Gothedistance
第1页共10页
学案22简单的三角恒等变换
导学目标：1.能推出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并熟练应用.2.能运用两角和与
差的三角公式进行简单的恒等变换．
自主梳理
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin2α＝________________；
(2)cos2α＝______________＝________________－1＝1－________________；
(3)tan2α＝________________________(α≠kπ2＋π4且α≠kπ＋π2)．
2．公式的逆向变换及有关变形
(1)sinαcosα＝____________________?cosα＝sin2α2sinα；
(2)降幂公式：sin2α＝________________，cos2α＝________________；
升幂公式：1＋cosα＝________________，1－cosα＝_____________；
变形：1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝________________________.
自我检测
1．(2010·陕西)函数f(x)＝2sinxcosx是
()
A．最小正周期为2π的奇函数
B．最小正周期为2π的偶函数
C．最小正周期为π的奇函数
D．最小正周期为π的偶函数
2．函数f(x)＝cos2x－2sinx的最小值和最大值分别为
()
A．－3,1B．－2,2
C．－3，32D．－2，32
3．函数f(x)＝sinxcosx的最小值是
()
A．－1B．－12C.12D．1
4．(2011·清远月考)已知A、B为直角三角形的两个锐角，则sinA·sinB()
A．有最大值12，最小值0
B．有最小值12，无最大值
C．既无最大值也无最小值
D．有最大值12，无最小值
探究点一三角函数式的化简
例1求函数y＝7－4sinxcosx＋4cos2x－4cos4x的最大值和最小值．
Gothedistance
第2页共10页
变式迁移1(2011·泰安模拟)已知函数f(x)＝4cos
4x－2cos2x－1
sin????π4＋xsin????π4－x
.
(1)求f????－11π12的值；
(2)当x∈????0，π4时，求g(x)＝12f(x)＋sin2x的最大值和最小值．
探究点二三角函数式的求值
例2已知sin(π4＋2α)·sin(π4－2α)＝14，α∈(π4，π2)，求2sin2α＋tanα－1tanα－1的值．
变式迁移2(1)已知α是第一象限角，且cosα＝513，求
sin?α＋π4?
cos?2α＋4π?的值．
(2)已知cos(α＋π4)＝35，π2≤α<3π2，求cos(2α＋π4)的值．
探究点三三角恒等式的证明
例3(2011·苏北四市模拟)已知sin(2α＋β)＝3sinβ，设tanα＝x，tanβ＝y，记y＝f(x)．
(1)求证：tan(α＋β)＝2tanα；
(2)求f(x)的解析表达式；
(3)若角α是一个三角形的最小内角，试求函数f(x)的值域．
变式迁移3求证：sin2x?sinx＋cosx－1??sinx－cosx＋1?
＝1＋cosxsinx.
转化与化归思想的应用
例(12分)(2010·江西)已知函数f(x)＝
????1＋
1
tanxsin
2x＋msin????x＋π
4sin????x－
π
4.
