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第四章三角函数与三角恒等变换
学案17任意角的三角函数
导学目标：1.了解任意角的概念.2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.3.理
解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
自主梳理
1．任意角的概念
角可以看成平面内一条射线OA绕着端点从一个位置旋转到另一个位置OB所成的图
形．旋转开始时的射线OA叫做角的________，射线的端点O叫做角的________，旋转终
止位置的射线OB叫做角的________，按______时针方向旋转所形成的角叫做正角，按
______时针方向旋转所形成的角叫做负角．若一条射线没作任何旋转，称它形成了一个
________角．
(1)象限角
使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就
说这个角是__________角．
(2)象限界角(即终边在坐标轴上的角)
终边在x轴上的角表示为____________________；
终边在y轴上的角表示为__________________________________________；
终边落在坐标轴上的角可表示为____________________________．
(3)终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合______________________
或__________________________，前者α用角度制表示，后者α用弧度制表示．
(4)弧度制
把长度等于________长的弧所对的__________叫1弧度的角．以弧度作为单位来度量角
的单位制，叫做________，它的单位符号是________，读作________，通常略去不写．
(5)度与弧度的换算关系
360°＝______rad；180°＝____rad；1°＝________rad；
1rad＝_______________≈57.30°.
(6)弧长公式与扇形面积公式
l＝________，即弧长等于_________________________________________________．
S扇＝________＝____________.
2．三角函数的定义
任意角的三角函数定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么
①____叫做α的正弦，记作sinα，即sinα＝y；②____叫做α的余弦，记作cosα，即cosα
＝x；③________叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝yx(x≠0)．
(1)三角函数值的符号
各象限的三角函数值的符号如下图所示，三角函数正值歌：一全正，二正弦，三正切，
四余弦．
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(2)三角函数线
下图中有向线段MP，OM，AT分别表示__________，__________________和
____________．
自我检测
1．“α＝π6”是“cos2α＝12”的
（）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
2.(2011·济宁模拟)点P(tan2009°，cos2009°)位于
（）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
3．(2010·山东青岛高三教学质量检测)已知sinα<0且tanα>0，则角α是（）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
4．已知角α的终边上一点的坐标为????sin2π3，cos2π3，则角α的最小正值为()
A.5π6B.2π3C.5π3D.11π6
探究点一角的概念
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例1(1)如果角α是第三象限角，那么－α，π－α，π＋α角的终边落在第几象限；
(2)写出终边落在直线y＝3x上的角的集合；
(3)若θ＝168°＋k·360°(k∈Z)，求在[0°，360°)内终边与θ3角的终边相同的角．
变式迁移1若α是第二象限的角，试分别确定2α，α2的终边所在位置．
探究点二弧长与扇形面积
例2(2011·金华模拟)已知一个扇形的圆心角是α，0<α<2π，其所在圆的半径是R.
(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积；
(2)若扇形的周长是一定值C(C>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？
变式迁移2(1)已知扇形的周长为10，面积为4，求扇形中心角的弧度数；
(2)已知扇形的周长为40，当它的半径和中心角取何值时，才能使扇形的面积最大？最
大面积是多少？
探究点三三角函数的定义
例3已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．
变式迁移3已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a≠0)，求sinα，cosα，tanα的值．
1．角的度量由原来的角度制改换为弧度制，要养成用弧度表示角的习惯．象限角的判
断，终边相同的角的表示，弧度、弧长公式和扇形面积公式的运用是学习三角函数的基础．
2．三角函数都是以角为自变量(用弧度表示)，以比值为函数值的函数，是从实数集到
实数集的映射，注意两种定义法，即坐标法和单位圆法．
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2011·宣城模拟)点P从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q，
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则Q的坐标为（）
A．(－12，32)B．(－32，－12)
C．(－12，－32)D．(－32，12)
2．若012和cosx<12同时成立的x的取值范围是()
A.π3
C.π6
3．已知α为第三象限的角，则α2所在的象限是()
A．第一或第二象限B．第二或第三象限
C．第一或第三象限D．第二或第四象限
4．若1弧度的圆心角所对弦长等于2，则这个圆心角所对的弧长等于()
A．sin12B.π6
C.1
sin12
D．2sin12
5．已知θ∈????－π2，π2且sinθ＋cosθ＝a，其中a∈(0,1)，则关于tanθ的值，以下四个答
案中，可能正确的是()
A．－3B．3或13
C．－13D．－3或－13
题号12345
答案
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．已知点P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，且α∈[0,2π]，则α的取值范围是
________________．
7．(2011·龙岩模拟)已知点P????sin3π4，cos3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的
值为________．
8．阅读下列命题：
①若点P(a,2a)(a≠0)为角α终边上一点，则sinα＝255；
②同时满足sinα＝12，cosα＝32的角有且只有一个；
③设tanα＝12且π<α<3π2，则sinα＝－55；
④设cos(sinθ)·tan(cosθ)>0(θ为象限角)，则θ在第一象限．其中正确命题为________．(将
正确命题的序号填在横线上)
三、解答题(共38分)
9．(12分)已知扇形OAB的圆心角α为120°，半径长为6，
(1)求AB的弧长；
(2)求弓形OAB的面积．
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10．(12分)在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合：
(1)sinα≥32；
(2)cosα≤－12.
