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学案21两角和与差的正弦、余弦和正切公式
导学目标：1.会用向量数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式导
出两角差的正弦、正切公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式.4.
熟悉公式的正用、逆用、变形应用．
自主梳理
1．(1)两角和与差的余弦
cos(α＋β)＝_____________________________________________，
cos(α－β)＝_____________________________________________.
(2)两角和与差的正弦
sin(α＋β)＝_____________________________________________，
sin(α－β)＝_____________________________________________.
(3)两角和与差的正切
tan(α＋β)＝_____________________________________________，
tan(α－β)＝_____________________________________________.
(α，β，α＋β，α－β均不等于kπ＋π2，k∈Z)
其变形为：
tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，
tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)．
2．辅助角公式
asinα＋bcosα＝a2＋b2sin(α＋φ)，
其中
??
??
?cosφ＝，sinφ＝，
tanφ＝ba，
角φ称为辅助角．
自我检测
1．(2010·福建)计算sin43°cos13°－cos43°sin13°的结果等于
()
A.12B.33C.22D.32
2．已知cos????α－π6＋sinα＝435，则sin????α＋7π6的值是
()
A．－235B.235C．－45D.45
3．函数f(x)＝sin2x－cos2x的最小正周期是
()
A.π2B．πC．2πD．4π
4．(2011·台州月考)设0≤α<2π，若sinα>3cosα，则α的取值范围是()
A.????π3，π2B.????π3，π
C.????π3，4π3D.????π3，3π2
5．(2011·广州模拟)已知向量a＝(sinx，cosx)，向量b＝(1，3)，则|a＋b|的最大值为()
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A．1B.3C．3D．9
探究点一给角求值问题(三角函数式的化简、求值)
例1求值：
(1)[2sin50°＋sin10°(1＋3tan10°)]2sin280°；
(2)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3·cos(θ＋15°)．
变式迁移1求值：(1)2cos10°－sin20°sin70°；
(2)tan(π6－θ)＋tan(π6＋θ)＋3tan(π6－θ)tan(π6＋θ)．
探究点二给值求值问题(已知某角的三角函数值，求另一角的三角函数值)
例2已知0<β<π4<α<3π4，cos????π4－α＝35，
sin????3π4＋β＝513，求sin(α＋β)的值．
变式迁移2(2011·广州模拟)已知tan????π4＋α＝2，tanβ＝12.
(1)求tanα的值；
(2)求sin?α＋β?－2sinαcosβ2sinαsinβ＋cos?α＋β?的值．
探究点三给值求角问题(已知某角的三角函数值，求另一角的值)
例3已知0<α<π2<β<π，tanα2＝12，cos(β－α)＝210.
(1)求sinα的值；(2)求β的值．
变式迁移3(2011·岳阳模拟)若sinA＝55，sinB＝1010，且A、B均为钝角，求A＋B
的值．
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转化与化归思想的应用
例(12分)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，|a－b|＝255.
(1)求cos(α－β)的值；
(2)若－π2<β<0<α<π2，且sinβ＝－513，求sinα的值．
【答题模板】
解(1)∵|a－b|＝255，∴a2－2a·b＋b2＝45.[2分]
又∵a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，∴a2＝b2＝1，
a·b＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)，[4分]
故cos(α－β)＝
a2＋b2－45
2＝
2－45
2＝
3
5.[6分]
(2)∵－π2<β<0<α<π2，∴0<α－β<π.∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45.[8分]
又∵sinβ＝－513，－π2<β<0，∴cosβ＝1213.[9分]
故sinα＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ
＝45×1213＋35×????－513＝3365.[12分]
【突破思维障碍】
本题是三角函数问题与向量的综合题，唯一一个等式条件|a－b|＝255，必须从这个等
式出发，利用向量知识化简再结合两角差的余弦公式可求第(1)问，在第(2)问中需要把未知
角向已知角转化再利用角的范围来求，即将α变为(α－β)＋β.
