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学案11函数与方程
导学目标：1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，会判断一元二
次方程根的存在性及根的个数.2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似值．
自主梳理
1．函数零点的定义
(1)对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使________成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．
(2)方程f(x)＝0有实根?函数y＝f(x)的图象与____有交点?函数y＝f(x)有________．
2．函数零点的判定
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有____________，
那么函数y＝f(x)在区间________内有零点，即存在c∈(a，b)，使得________，这个____也
就是f(x)＝0的根．我们不妨把这一结论称为零点存在性定理．
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
Δ>0Δ＝0Δ<0
二次函数y＝ax2
＋bx＋c
(a>0)的图象
与x轴的交点________，________________无交点
零点个数________________________
4.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤
第一步，确定区间[a，b]，验证________________，给定精确度ε；
第二步，求区间(a，b)的中点c；
第三步，计算______：
①若________，则c就是函数的零点；
②若________，则令b＝c[此时零点x0∈(a，c)]；
③若________，则令a＝c[此时零点x0∈(c，b)]；
第四步，判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复
第二、三、四步．
自我检测
1．(2010·福建)f(x)＝
??
??
?x2＋2x－3，x≤0
－2＋lnxx>0的零点个数为()
A．0B．1C．2D．3
2．若函数y＝f(x)在R上递增，则函数y＝f(x)的零点()
A．至少有一个B．至多有一个
C．有且只有一个D．可能有无数个
3．如图所示的函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是
()
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A．①②B．①③
C．①④D．③④
4．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得
f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根所在的区间是()
A．(1,1.25)B．(1.25,1.5)
C．(1.5,2)D．不能确定
5．(2011·福州模拟)若函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过
0.25，则f(x)可以是
()
A．f(x)＝4x－1B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ex－1D．f(x)＝ln(x－0.5)
探究点一函数零点的判断
例1判断函数y＝lnx＋2x－6的零点个数．
变式迁移1(2011·烟台模拟)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]
时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是()
A．多于4个B．4个
C．3个D．2个
探究点二用二分法求方程的近似解
例2求方程2x3＋3x－3＝0的一个近似解(精确度0.1)．
变式迁移2(2011·淮北模拟)用二分法研究函数f(x)＝x3＋ln????x＋12的零点时，第一次经
计算f(0)<0，?
?????21f
>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．以上横
线上应填的内容为()
A.????0，12?
?????21f
B．(0,1)f????12
C.????12，1?
?????43f
D.????0，12?
?????41f
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探究点三利用函数的零点确定参数
例3已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3－a，如果函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有
零点，求a的取值范围．
变式迁移3若函数f(x)＝4x＋a·2x＋a＋1在(－∞，＋∞)上存在零点，求实数a的取值
范围．
1．全面认识深刻理解函数零点：
(1)从“数”的角度看：即是使f(x)＝0的实数x；
(2)从“形”的角度看：即是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标；
(3)若函数f(x)的图象在x＝x0处与x轴相切，则零点x0通常称为不变号零点；
(4)若函数f(x)的图象在x＝x0处与x轴相交，则零点x0通常称为变号零点．
2．求函数y＝f(x)的零点的方法：
(1)(代数法)求方程f(x)＝0的实数根(常用公式法、因式分解法、直接求解法等)；
(2)(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，并利
用函数的性质找出零点；
(3)(二分法)主要用于求函数零点的近似值，二分法的条件f(a)·f(b)<0表明：用二分法求
函数的近似零点都是指变号零点．
3．有关函数零点的重要结论：
(1)若连续不间断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点；
(2)连续不间断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；
(3)连续不间断的函数图象通过零点时，函数值符号可能不变．
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2010·天津)函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是
()
A．(－2，－1)B．(－1,0)
C．(0,1)D．(1,2)
2．(2011·福州质检)已知函数f(x)＝log2x－????13x，若实数x0是方程f(x)＝0的解，且0
则f(x1)的值
()
A．恒为负B．等于零
C．恒为正D．不小于零
3．下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是()
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4．函数f(x)＝(x－2)(x－5)－1有两个零点x1、x2，且x1
A．x1<2,2
B．x1>2，x2>5
C．x1<2，x2>5
D．25
5．(2011·厦门月考)设函数f(x)＝
??
??
?4x－4，x≤1
x2－4x＋3，x>1，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝f(x)－
g(x)的零点个数是
()
A．4B．3C．2D．1
题号12345
答案
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．定义在R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)＝2006x＋log2006x，则在R上，函数
f(x)零点的个数为________．
7．(2011·深圳模拟)已知函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋lnx，h(x)＝x－x－1的零点分别为
x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是______________．
8．(2009·山东)若函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围
是________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)已知函数f(x)＝x3－x2＋x2＋14.
证明：存在x0∈(0，12)，使f(x0)＝x0.
10．(12分)已知二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]内至少存在一个
实数c，使f(c)>0，求实数p的取值范围．
11．(14分)(2011·杭州调研)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且f(1)＝－a2，3a>2c>2b，求证：
(1)a>0且－3
(2)函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点；
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(3)设x1，x2是函数f(x)的两个零点，则2≤|x1－x2|<574.
