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学案18同角三角函数的基本关系式及诱导公式
导学目标：1.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱
导公式.2.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，sinxcosx＝tanx.
自主梳理
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：____________________.
(2)商数关系：______________________________.
2．诱导公式
(1)sin(α＋2kπ)＝________，cos(α＋2kπ)＝__________，tan(α＋2kπ)＝__________，k∈
Z.
(2)sin(π＋α)＝________，cos(π＋α)＝________，tan(π＋α)＝________.
(3)sin(－α)＝________，cos(－α)＝__________，tan(－α)＝________.
(4)sin(π－α)＝__________，cos(π－α)＝__________，tan(π－α)＝________.
(5)sin????π2－α＝________，cos????π2－α＝________.
(6)sin????π2＋α＝__________，cos????π2＋α＝____________________________________.
3．诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般步骤为：
上述过程体现了化归的思想方法．
自我检测
1．(2010·全国Ⅰ)cos300°等于
()
A．－32B．－12
C.12D.32
2．(2009·陕西)若3sinα＋cosα＝0，则1cos2α＋sin2α的值为()
A.103B.53
C.23D．－2
3．(2010·福建龙岩一中高三第三次月考)α是第一象限角，tanα＝34，则sinα等于()
A.45B.35
C．－45D．－35
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4．cos(－174π)－sin(－174π)的值是()
A.2B．－2
C．0D.22
5．(2011·清远月考)已知cos(π6－α)＝23，则sin(α－2π3)＝________.
探究点一利用同角三角函数基本关系式化简、求值
例1已知－π2
(1)求sin2x－cos2x的值；
(2)求tanx2sinx＋cosx的值．
变式迁移1已知sin(3π＋α)＝2sin????3π2＋α，求下列各式的值．
(1)sinα－4cosα5sinα＋2cosα；(2)sin2α＋sin2α.
探究点二利用诱导公式化简、求值
例2(2011·合肥模拟)已知sin????α＋π2＝－55，α∈(0，π)．
(1)求
sin????α－π2－cos????3π2＋α
sin?π－α?＋cos?3π＋α?的值；
(2)求cos????2α－3π4的值．
变式迁移2设f(α)＝
2sin?π＋α?cos?π－α?－cos?π＋α?
1＋sin2α＋cos????3π2＋α－sin2????π2＋α
(1＋2sinα≠0)，则f????－23π6＝________.
探究点三综合应用
例3在△ABC中，若sin(2π－A)＝－2sin(π－B)，3cosA＝－2cos(π－B)，求△
ABC的三个内角．
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变式迁移3(2011·安阳模拟)已知△ABC中，sinA＋cosA＝15，
(1)求sinA·cosA；
(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；
(3)求tanA的值．
转化与化归思想的应用
例(12分)已知α是三角形的内角，且sinα＋cosα＝15.
(1)求tanα的值；
(2)把1cos2α－sin2α用tanα表示出来，并求其值．
多角度审题由sinα＋cosα＝15应联想到隐含条件sin2α＋cos2α＝1，要求tanα，应当
切化弦，所以只要求出sinα，cosα即可．
【答题模板】
解(1)联立方程???sinα＋cosα＝15，①2α＋cos2α＝1，②
由①得cosα＝15－sinα，将其代入②，整理得25sin2α－5sinα－12＝0.[2分]
∵α是三角形的内角，∴???sinα＝45α＝－35，[4分]
∴tanα＝－43.[6分]
(2)1cos2α－sin2α＝sin
2α＋cos2α
cos2α－sin2α＝
sin2α＋cos2α
cos2α
cos2α－sin2α
cos2α
＝tan
2α＋1
1－tan2α，[8分]
∵tanα＝－43，∴1cos2α－sin2α＝tan
2α＋1
1－tan2α[10分]
＝?