【易错点剖析】
|a－b|平方逆用及两角差的余弦公式是易错点，把未知角转化成已知角并利用角的范围
确定三角函数符号也是易错点．
1．转化思想是实施三角变换的主导思想，变换包括：函数名称变换，角的变换，“1”
的变换，和积变换，幂的升降变换等等．
2．变换则必须熟悉公式．分清和掌握哪些公式会实现哪种变换，也要掌握各个公式的
相互联系和适用条件．
3．恒等变形前需已知式中角的差异，函数名称的差异，运算结构的差异，寻求联系，
实现转化．
4．基本技巧：切割化弦，异名化同，异角化同或尽量减少名称、角数，化为同次幂，
化为比例式，化为常数．
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2011·佛山模拟)已知sin????α＋π3＋sinα＝－435，则cos????α＋2π3等于
()
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A．－45B．－35C.35D.45
2．已知cos????α＋π6－sinα＝233，则sin????α－7π6的值是()
A．－233B.233C．－23D.23
3．(2011·宁波月考)已知向量a＝????sin????α＋π6，1，b＝(4,4cosα－3)，若a⊥b，则
sin????α＋4π3等于
()
A．－34B．－14C.34D.14
4．函数y＝sinx＋cosx图象的一条对称轴方程是
()
A．x＝5π4B．x＝3π4
C．x＝－π4D．x＝－π2
5．在△ABC中，3sinA＋4cosB＝6,4sinB＋3cosA＝1，则C的大小为()
A.π6B.56π
C.π6或56πD.π3或23π
题号12345
答案
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．(2010·重庆)如图，
图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C，各段弧所在的圆经过同一点P(点
P不在C上)且半径相等．设第i段弧所对的圆心角为αi(i＝1,2,3)，则cosα13cosα2＋α33－
sinα13·sinα2＋α33＝________.
7．设sinα＝35????π2<α<π，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)＝________.
8．(2011·惠州月考)已知tanα、tanβ是方程x2＋33x＋4＝0的两根，且α、β∈????－π2，π2，
则tan(α＋β)＝__________，α＋β的值为________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)(1)已知α∈????0，π2，β∈????π2，π且sin(α＋β)＝3365，cosβ＝－513.求sinα；
(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，求2α－β的值．
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10．(12分)(2010·四川)(1)①证明两角和的余弦公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－
sinαsinβ；②由C(α＋β)推导两角和的正弦公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ.
（2）已知△ABC的面积S=12，AB→·AC→＝3，且cosB＝35，求cosC.
11．(14分)(2011·济南模拟)设函数f(x)＝a·b，其中向量a＝(2cosx,1)，b＝(cosx，3sin
2x)，x∈R.
(1)若函数f(x)＝1－3，且x∈????－π3，π3，求x；
(2)求函数y＝f(x)的单调增区间，并在给出的坐标系中画出y＝f(x)在区间[0，π]上的图象．
答案自主梳理
1．(1)cosαcosβ－sinαsinβcosαcosβ＋sinαsinβ
(2)sinαcosβ＋cosαsinβsinαcosβ－cosαsinβ
(3)tanα＋tanβ1－tanαtanβtanα－tanβ1＋tanαtanβ2.aa2＋b2ba2＋b2
自我检测
1．A2.C3.B4.C5.C
课堂活动区
例1解题导引在三角函数求值的问题中，要注意“三看”口诀，即(1)看角，把角
尽量向特殊角或可计算的角转化，合理拆角，化异为同；(2)看名称，把算式尽量化成同一
名称或相近的名称，例如把所有的切都转化为弦，或把所有的弦都转化为切；(3)看式子，
看式子是否满足三角函数的公式．如果满足则直接使用，如果不满足需转化一下角或转换一
下名称，就可以使用．
解(1)原式
＝????2sin50°＋sin10°·????1＋3sin10°cos10°·2sin80°
＝??????2sin50°＋sin10°·cos10°＋3sin10°cos10°·2sin80°
＝
??
