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第七章不等式、推理与证明
学案33不等式的概念与性质
导学目标：1.了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.
理解不等式的性质，会应用不等式的性质解决与范围有关的问题．
自主梳理
1．不等关系
不等关系与等量关系一样，也是自然界中存在的基本数量关系，它们在现实世界和日常
生活中大量存在．不等关系可分为常量与________间的不等关系(如3>0)，变量与________
间的不等关系(如x>5)，函数与________之间的不等关系(如x2＋1≥2x)等．
2．不等式
用________(如“<”“>”“≤”“≥”等)连接两个代数式而成的式子叫做不等式，其中用
“<”或“>”连接的不等式叫做严格不等式；用“≤”“≥”连接的不等式叫做非严格不等
式．不等式可分为绝对不等式(不论用什么实数代替不等式中的字母，不等式都能成立)、条
件不等式(只有用某些范围内的实数代替不等式中的字母，不等式才能够成立)、矛盾不等式
(不论用什么样的实数代替不等式中的字母，不等式都不能成立)．
3．两个实数大小的比较
(1)作差法：设a，b∈R，则a>b?a－b>0，a
用比较法的依据．
(2)作商法：依据：设a>0，b>0，则a>b?__________，
a
4．不等式的性质
(1)对称性：a>b?________；
(2)传递性：a>b，b>c?________；
(3)加法性质：a>b?________；
推论：a>b，c>d?________；
(4)乘法性质：a>b，c>0?________；
推论：a>b>0，c>d>0?________；
(5)乘方性质：a>b>0?________________________；
(6)开方性质：a>b>0?________________________；
(7)倒数性质：a>b，ab>0?________________.
自我检测
1．(2011·大纲全国)下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是()
A．a>b＋1B．a>b－1
C．a2>b2D．a3>b3
2．若a，b是任意实数，且a>b，则()
A．a2>b2B.ba<1
C．lg(a－b)>0D.????12a
3．(2011·青岛模拟)设a>0，b>0，则以下不等式中不一定成立的是()
A．ab＋ba≥2
B．ln(ab＋1)>0
C．a2＋b2＋2≥2a＋2b
D．a3＋b3≥2ab2
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4．(2011·上海)若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是()
A．a2＋b2>2abB．a＋b≥2ab
C.1a＋1b>2abD.ba＋ab≥2
5．(2010·安徽)若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的
是________(写出所有正确命题的序号)．
①ab≤1；②a＋b≤2；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；⑤1a＋1b≥2.
探究点一数与式的大小比较
例1(1)设x
(2)已知a，b，c∈{正实数}，且a2＋b2＝c2，当n∈N，n>2时，比较cn与an＋bn的大
小．
变式迁移1已知a>2，b>2，试比较a＋b与ab的大小．
探究点二不等式性质的简单应用
例2下面的推理过程
?????a>b?ac>bcc>d?bc>bd?ac>bd?ad>bc，其中错误之处的个数是()
A．0B．1C．2D．3
变式迁移2(2011·许昌月考)若a
A.1a>1bB.1a－b>1a
C．|a|>|b|D．a2>b2
探究点三求字母或代数式范围问题
例3(1)已知12
(2)设f(x)＝ax2＋bx,1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．
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变式迁移3(1)已知－π2≤α≤π2，0≤β≤π，则2α－β2的范围为________．
(2)(2010·辽宁)已知－1
案用区间表示)
1．数或式的大小比较常见的思路：一是采用作差(或作商)比较法；二是直接应用不等
式的性质或基本不等式；三是利用函数的单调性．在不等关系的判断及数或式的大小比
较过程中等价转化是关键．
2．由M1
等式相加，但不等式相加的次数应尽可能少，以免将取值范围扩大．这时可以用所谓的
“线性相关值”，令g(a，b)＝pf1(a，b)＋qf2(a，b)，用恒等关系求出待定系数p，q，
于是一次相加，便可求到所需要的范围．
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2011·开封调研)已知a、b、c满足c
A．ab>acB．c(b－a)<0
C．cb20
2．若a>b>0，则下列不等式中恒成立的是()
A．ba>b＋1a＋1B．a＋1a>b＋1b
C．a＋1b>b＋1aD.2a＋ba＋2b>ab
3．(2011·金华模拟)已知a>b，则下列不等式一定成立的是()
A．lga>lgbB．a2>b2
C.1a<1bD．2a>2b
4．(2011·舟山七校联考)若a
A.1a>1b和1|a|>1|b|均不能成立
B.1a－b>1b和1|a|>1|b|均不能成立
C．不等式1a－b>1a和????a＋1b2>????b＋1a2均不能成立
D．不等式1|a|>1|b|和????a＋1b2
5．已知三个不等式：ab>0，bc－ad>0，ca－db>0(其中a，b，c，d均为实数)，用其中两
个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是
()
A．0B．1C．2D．3
二、填空题(每小题4分，共12分)
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6．若x>y>1，且0logay；③x－a>y－a；④logxa