???－432＋1
1－????－432
＝－257.[12分]
【突破思维障碍】
由sinα＋cosα＝15及sin2α＋cos2α＝1联立方程组，利用角α的范围，应先求sinα再求
cosα.(1)问切化弦即可求．(2)问应弦化切，这时应注意“1”的活用．
【易错点剖析】
在求解sinα，cosα的过程中，若消去cosα得到关于sinα的方程，则求得两解，然后
应根据α角的范围舍去一个解，若不注意，则误认为有两解．
1．由一个角的三角函数值求其他三角函数值时，要注意讨论角的范围．
2．注意公式的变形使用，弦切互换、三角代换、消元是三角代换的重要思想，要尽量
少开方运算，慎重确定符号．注意“1”的灵活代换．
3．应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断．
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(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2011·荆州模拟)已知△ABC中，cosAsinA＝－125，则cosA等于()
A.1213B.513
C．－513D．－1213
2．已知tanα＝－512，且α为第二象限角，则sinα的值等于
()
A.15B．－115
C.513D．－513
3．(2011·许昌月考)已知f(α)＝sin?π－α?cos?2π－α?cos?－π－α?tanα，则f(－313π)的值为()
A.12B．－13C．－12D.13
4．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a、b、α、β都是非零实数，若f(2002)＝－
1，则f(2003)等于
()
A．－1B．0C．1D．2
5．(2010·全国Ⅰ)记cos(－80°)＝k，那么tan100°等于()
A.1－k
2
kB．－
1－k2
k
C.k1－k2D．－k1－k2
题号12345
答案
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．(2010·全国Ⅱ)已知α是第二象限的角，tanα＝－12，则cosα＝________.
7．sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝________.
8．(2010·东北育才学校高三第一次模拟考试)若tanα＝2，则sinα＋cosαsinα－cosα＋cos2α＝
________.
三、解答题(共38分)
9．(12分)已知f(α)＝sin?π－α?cos?2π－α?tan?－α＋π?－tan?－α－π?sin?－π－α?.
(1)化简f(α)；
(2)若α是第三象限角，且cos(α－3π2)＝15，求f(α)的值．
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10．(12分)化简：sin?kπ－α?·cos[?k－1?π－α]sin[?k＋1?π＋α]·cos?kπ＋α?(k∈Z)．
11．(14分)(2011·秦皇岛模拟)已知sinθ，cosθ是关于x的方程x2－ax＋a＝0(a∈R)的
两个根．
(1)求cos3(π2－θ)＋sin3(π2－θ)的值；
(2)求tan(π－θ)－1tanθ的值．
答案自主梳理
1．(1)sin2α＋cos2α＝1(2)sinαcosα＝tanα2.(1)sinαcosαtanα(2)－sinα－cosα
tanα(3)－sinαcosα－tanα(4)sinα－cosα－tanα(5)cosαsinα(6)cosα
－sinα
自我检测
1．C[cos300°＝cos(360°－60°)＝cos60°＝12.]
2．A[∵3sinα＋cosα＝0，sin2α＋cos2α＝1，
∴sin2α＝110，
∴1cos2α＋sin2α＝1cos2α＋2sinα·?－3sinα?
＝11－7sin2α＝103.]
3．B
4．A[cos(－174π)－sin(－174π)＝cos(－4π－π4)－sin(－4π－π4)＝cos(－π4)－sin(－π4)＝cosπ4
＋sinπ4＝2.]
5．－23
解析sin(α－2π3)＝－sin(2π3－α)
＝－sin[(π6－α)＋π2]
＝－cos(π6－α)＝－23.
课堂活动区
例1解题导引学会利用方程思想解三角函数题，对于sinα＋cosα，sinαcosα，sin
α－cosα这三个式子，已知其中一个式子的值，就可以求出其余二式的值，但要注意对符号
的判断．
解由sinx＋cosx＝15得，
1＋2sinxcosx＝125，则2sinxcosx＝－2425.
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∵－π20，
即sinx－cosx<0.
则sinx－cosx
＝－sin2x－2sinxcosx＋cos2x
＝－1＋2425＝－75.