??
??
??
2sin50°＋2sin10°·
1
2cos10°＋
3
2sin10°
cos10°
·2cos10°
＝????2sin50°＋2sin10°sin40°cos10°·2cos10°
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＝2sin60°cos10°·2cos10°＝22sin60°
＝22×32＝6.
(2)原式＝sin[(θ＋45°)＋30°]＋cos(θ＋45°)－3·cos[(θ＋45°)－30°]
＝32sin(θ＋45°)＋12cos(θ＋45°)＋cos(θ＋45°)－32cos(θ＋45°)－32sin(θ＋45°)＝0.
变式迁移1解(1)原式＝2cos?30°－20°?－sin20°sin70°
＝3cos20°＋sin20°－sin20°sin70°＝3cos20°sin70°＝3.
(2)原式＝tan[(π6－θ)＋(π6＋θ)][1－tan(π6－θ)·tan(π6＋θ)]＋3tan(π6－θ)tan(π6＋θ)＝3.
例2解题导引对于给值求值问题，即由给出的某些角的三角函数的值，求另外一
些角的三角函数值，关键在于“变角”，使“所求角”变为“已知角”，若角所在象限没有
确定，则应分类讨论．应注意公式的灵活运用，掌握其结构特征，还要学会拆角、拼角等技
巧．
解cos????π4－α＝sin????π4＋α＝35，
∵0<β<π4<α<3π4，
∴π2<π4＋α<π，3π4<3π4＋β<π.
∴cos????π4＋α＝－1－sin2????π4＋α＝－45，
cos????3π4＋β＝－1－sin2????3π4＋β＝－1213.
∴sin[π＋(α＋β)]＝sin????????π4＋α＋????3π4＋β
＝sin????π4＋αcos????3π4＋β＋cos????π4＋αsin????3π4＋β
＝35×????－1213－45×513＝－5665.
∴sin(α＋β)＝5665.
变式迁移2解(1)由tan????π4＋α＝2，得1＋tanα1－tanα＝2，
即1＋tanα＝2－2tanα，∴tanα＝13.
(2)sin?α＋β?－2sinαcosβ2sinαsinβ＋cos?α＋β?
＝sinαcosβ＋cosαsinβ－2sinαcosβ2sinαsinβ＋cosαcosβ－sinαsinβ
＝－?sinαcosβ－cosαsinβ?cosαcosβ＋sinαsinβ＝－sin?α－β?cos?α－β?
＝－tan(α－β)＝－tanα－tanβ1＋tanαtanβ
＝－
1
3－
1
2
1＋13×12
＝17.
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例3解题导引(1)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵循以下原
则：
①已知正切函数值，选正切函数；
②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是????0，π2，选正、余弦皆可；
若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为????－π2，π2，选正弦较好．
(2)解这类问题的一般步骤：
①求角的某一个三角函数值；
②确定角的范围；
③根据角的范围写出所求的角．
解(1)∵tanα2＝12，
∴sinα＝sin????2·α2＝2sinα2cosα2
＝
2sinα2cosα2
sin2α2＋cos2α2
＝
2tanα2
1＋tan2α2
＝
2×12
1＋????122
＝45.
(2)∵0<α<π2，sinα＝45，∴cosα＝35.
又0<α<π2<β<π，∴0<β－α<π.
由cos(β－α)＝210，得sin(β－α)＝7210.
∴sinβ＝sin[(β－α)＋α]
＝sin(β－α)cosα＋cos(β－α)sinα
＝7210×35＋210×45＝25250＝22.
由π2<β<π得β＝34π.
(或求cosβ＝－22，得β＝34π)
变式迁移3解∵A、B均为钝角且sinA＝55，sinB＝1010，
∴cosA＝－1－sin2A＝－25＝－255，
cosB＝－1－sin2B＝－310＝－31010.
∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB
＝－255×????－31010－55×1010＝22.①
又∵π2
∴π
由①②，知A＋B＝7π4.
课后练习区
1．D2.D3.B4.A5.A
6．－127.－2118.3－23π
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9．解(1)∵β∈????π2，π，cosβ＝－513，
∴sinβ＝1213.…………………………………………………………………………(2分)
又∵0<α<π2，π2<β<π，
∴π2<α＋β<3π2，又sin(α＋β)＝3365，
∴cos(α＋β)＝－1－sin2?α＋β?
＝－1－????33652＝－5665，…………………………………………………………(4分)
∴sinα＝sin[(α＋β)－β]
＝sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ
＝3365·????－513－????－5665·1213＝35.…………………………………………………………(6分)
(2)∵tanα＝tan[(α－β)＋β]
＝tan?α－β?＋tanβ1－tan?α－β?tanβ＝
1
2－
1
7
1＋12×17
＝13，……………………………………………………(8分)
∴tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]
＝tanα＋tan?α－β?1－tanαtan?α－β?＝
1
3＋
1
2
1－13×12
＝1.……………………………………………………(10分)
∵α，β∈(0，π)，tanα＝13<1，tanβ＝－17<0，
∴0<α<π4，π2<β<π，
∴－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4.……………………………………………………(12分)
10．(1)
①证明如图，在直角坐标系xOy内作单位圆O，并作出角α、β与－β，使角α的始
边为Ox，交⊙O于点P1，终边交⊙O于点P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于点P3；角
－β的始边为OP1，终边交⊙O于点P4.
则P1(1,0)，P2(cosα，sinα)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，P4(cos(－β)，sin(－β))，
…………………………………………………………………………………………(2分)
由|P1P3|＝|P2P4|及两点间的距离公式，
得[cos(α＋β)－1]2＋sin2(α＋β)
＝[cos(－β)－cosα]2＋[sin(－β)－sinα]2，
展开并整理得：
2－2cos(α＋β)＝2－2(cosαcosβ－sinαsinβ)，
∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.……………………………………………………(4
分)
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②解由①易得，cos????π2－α＝sinα，
sin????π2－α＝cosα.
sin(α＋β)＝cos????π2－?α＋β?
＝cos????????π2－α＋?－β?
＝cos????π2－αcos(－β)－sin????π2－αsin(－β)
＝sinαcosβ＋cosαsinβ.
∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ.……………………………………………………(7分)
(2)解由题意，设△ABC的角B、C的对边分别为b、c.
则S＝12bcsinA＝12，
AB→·AC→＝bccosA＝3>0，
∴A∈????0，π2，cosA＝3sinA，……………………………………………………………(9
分)
又sin2A＋cos2A＝1，
∴sinA＝1010，cosA＝31010，
由cosB＝35，得sinB＝45.
∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝1010.
……………………………………………………………………………………………(11
分)
故cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－1010.
……………………………………………………………………………………………(12
分)
11．解(1)依题设得f(x)＝2cos2x＋3sin2x
＝1＋cos2x＋3sin2x＝2sin????2x＋π6＋1.
由2sin????2x＋π6＋1＝1－3，
得sin????2x＋π6＝－32.……………………………………………………………………(3分)
∵－π3≤x≤π3，∴－π2≤2x＋π6≤5π6.
∴2x＋π6＝－π3，即x＝－π4.………………………………………………………………(6分)
(2)－π2＋2kπ≤2x＋π6≤π2＋2kπ(k∈Z)，
即－π3＋kπ≤x≤π6＋kπ(k∈Z)，
得函数单调增区间为????－π3＋kπ，π6＋kπ(k∈Z)．……………………………………(10分)
列表：
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x0π6π3π22π35π6π
y2320－102
描点连线，得函数图象如图所示：
…………………………………………………………………………………………(14分)
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