答案自主梳理
1．(1)f(x)＝0(2)x轴零点2.f(a)·f(b)<0(a，b)f(c)＝0c3.(x1,0)(x2,0)
(x1,0)两个一个无4.f(a)·f(b)<0f(c)①f(c)＝0②f(a)·f(c)<0③f(c)·f(b)<0
自我检测
1．C[当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，
解得x＝－3；
当x>0时，令－2＋lnx＝0，解得x＝e2，
所以已知函数有两个零点．]
2．B3.B4.B5.A
课堂活动区
例1解题导引判断函数零点个数最常用的方法是令f(x)＝0，转化为方程根的个数，
解出方程有几个根，函数y＝f(x)就有几个零点，如果方程的根解不出，还有两种方法判断：
方法一是基本方法，是利用零点的存在性原理，要注意参考单调性可判定零点的唯一性；方
法二是数形结合法，要注意作图技巧．
解方法一设f(x)＝lnx＋2x－6，
∵y＝lnx和y＝2x－6均为增函数，
∴f(x)也是增函数．
又∵f(1)＝0＋2－6＝－4<0，f(3)＝ln3>0，
∴f(x)在(1,3)上存在零点．又f(x)为增函数，
∴函数在(1,3)上存在唯一零点．
方法二在同一坐标系画出y＝lnx与y＝6－2x的图象，由图可知两图象只有一个交点，
故函数y＝lnx＋2x－6只有一个零点．
变式迁移1B[由题意知f(x)是偶函数并且周期为2.由f(x)－log3|x|＝0，得f(x)＝log3|x|，
令y＝f(x)，y＝log3|x|，这两个函数都是偶函数，画两函数y轴右
边的图象如图，两函数有两个交点，因此零点个数在x≠0，x∈R的范围内共4个．]
例2解题导引①用二分法求函数的零点时，最好是利用表格，将计算过程所得的
各个区间、中点坐标、区间中点的函数值等置于表格中，可清楚地表示出逐步缩小零点所在
区间的过程，有时也可利用数轴来表示这一过程；
②在确定方程近似解所在的区间时，转化为求方程对应函数的零点所在的区间，找出的
区间[a，b]长度尽可能小，且满足f(a)·f(b)<0；
③求方程的近似解，所要求的精确度不同得到的结果也不同，精确度ε，是指在计算过
程中得到某个区间(a，b)后，直到|a－b|<ε时，可停止计算，其结果可以是满足精确度的最
后小区间的端点或区间内的任一实数，结果不唯一．
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解设f(x)＝2x3＋3x－3.
经计算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，
所以函数在(0,1)内存在零点，
即方程2x3＋3x－3＝0在(0,1)内有解．
取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，
又f(1)>0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解，
如此继续下去，得到方程的一个实数解所在的区间，如下表.
(a，b)(a，b)
的中点f????a＋b2
(0,1)0.5f(0.5)<0
(0.5,1)0.75f(0.75)>0
(0.5,0.75)0.625f(0.625)<0
(0.625,0.75)0.6875f(0.6875)<0
(0.6875,0.75)|0.6875－0.75|＝0.0625<0.1
至此，可以看出方程的根落在区间长度小于0.1的区间(0.6875,0.75)内，可以将区间端
点0.6875作为函数f(x)零点的近似值．因此0.6875是方程2x3＋3x－3＝0精确度0.1的一
个近似解．
变式迁移2D[由于f(0)<0，f????12>0，而f(x)＝x3＋ln????x＋12中的x3及ln????x＋12在
????－
1
2，＋∞上是增函数，故f(x)在????－
1
2，＋∞上也是增函数，
故f(x)在????0，12上存在零点，所以x0∈????0，12，
第二次计算应计算0和12在数轴上对应的中点
x1＝
0＋12
2＝
1
4.]
例3解若a＝0，f(x)＝2x－3，显然在[－1，1]上没有零点，所以a≠0.
令Δ＝4＋8a(3＋a)＝8a2＋24a＋4＝0，
解得a＝－3±72.
①当a＝－3－72时，f(x)＝0的重根x＝3－72∈[－1,1]，
当a＝－3＋72时，f(x)＝0的重根x＝3＋72?[－1,1]，
∴y＝f(x)恰有一个零点在[－1,1]上；
②当f(－1)·f(1)＝(a－1)(a－5)<0，
即1
③当y＝f(x)在[－1,1]上有两个零点时，则
??
??
?a>0Δ＝8a2＋24a＋4>0
－1<－12a<1
f?1?≥0
f?－1?≥0
，或
??
??
?a<0Δ＝8a2＋24a＋4>0
－1<－12a<1
f?1?≤0
f?－1?≤0
，
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解得a≥5或a<－3－72.
综上所述实数a的取值范围是a>1或a≤－3－72.
变式迁移3解方法一(换元)
设2x＝t，则函数f(x)＝4x＋a·2x＋a＋1化为g(t)＝t2＋at＋a＋1(t∈(0，＋∞))．
函数f(x)＝4x＋a·2x＋a＋1在(－∞，＋∞)上存在零点，等价于方程t2＋at＋a＋1＝0，
①有正实数根．
(1)当方程①有两个正实根时，
a应满足
??