(1)sin2x－cos2x＝(sinx＋cosx)(sinx－cosx)
＝15×????－75＝－725.
(2)由
?
??
sinx＋cosx＝15
sinx－cosx＝－75
，
得
??
?sinx＝－35
cosx＝45
，则tanx＝－34.
即tanx2sinx＋cosx＝
－34
－65＋45
＝158.
变式迁移1解∵sin(3π＋α)＝2sin????3π2＋α，
∴－sinα＝－2cosα.
∴sinα＝2cosα，即tanα＝2.
方法一(直接代入法)：
(1)原式＝2cosα－4cosα5×2cosα＋2cosα＝－16.
(2)原式＝sin
2α＋2sinαcosα
sin2α＋cos2α＝
sin2α＋sin2α
sin2α＋14sin2α
＝85.
方法二(同除转化法)：
(1)原式＝tanα－45tanα＋2＝2－45×2＋2＝－16.
(2)原式＝sin2α＋2sinαcosα
＝sin
2α＋2sinαcosα
sin2α＋cos2α＝
tan2α＋2tanα
tan2α＋1＝
8
5.
例2解题导引三角诱导公式记忆有一定规律：????k2π＋α的本质是：奇变偶不变(对k
而言，指k取奇数或偶数)，符号看象限(看原函数，同时可把α看成是锐角)．诱导公式的应
用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：(1)负角变正角，再写成2kπ＋α，0≤α<2π；(2)
转化为锐角三角函数．
解(1)∵sin????α＋π2＝－55，α∈(0，π)，
∴cosα＝－55，sinα＝255.
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∴
sin????α－π2－cos????3π2＋α
sin?π－α?＋cos?3π＋α?＝
－cosα－sinα
sinα－cosα＝－
1
3.
(2)∵cosα＝－55，sinα＝255，
∴sin2α＝－45，cos2α＝－35，
cos????2α－3π4＝－22cos2α＋22sin2α＝－210.
变式迁移23
解析∵f(α)＝?－2sinα??－cosα?＋cosα1＋sin2α＋sinα－cos2α
＝2sinαcosα＋cosα2sin2α＋sinα＝cosα?1＋2sinα?sinα?1＋2sinα?＝1tanα，
∴f????－23π6＝1
tan????－23π6
＝1
tan????－4π＋π6
＝1
tanπ6
＝3.
例3解题导引先利用诱导公式化简已知条件，再利用平方关系求得cosA．求角时，
一般先求出该角的某一三角函数值，再确定该角的范围，最后求角．诱导公式在三角形中常
用结论有：A＋B＝π－C；A2＋B2＋C2＝π2.
解由已知得???
sinA＝2sinB，①
3cosA＝2cosB，②
①2＋②2得2cos2A＝1，即cosA＝±22.
(1)当cosA＝22时，cosB＝32，
又A、B是三角形的内角，
∴A＝π4，B＝π6，∴C＝π－(A＋B)＝712π.
(2)当cosA＝－22时，cosB＝－32.
又A、B是三角形的内角，
∴A＝34π，B＝56π，不合题意．
综上知，A＝π4，B＝π6，C＝712π.
变式迁移3解(1)∵sinA＋cosA＝15，①
∴两边平方得1＋2sinAcosA＝125，
∴sinA·cosA＝－1225.
(2)由(1)sinA·cosA＝－1225<0，且0
可知cosA<0，∴A为钝角，
∴△ABC为钝角三角形．
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(3)∵(sinA－cosA)2＝1－2sinA·cosA＝4925，
又sinA>0，cosA<0，∴sinA－cosA>0，
∴sinA－cosA＝75，②
∴由①，②得sinA＝45，cosA＝－35，
∴tanA＝sinAcosA＝－43.
课后练习区
1．D[∵A为△ABC中的角，cosAsinA＝－125，
∴sinA＝－512cosA，A为钝角，∴cosA<0.