11．(14分)(2011·舟山月考)已知角α终边经过点P(x，－2)(x≠0)，且cosα＝36x.求
sinα＋1tanα的值．
答案自主梳理
1．始边顶点终边逆顺零(1)第几象限
(2){α|α＝kπ，k∈Z}??????α|α＝kπ＋π2，k∈Z??????α|α＝kπ2，k∈Z(3){β|β＝α＋k·360°，k∈
Z}{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}(4)半径圆心角弧度制rad弧度(5)2πππ180????180π°
(6)|α|·r弧所对的圆心角(弧度数)的绝对值与半径的积12lr12|α|r22.①y②x③yx
(2)α的正弦线α的余弦线α的正切线
自我检测
1．A2.D3.C4.D
课堂活动区
例1解题导引(1)一般地，角α与－α终边关于x轴对称；角α与π－α终边关于y
轴对称；角α与π＋α终边关于原点对称．
(2)利用终边相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}判断一个角β所在的象限时，只
需把这个角写成[0,2π)范围内的一角α与2π的整数倍，然后判断角α的象限．
(3)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法为先写出与这个角的终边
相同的所有角的集合，然后通过对集合参数k赋值来求得所需角．
解(1)π＋2kπ<α<3π2＋2kπ(k∈Z)，
∴－3π2－2kπ<－α<－π－2kπ(k∈Z)，
即π2＋2kπ<－α<π＋2kπ(k∈Z)．①
∴－α角终边在第二象限．
又由①各边都加上π，得3π2＋2kπ<π－α<2π＋2kπ(k∈Z)．
∴π－α是第四象限角．
同理可知，π＋α是第一象限角．
(2)在(0，π)内终边在直线y＝3x上的角是π3，
∴终边在直线y＝3x上的角的集合为
??
?
??
?α|α＝π
3＋kπ，k∈Z.
(3)∵θ＝168°＋k·360°(k∈Z)，
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∴θ3＝56°＋k·120°(k∈Z)．
∵0°≤56°＋k·120°<360°，
∴k＝0,1,2时，θ3∈[0°，360°)．
故在[0°，360°)内终边与θ3角的终边相同的角是56°，176°，296°.
变式迁移1解∵α是第二象限的角，
∴k·360°＋90°<α
(1)∵2k·360°＋180°<2α<2k·360°＋360°(k∈Z)，
∴2α的终边在第三或第四象限，或角的终边在y轴的非正半轴上．
(2)∵k·180°＋45°<α2
当k＝2n(n∈Z)时，
n·360°＋45°<α2
当k＝2n＋1(n∈Z)时，
n·360°＋225°<α2
∴α2是第一或第三象限的角．
∴α2的终边在第一或第三象限．
例2解题导引本题主要考查弧长公式和扇形的面积公式，并与最值问题联系在一
起．确定一个扇形需要两个基本条件，因此在解题中应依据题目条件确定出圆心角、半径、
弧长三个基本量中的两个，然后再进行求解．
解
(1)设扇形的弧长为l，该弧所在弓形的面积为S，如图所示，
当α＝60°＝π3，
R＝10cm时，
可知l＝αR＝10π3cm.
而S＝S扇－S△OAB＝12lR－12R2sinπ3
＝12×10π3×10－12×100×32
＝????50π3－253cm2.
(2)已知2R＋l＝C，即2R＋αR＝C，
S扇＝12αR2＝12·αR·R＝14·αR·2R
≤14·????αR＋2R22＝14·????C22＝C
2
16.
当且仅当αR＝2R，即α＝2时，等号成立，即当α为2弧度时，该扇形有最大面积116C2.
变式迁移2解设扇形半径为R，圆心角为θ，所对的弧长为l.
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(1)依题意，得
??