??
?Δ＝a2－4?a＋1?≥0
t1＋t2＝－a>0
t1·t2＝a＋1>0
，
解得：－1
(2)当方程①有一正根一负根时，只需t1·t2＝a＋1<0，
即a<－1；
(3)当方程①有一根为0时，a＝－1，此时方程①的另一根为1.
综上可知a≤2－22.
方法二令g(t)＝t2＋at＋a＋1(t∈(0，＋∞))．
(1)当函数g(t)在(0，＋∞)上存在两个零点时，
实数a应满足
??
??
?Δ＝a2－4?a＋1?≥0
－a2>0
g?0?＝a＋1>0
，
解得－1
(2)当函数g(t)在(0，＋∞)上存在一个零点，另一个零点在(－∞，0)时，实数a应满足
g(0)＝a＋1<0，
解得a<－1；
(3)当函数g(t)的一个零点是0时，g(0)＝a＋1＝0，a＝－1，此时可以求得函数g(t)的另
一个零点是1.
综上(1)(2)(3)知a≤2－22.
课后练习区
1．B[因为f(－1)＝12－3<0，f(0)＝1>0，
所以f(x)在区间(－1,0)上存在零点．]
2．A
3．C[能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a，b]上连续不断，并且有f(a)·f(b)<0.A、
B中不存在f(x)<0，D中函数不连续．]
4．C
5．B[当x≤1时，函数f(x)＝4x－4与g(x)＝log2x的图象有两个交点，可得h(x)有两个
零点，当x>1时，函数f(x)＝x2－4x＋3与g(x)＝log2x的图象有1个交点，可得函数h(x)有1
个零点，∴函数h(x)共有3个零点．]
6．3
解析函数f(x)为R上的奇函数，因此f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝2006x＋log2006x在区
间(0，12006)内存在一个零点，又f(x)为增函数，因此在(0，＋∞)内有且仅有一个零点．根
据对称性可知函数在(－∞，0)内有且仅有一解，从而函数在R上的零点的个数为3.
7．x1
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解析令x＋2x＝0，即2x＝－x，设y＝2x，y＝－x；
令x＋lnx＝0，即lnx＝－x，
设y＝lnx，y＝－x.
在同一坐标系内画出y＝2x，y＝lnx，y＝－x，如图：x1<0
(x)2－x－1＝0，
∴x＝1＋52，
即x3＝3＋52>1，所以x1
8．a>1
解析设函数y＝ax(a>0，且a≠1)和函数y＝x＋a，则函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)
有两个零点，就是函数y＝ax(a>0，且a≠1)与函数y＝x＋a有两个交点，由图象可知当0
时两函数只有一个交点，不符合；当a>1时，因为函数y＝ax(a>1)的图象过点(0,1)，而直线
y＝x＋a所过的点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点，所以实数a的取值范围是a>1.
9．证明令g(x)＝f(x)－x.………………………………………………………………(2分)
∵g(0)＝14，g(12)＝f(12)－12＝－18，
∴g(0)·g(12)<0.……………………………………………………………………………(8分)
又函数g(x)在(0，12)上连续，…………………………………………………………(10分)
所以存在x0∈(0，12)，使g(x0)＝0.
即f(x0)＝x0.………………………………………………………………………………(12
分)
10．解二次函数f(x)在区间[－1,1]内至少存在一个实数c，
使f(c)>0的否定是：对于区间[－1,1]内的任意一个x都有f(x)≤0.……………………(4
分)
此时
??
??
?f?1?≤0
f?－1?≤0，即???
??2p2＋3p－9≥0
2p2－p－1≥0，解得：
p≥32或p≤－3.…………………………………………………………………………(10分)
∴二次函数f(x)在区间[－1,1]内至少存在一个实数c，使f(c)>0的实数p的取值范围是
－3
分)
11．证明(1)∵f(1)＝a＋b＋c＝－a2，
∴3a＋2b＋2c＝0.
又3a>2c>2b，∴3a>0,2b<0，
∴a>0，b<0.
又2c＝－3a－2b，由3a>2c>2b，
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∴3a>－3a－2b>2b.
∵a>0，∴－3
(2)∵f(0)＝c，f(2)＝4a＋2b＋c＝a－c.
①当c>0时，∵a>0，
∴f(0)＝c>0且f(1)＝－a2<0，
∴函数f(x)在区间(0,1)内至少有一个零点．……………………………………………(7分)
②当c≤0时，
∵a>0，
∴f(1)＝－a2<0且f(2)＝a－c>0，
∴函数f(x)在区间(1,2)内至少有一个零点．
综合①②得f(x)在(0,2)内至少有一个零点．……………………………………………(10
分)
(3)∵x1，x2是函数f(x)的两个零点，则x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根．
∴x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca＝－32－ba.
∴|x1－x2|＝?x1＋x2?2－4x1x2
＝?－ba?2－4?－32－ba?
＝?ba＋2?2＋2.(12分)
∵－3
∴2≤|x1－x2|<574.……………………………………………………………………(14分)
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