其中不成立的个数是________．
7．(2011·东莞月考)当a>0>b，cb＋d2；
③b－c>d－c.其中正确命题的序号是________．
8．已知－π2≤α<β≤π2，则α＋β2的取值范围是________；α－β2的取值范围是
______________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)(2011·阳江月考)已知a＋b>0，试比较ab2＋ba2与1a＋1b.
10．(12分)比较aabb与abba(a，b为不相等的正数)的大小．
11．(14分)已知a>0，a2－2ab＋c2＝0，bc>a2.试比较a，b，c的大小．
学案33不等式的概念与性质
自主梳理
1．常量常量函数2.不等号3.(2)ab>14.(1)bc(3)a＋c>b＋ca＋c>b
＋d(4)ac>bcac>bd(5)an>bn(n∈N且n≥2)(6)na>nb(n∈N且n≥2)
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(7)1a<1b
自我检测
1．A2.D3.D4.D
5．①③⑤
课堂活动区
例1解题导引比较大小有两种基本方法：
(1)作差法步骤：作差——变形——判断差的符号．作商法的步骤：作商——变形——
判断商与1的大小．(2)两种方法的关键是变形．常用的变形技巧有因式分解、配方、有理
化等，也可以等价转化为易于比较大小的两个代数式来达到目的．
解(1)方法一(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)＝(x－y)[x2＋y2－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)，
∵x0，x－y<0.
∴－2xy(x－y)>0.
∴(x2＋y2)(x－y)>(x2－y2)(x＋y)．
方法二∵x
∴x－y<0，x2>y2，x＋y<0.
∴(x2＋y2)(x－y)<0，(x2－y2)(x＋y)<0.
∴0
2＋y2??x－y?
?x2－y2??x＋y?＝
x2＋y2
x2＋y2＋2xy<1.
∴(x2＋y2)(x－y)>(x2－y2)(x＋y)．
(2)∵a，b，c∈{正实数}，∴an，bn，cn>0.
而a
n＋bn
cn＝?
???acn＋????bcn.
∵a2＋b2＝c2，则????ac2＋????bc2＝1，
∴0
∵n∈N，n>2，
∴????acn
∴a
n＋bn
cn＝?
???acn＋????bcn
c2＝1.
∴an＋bn
变式迁移1解方法一(作差法)
ab－(a＋b)＝(a－1)(b－1)－1，
∵a>2，b>2，∴a－1>1，b－1>1.
∴(a－1)(b－1)－1>0.
∴ab－(a＋b)>0.
∴ab>a＋b.
方法二(作商法)∵a＋bab＝1b＋1a，
且a>2，b>2，∴1a<12，1b<12.
∴1b＋1a<12＋12＝1.
∴a＋bab<1.又∵ab>4>0，∴a＋b
例2D[由a>b?ac>bc，c>d?bc>bd都是对不等式两边同乘一实数，只有当该实数
为正数时，不等号才不改变方向，故这两步都错误；由于不等式具有传递性，所以得出ac>bd
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是正确的，由ac>bd?ad>bc是对不等式ac>bd两边同除cd，由于不知cd的正、负，故这一步
也是错误的．]
变式迁移2B[∵a0.
取倒数，则有1a>1b，选项A正确．
∵a|b|和a2>b2两个不等式均成立，选项C、D正确．
对于B，1a－b－1a＝ba?a－b?，
又∵a
即1a－b<1a.∴选项B不成立．]
例3解题导引第(2)题中，由于f(x)＝ax2＋bx，所以f(－2)、f(－1)和f(1)都是关于a，
b的代数式，由于已知f(－1)、f(1)的范围，因此利用待定系数法表示出f(－2)，通过等式两
边a、b系数相等求出待定系数，然后通过f(－1)、f(1)的范围求出f(－2)的范围．本题也可
用线性规划求解，即已知条件可化为
??