??
?12θR2＝4，
θR＋2R＝10，
∴2θ2－17θ＋8＝0.∴θ＝8或12.
∵8>2π，舍去，∴θ＝12.
(2)扇形的周长为40，即θR＋2R＝40，
S＝12lR＝12θR2＝14θR·2R≤14????θR＋2R22＝100.
当且仅当θR＝2R，即R＝10，θ＝2时扇形面积取得最大值，最大值为100.
例3解题导引某角的三角函数值只与该角终边所在位置有关，当终边确定时三角
函数值就相应确定了．但若终边落在某条直线上时，这时终边实际上有两个，因此对应的函
数值有两组，要分别求解．
解∵角α的终边在直线3x＋4y＝0上，
∴在角α的终边上任取一点P(4t，－3t)(t≠0)，
则x＝4t，y＝－3t，
r＝x2＋y2＝?4t?2＋?－3t?2＝5|t|，
当t>0时，r＝5t，
sinα＝yr＝－3t5t＝－35，
cosα＝xr＝4t5t＝45，
tanα＝yx＝－3t4t＝－34；
当t<0时，r＝－5t，
sinα＝yr＝－3t－5t＝35，
cosα＝xr＝4t－5t＝－45，
tanα＝yx＝－3t4t＝－34.
综上可知，t>0时，sinα＝－35，cosα＝45，tanα＝－34；
t<0时，sinα＝35，cosα＝－45，tanα＝－34.
变式迁移3解r＝?－4a?2＋?3a?2＝5|a|.
若a>0，则r＝5a，α角在第二象限，
sinα＝yr＝3a5a＝35，
cosα＝xr＝－4a5a＝－45，
tanα＝yx＝3a－4a＝－34.
若a<0，则r＝－5a，α角在第四象限，
sinα＝yr＝3a－5a＝－35，cosα＝xr＝－4a－5a＝45，
tanα＝yx＝3a－4a＝－34.
课后练习区
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1．A2.B3.D4.C5.C
6.????π4，π2∪????π，5π4
解析由已知得
??
??
?sinα>cosα，
tanα>0，
∴π4＋2kπ<α<π2＋2kπ或π＋2kπ<α<5π4＋2kπ，k∈Z.
∵0≤α≤2π，∴当k＝0时，π4<α<π2或π<α<5π4.
7.74π
解析由三角函数的定义，tanθ＝yx＝
cos3π4
sin3π4
＝－1.
又∵sin3π4>0，cos3π4<0，∴P在第四象限，∴θ＝7π4.
8．③
解析①中，当α在第三象限时，
sinα＝－255，故①错．
②中，同时满足sinα＝12，cosα＝32的角为α＝2kπ＋π6(k∈Z)，不只有一个，故②错．③
正确．④θ可能在第一象限或第四象限，故④错．综上选③.
9．解(1)∵α＝120°＝2π3，r＝6，
∴AB的弧长为l＝αr＝2π3×6＝4π.……………………………………………………(4分)
(2)∵S扇形OAB＝12lr＝12×4π×6＝12π，……………………………………………………(7
分)
S△ABO＝12r2·sin2π3＝12×62×32
＝93，……………………………………………………………………………………(10
分)
∴S弓形OAB＝S扇形OAB－S△ABO＝12π－93.………………………………………………(12
分)
10．解(1)
作直线y＝32交单位圆于A、B两点，连结OA、OB，则OA与OB围成的区域即为角α
的集合为??????α|2kπ＋π3≤α≤2kπ＋2π3，k∈Z.…………………………………………………(6分)
(2)
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作直线x＝－12交单位圆于C、D两点，连结OC、OD，则OC与OD围成的区域(图中
阴影部分)即为角α终边的范围．故满足条件的角α的集合为
??
?
??
?α|2kπ＋2π
3≤α≤2kπ＋
4π
3，k∈Z.……………………………………………………(12分)
11．解∵P(x，－2)(x≠0)，
∴点P到原点的距离r＝x2＋2.…………………………………………………………(2
分)
又cosα＝36x，
∴cosα＝xx2＋2＝36x.∵x≠0，∴x＝±10，
∴r＝23.…………………………………………………………………………………(6
分)
当x＝10时，P点坐标为(10，－2)，
由三角函数的定义，
有sinα＝－66，1tanα＝－5，
∴sinα＋1tanα＝－66－5＝－65＋66；……………………………………………(10
分)
当x＝－10时，
同样可求得sinα＋1tanα＝65－66.………………………………………………(14
分)
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