
8.3
解析当a>1时，f(2)＝2，
∴a2－1＝2，a＝3，经验证符合题意；
当0
∴a＝3.
9．解(1)∵f(x)是定义域为R的奇函数，
∴f(0)＝0，即－1＋b2＋a＝0，解得b＝1，…………………………………………………(2分)
从而有f(x)＝－2
x＋1
2x＋1＋a.
又由f(1)＝－f(－1)知
－2＋1
4＋a＝－
－12＋1
1＋a，
解得a＝2.经检验a＝2适合题意，
∴所求a、b的值分别为2、1.……………………………………………………………(4
分)
(2)由(1)知f(x)＝－2
x＋1
2x＋1＋2＝－
1
2＋
1
2x＋1.
由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．…………………………………………(6分)
又因f(x)是奇函数，
从而不等式f(t2－2t)<－f(2t2－k)
＝f(－2t2＋k)．……………………………………………………………………………(8分)
因为f(x)是减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋k.
即对一切t∈R有3t2－2t－k>0.
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从而判别式Δ＝4＋12k<0，解得k<－13.………………………………………………(12分)
10．解方法一(1)由已知得3a＋2＝18?3a＝2?a＝log32.…………………………(4分)
(2)此时g(x)＝λ·2x－4x，
设0≤x1
所以g(x1)－g(x2)＝)22)(22(1221xxxx????>0恒成立，……………………………(8
分)
即λ<1222xx?恒成立．由于00222212???xx＝，所以，实数λ的取值范围是λ≤2.
……………………………………………………………………………………………(12
分)
方法二(1)由已知得3a＋2＝18?3a＝2?a＝log32.
……………………………………………………………………………………………(4分)
(2)此时g(x)＝λ·2x－4x，
因为g(x)在区间[0,1]上是单调减函数，
所以有g′(x)＝λln2·2x－ln4·4x＝2xln2(－2·2x＋λ)≤0成立，…………………………(8
分)
所以只需要λ≤2·2x恒成立．所以实数λ的取值范围是λ≤2.…………………………(12
分)
11．解由题意得1＋2x＋4xa>0在x∈(－∞，1]上恒成立，
即a>－1＋2
x
4x在x∈(－∞，1]上恒成立．………………………………………………(6分)
又因为－1＋2
x
4x＝－(
1
2)
2x－(1
2)
x，
设t＝(12)x，
∵x≤1，∴t≥12
且函数f(t)＝－t2－t＝－(t＋12)2＋14(t≥12)
在t＝12时，取到最大值．
∴(12)x＝12即x＝1时，－1＋2
x
4x的最大值为－
3
4，………………………………………(12分)
∴a>－34.…………………………………………………………………………………(14
分)
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