代入sin2A＋cos2A＝1，求得cosA＝－1213.]
2．C[已知tanα＝－512，且α为第二象限角，
有cosα＝－11＋tan2α＝－1213，所以sinα＝513.]
3．C[∵f(α)＝sinαcosα－cosαtanα＝－cosα，∴f(－313π)
＝－cos(－313π)＝－cos(10π＋π3)＝－cosπ3＝－12.]
4．C[∵f(2002)＝asin(2002π＋α)＋bcos(2002π＋β)
＝asinα＋bcosβ＝－1，
∴f(2003)＝asin(2003π＋α)＋bcos(2003π＋β)
＝asin[2002π＋(π＋α)]＋bcos[2002π＋(π＋β)]
＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＝－(asinα＋bcosβ)＝1.]
5．B[∵cos(－80°)＝cos80°＝k，
sin80°＝1－cos280°＝1－k2.
∴tan100°＝－tan80°＝－1－k
2
k.]
6．－255
解析∵tanα＝－12，∴sinαcosα＝－12，
又∵sin2α＋cos2α＝1，α是第二象限的角，
∴cosα＝－255.
7.892
解析sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°
＝sin21°＋sin22°＋…＋sin245°＋…＋sin2(90°－2°)＋
sin2(90°－1°)
＝sin21°＋sin22°＋…＋????222＋…＋cos22°＋cos21°
＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin244°＋cos244°)＋12＝44＋12＝892.
8.165
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解析原式＝tanα＋1tanα－1＋cos
2α
sin2α＋cos2α
＝3＋1tan2α＋1＝3＋15＝165.
9．解(1)f(α)＝sin?π－α?cos?2π－α?tan?－α＋π?－tan?－α－π?sin?－π－α?
＝sinαcosα?－tanα?tanαsinα＝－cosα.…………………………………………………………(5分)
(2)∵α是第三象限角，且cos(α－3π2)＝－sinα＝15，
∴sinα＝－15，……………………………………………………………………………(8分)
∴cosα＝－1－sin2α＝－1－?－15?2＝－265，
∴f(α)＝－cosα＝265.…………………………………………………………………(12分)
10．解当k为偶数2n(n∈Z)时，
原式＝sin?2nπ－α?·cos[?2n－1?π－α]sin[?2n＋1?π＋α]·cos?2nπ＋α?
＝sin?－α?·cos?－π－α?sin?π＋α?·cosα
＝－sinα·cos?π＋α?－sinα·cosα＝－cosαcosα＝－1；……………………………………………………(6
分)
当k为奇数2n＋1(n∈Z)时，
原式＝sin[?2n＋1?π－α]·cos?2nπ－α?sin[?2n＋2?π＋α]·cos[?2n＋1?π＋α]
＝sin?π－α?·cos?－α?sin?2π＋α?·cos?π＋α?＝sinα·cosαsinα·?－cosα?＝－1.
∴当k∈Z时，原式＝－1.………………………………………………………………(12
分)
11．解由已知原方程的判别式Δ≥0，
即(－a)2－4a≥0，∴a≥4或a≤0.………………………………………………………(3分)
又
??
??
?sinθ＋cosθ＝a
sinθcosθ＝a，(sinθ＋cosθ)
2＝1＋2sinθcosθ，则a2－2a－1＝0，(6分)
从而a＝1－2或a＝1＋2(舍去)，
因此sinθ＋cosθ＝sinθcosθ＝1－2.…………………………………………………(8分)
(1)cos3(π2－θ)＋sin3(π2－θ)＝sin3θ＋cos3θ
＝(sinθ＋cosθ)(sin2θ－sinθcosθ＋cos2θ)＝(1－2)[1－(1－2)]＝2－2.………(11分)
(2)tan(π－θ)－1tanθ＝－tanθ－1tanθ
＝－(sinθcosθ＋cosθsinθ)＝－1sinθcosθ＝－11－2＝1＋2.
……………………………………………………………………………………………(14
分)
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