(1)当m＝0时，求f(x)在区间????π8，3π4上的取值范围；
Gothedistance
第3页共10页
(2)当tanα＝2时，f(α)＝35，求m的值．
【答题模板】
解(1)当m＝0时，f(x)＝????1＋cosxsinxsin2x
＝sin2x＋sinxcosx＝1－cos2x＋sin2x2
＝12????2sin????2x－π4＋1，[3分]
由已知x∈????π8，3π4，得2x－π4∈????0，5π4，[4分]
所以sin????2x－π4∈????－22，1，[5分]
从而得f(x)的值域为??????0，1＋22.[6分]
(2)f(x)＝sin2x＋sinxcosx－m2cos2x
＝1－cos2x2＋12sin2x－m2cos2x
＝12[sin2x－(1＋m)cos2x]＋12，[8分]
由tanα＝2，得sin2α＝2sinαcosαsin2α＋cos2α＝2tanα1＋tan2α＝45，
cos2α＝cos
2α－sin2α
cos2α＋sin2α＝
1－tan2α
1＋tan2α＝－
3
5.[10分]
所以35＝12????45＋35?1＋m?＋12，[11分]
解得m＝－2.[12分]
【突破思维障碍】
三角函数式的化简是指利用诱导公式、同角基本关系式、和与差的三角函数公式、二倍
角公式等，将较复杂的三角函数式化得更简洁、更清楚地显示出式子的结果．化简三角函数
式的基本要求是：(1)能求出数值的要求出数值；(2)使三角函数式的项数最少、次数最低、
角与函数的种类最少；(3)分式中的分母尽量不含根式等．
1．求值中主要有三类求值问题：
(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，但仔细观察
非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角
并且消除非特殊角的三角函数而得解．
(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题
关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角
的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．
2．三角恒等变换的常用方法、技巧和原则：
(1)在化简求值和证明时常用如下方法：切割化弦法，升幂降幂法，和积互化法，辅助
元素法，“1”的代换法等．
(2)常用的拆角、拼角技巧如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，α＝(α－β)＋β，α＋β2
＝????α－β2＋????β－α2，α2是α4的二倍角等．
(3)化繁为简：变复角为单角，变不同角为同角，化非同名函数为同名函数，化高次为
Gothedistance
第4页共10页
低次，化多项式为单项式，化无理式为有理式．
消除差异：消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、函数名称、
结构等方面的差异．
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2011·平顶山月考)已知0<α<π，3sin2α＝sinα，则cos(α－π)等于()
A.13B．－13C.16D．－16
2．已知tan(α＋β)＝25，tan????β－π4＝14，那么tan????α＋π4等于()
A.1318B.1322C.322D.16
3．(2011·石家庄模拟)已知cos2α＝12(其中α∈????－π4，0)，则sinα的值为()
A.12B．－12C.32D．－32
4．若f(x)＝2tanx－
2sin2x2－1
sinx2cosx2
，则f????π12的值为()
A．－433B．8
C．43D．－43
5．(2010·福建厦门外国语学校高三第二次月考)在△ABC中，若cos2B＋3cos(A＋C)＋2
＝0，则sinB的值是
()
A.12B.22C.32D．1
题号12345
答案
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．(2010·全国Ⅰ)已知α为第二象限的角，且sinα＝35，则tan2α＝________.
7．函数y＝2cos2x＋sin2x的最小值是________．
8．若cos2α
sin????α－π4
＝－22，则cosα＋sinα的值为________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)化简：(1)cos20°cos40°cos60°cos80°；
(2)3－4cos2α＋cos4α3＋4cos2α＋cos4α.
10．(12分)(2011·南京模拟)设函数f(x)＝3sinxcosx－cosxsin????π2＋x－12.
(1)求f(x)的最小正周期；
Gothedistance
第5页共10页
(2)当∈????0，π2时，求函数f(x)的最大值和最小值．
11．(14分)(2010·北京)已知函数f(x)＝2cos2x＋sin2x－4cosx.
(1)求f(π3)的值；
(2)求f(x)的最大值和最小值．
答案自主梳理
1．(1)2sinαcosα(2)cos2α－sin2α2cos2α2sin2α
(3)2tanα1－tan2α2.(1)12sin2α(2)1－cos2α21＋cos2α22cos2α22sin2α2(sinα±cosα)2
自我检测
1．C2.C3.B4.D
课堂活动区
例1解题导引化简的原则是形式简单，三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好
不含分母，能求值的尽量求值．本题要充分利用倍角公式进行降幂，利用配方变为复合函数，
重视复合函数中间变量的范围是关键．
解y＝7－4sinxcosx＋4cos2x－4cos4x
＝7－2sin2x＋4cos2x(1－cos2x)
＝7－2sin2x＋4cos2xsin2x
＝7－2sin2x＋sin22x＝(1－sin2x)2＋6，
由于函数z＝(u－1)2＋6在[－1,1]中的最大值为zmax＝(－1－1)2＋6＝10，最小值为zmin
＝(1－1)2＋6＝6，
故当sin2x＝－1时，y取得最大值10，
当sin2x＝1时，y取得最小值6.
变式迁移1解(1)f(x)
＝?1＋cos2x?
2－2cos2x－1
sin????π4＋xsin????π4－x
＝cos
22x
sin????π4＋xcos????π4＋x
＝2cos
22x
sin????π2＋2x
＝2cos
22x
cos2x＝2cos2x，
∴f????－11π12＝2cos????－11π6＝2cosπ6＝3.
(2)g(x)＝cos2x＋sin2x
＝2sin????2x＋π4.
∵x∈????0，π4，∴2x＋π4∈????π4，3π4，
∴当x＝π8时，g(x)max＝2，
Gothedistance
第6页共10页
当x＝0时，g(x)min＝1.
例2解题导引(1)这类问题一般是先化简再求值；化简后目标更明确；
(2)如果能从已知条件中求出特殊值，应转化为特殊角，可简化运算，对切函数通常化
为弦函数．
解由sin(π4＋2α)·sin(π4－2α)
＝sin(π4＋2α)·cos(π4＋2α)
＝12sin(π2＋4α)＝12cos4α＝14，
∴cos4α＝12，又α∈(π4，π2)，故α＝5π12，
∴2sin2α＋tanα－1tanα－1
＝－cos2α＋sin
2α－cos2α
sinαcosα
＝－cos2α＋－2cos2αsin2α
＝－cos5π6－
2cos5π6
sin5π6
＝532.
变式迁移2解(1)∵α是第一象限角，cosα＝513，
∴sinα＝1213.
∴
sin?α＋π4?
cos?2α＋4π?＝
2
2?sinα＋cosα?
cos2α
＝
2
2?sinα＋cosα?
cos2α－sin2α
＝
2
2
cosα－sinα＝
2
2
5
13－
12
13
＝－13214.
(2)cos(2α＋π4)＝cos2αcosπ4－sin2αsinπ4
＝22(cos2α－sin2α)，
∵π2≤α<32π，
∴3π4≤α＋π4<74π.
又cos(α＋π4)＝35>0，
故可知32π<α＋π4<74π，
∴sin(α＋π4)＝－45，
从而cos2α＝sin(2α＋π2)
Gothedistance
第7页共10页
＝2sin(α＋π4)cos(α＋π4)
＝2×(－45)×35＝－2425.
sin2α＝－cos(2α＋π2)
＝1－2cos2(α＋π4)
＝1－2×(35)2＝725.
∴cos(2α＋π4)＝22(cos2α－sin2α)＝22×(－2425－725)
＝－31250.
例3解题导引本题的关键是第(1)小题的恒等式证明，对于三角恒等式的证明，我
们要注意观察、分析条件恒等式与目标恒等式的异同，特别是分析已知和要求的角之间的关
系，再分析函数名之间的关系，则容易找到思路．证明三角恒等式的实质就是消除等式两边
的差异，有目的地化繁为简，左右归一或变更论证．对于第(2)小题同样要从角的关系入手，
利用两角和的正切公式可得关系．第(3)小题则利用基本不等式求解即可．
(1)证明由sin(2α＋β)＝3sinβ，得sin[(α＋β)＋α]
＝3sin[(α＋β)－α]，
即sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα＝3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα，
∴sin(α＋β)cosα＝2cos(α＋β)sinα，
∴tan(α＋β)＝2tanα.
(2)解由(1)得tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝2tanα，即x＋y1－xy＝2x，
∴y＝x1＋2x2，即f(x)＝x1＋2x2.
(3)解∵角α是一个三角形的最小内角，
∴0<α≤π3，0
设g(x)＝2x＋1x，则g(x)＝2x＋1x≥22(当且仅当x＝22时取“＝”)．
故函数f(x)的值域为(0，24]．
变式迁移3证明因为左边＝
2sinxcosx
[sinx＋?cosx－1?][sinx－?cosx－1?]
＝2sinxcosxsin2x－?cosx－1?2
＝2sinxcosxsin2x－cos2x＋2cosx－1
＝2sinxcosx－2cos2x＋2cosx＝sinx1－cosx
＝sinx?1＋cosx??1－cosx??1＋cosx?
＝sinx?1＋cosx?sin2x＝1＋cosxsinx＝右边．
所以原等式成立．
课后练习区
Gothedistance
第8页共10页
1．D[∵0<α<π，3sin2α＝sinα，
∴6sinαcosα＝sinα，又∵sinα≠0，∴cosα＝16，
cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cosα＝－16.]
2．C[因为α＋π4＋β－π4＝α＋β，
所以α＋π4＝(α＋β)－????β－π4.
所以tan????α＋π4＝tan?????α＋β?－????β－π4
＝
tan?α＋β?－tan????β－π4
1＋tan?α＋β?tan????β－π4
＝322.]
3．B[∵12＝cos2α＝1－2sin2α，
∴sin2α＝14.又∵α∈????－π4，0，
∴sinα＝－12.]
4．B[f(x)＝2tanx＋
1－2sin2x2
1
2sinx
＝2tanx＋2cosxsinx
＝2sinxcosx＝4sin2x
∴f????π12＝4
sinπ6
＝8.]
5．C[由cos2B＋3cos(A＋C)＋2＝0化简变形，得2cos2B－3cosB＋1＝0，
∴cosB＝12或cosB＝1(舍)．
∴sinB＝32.]
6．－247
解析因为α为第二象限的角，又sinα＝35，
所以cosα＝－45，tanα＝sinαcosα＝－34，
所以tan2α＝2tanα1－tan2α＝－247.
7．1－2
解析∵y＝2cos2x＋sin2x＝sin2x＋1＋cos2x
＝sin2x＋cos2x＋1＝2sin????2x＋π4＋1，
∴当sin(2x＋π4)＝－1时，函数取得最小值1－2.
8.12
Gothedistance
第9页共10页
解析∵cos2α
sin????α－π4
＝cos
2α－sin2α
2
2?sinα－cosα?
＝－2(sinα＋cosα)＝－22，
∴cosα＋sinα＝12.
9．解(1)∵sin2α＝2sinαcosα，
∴cosα＝sin2α2sinα，…………………………………………………………………………(2分)
∴原式＝sin40°2sin20°·sin80°2sin40°·12·sin160°2sin80°
＝sin?180°－20°?16sin20°＝116.……………………………………………………………………(6
分)
(2)原式＝3－4cos2α＋2cos
22α－1
3＋4cos2α＋2cos22α－1………………………………………………………(9
分)
＝?1－cos2α?
2
?1＋cos2α?2＝
?2sin2α?2
?2cos2α?2＝tan
4α.………………………………………………………(12
分)
10．解f(x)＝3sinxcosx－cosxsin????π2＋x－12
＝32sin2x－12cos2x－1
＝sin????2x－π6－1.…………………………………………………………………………(4分)
(1)T＝2π2＝π，故f(x)的最小正周期为π.…………………………………………………(6
分)
(2)因为0≤x≤π2，所以－π6≤2x－π6≤5π6.
所以当2x－π6＝π2，即x＝π3时，f(x)有最大值0，
……………………………………………………………………………………………(10
分)
当2x－π6＝－π6，即x＝0时，f(x)有最小值－32.
……………………………………………………………………………………………(12
分)
11．解(1)f(π3)＝2cos2π3＋sin2π3－4cosπ3
＝－1＋34－2＝－94.………………………………………………………………………(4分)
(2)f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)－4cosx
＝3cos2x－4cosx－1
＝3(cosx－23)2－73，x∈R.………………………………………………………………(10分)
因为cosx∈[－1,1]，
所以，当cosx＝－1时，f(x)取得最大值6；
Gothedistance
第10页共10页
当cosx＝23时，f(x)取得最小值－73.…………………………………………………(14
分)
|
|