??
?1≤a－b≤2，
2≤a＋b≤4，求的是z＝4a－2b的范围．
解(1)∵15
∴12－36
又136<1b<115，∴1236
∴13
(2)方法一由
??
??
?f?－1?＝a－b
f?1?＝a＋b，
得
??
?a＝12[f?－1?＋f?1?]，
b＝12[f?1?－f?－1?].
∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．
又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，
∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，
故5≤f(－2)≤10.
方法二设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)，
则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，
即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b，
∴
??
??
?m＋n＝4，
n－m＝－2，解得???
??m＝3，
n＝1.
∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)，
∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，
∴5≤f(－2)≤10，
∴f(－2)的取值范围是[5,10]．
变式迁移3(1)[－3π2，π](2)(3,8)
解析(1)由－π2≤α≤π2
?－π≤2α≤π，
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由0≤β≤π?－π2≤－β2≤0，
两不等式相加得：－3π2≤2α－β2≤π.
所以2α－β2的范围为????－3π2，π.
(2)设2x－3y＝λ(x＋y)＋μ(x－y)＝(λ＋μ)x＋(λ－μ)y，对应系数相等，
则
??
??
?λ＋μ＝2
λ－μ＝－3???
?λ＝－12，
μ＝52，
从而2x－3y＝－12(x＋y)＋52(x－y)∈(3,8)．
课后练习区
1．A[由c0，c<0，但b的符号不确定，b可能为0，故C错误．
由b>c?ab>ac，b可能为0，故A正确．
?????b0，故B错误．
?????a>c?a－c>0又ac<0?ac(a－c)<0，故D错误．]
2．C[∵a>b>0，∴ab>0，∴1b>1a.
∴a＋1b>b＋1a.故选C.]
3．D[只有指数函数y＝2x在R上为增函数，所以D正确．而A、C显然不是对于一
切实数都成立的，B的等价条件是|a|>|b|，显然也错误．]
4．D[∵a1b有可能
成立；又∵a
∴|a|>|b|>0，则有1|a|<1|b|，即1|a|>1|b|不成立．]
5．D[①由ab>0，bc－ad>0，即bc>ad，
得ca>db，即ca－db>0；
②由ab>0，ca－db>0，即ca>db，
得bc>ad，即bc－ad>0；
③由bc－ad>0，ca－db>0，
即bc－adab>0，得ab>0；
故可组成3个正确的命题．]
6．3
解析∵x>y>1,0
故①成立，②不成立．
∵xa>ya>0，∴x－a
又logax
ax
>1log
ay
.
即logxa>logya，∴④也不成立．
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7．①②
解析∵ad<0，bc>0，∴ad
又∵cd2>0.
由已知a>b，同向不等式相加得a＋c2>b＋d2，故②正确；
对于结论③，d－c>0，b－c的正、负不确定，故③不正确．
8.????－π2，π2????－π2，0
解析∵－π2≤α<π2，－π2<β≤π2，
∴－π<α＋β<π，∴－π2<α＋β2<π2.
∵－π2≤－β<π2，
∴－π≤α－β<π，∴－π2≤α－β2<π2.
又∵α－β<0，∴－π2≤α－β2<0.
9．解ab2＋ba2－????1a＋1b＝a－bb2＋b－aa2
＝(a－b)????1b2－1a2＝?a＋b??a－b?
2
a2b2.(6分)
∵a＋b>0，(a－b)2≥0，∴?a＋b??a－b?
2
a2b2≥0.
∴ab2＋ba2≥1a＋1b.(12分)
10．解a
abb
abba＝a
a－bbb－a＝????a
b
a－b，(4分)
当a>b>0时，ab>1，a－b>0，
∴????aba－b>1；(8分)
当0
∴????aba－b>1.(11分)
综上所述，当a，b为不相等的正数时，总有aabb>abba.
(12分)
11．解∵bc>a2>0，∴b，c同号．(2分)
又a2＋c2>0，a>0，∴b＝a
2＋c2
2a>0.
∴c>0.(4分)
由(a－c)2＝2ab－2ac＝2a(b－c)≥0，
∴b－c≥0.(6分)
当b－c>0，即b>c时，
由
??
??
?b＝a2＋c2
2a
bc>a2
?a
2＋c2
2a·c>a
2?(a－c)(2a2＋ac＋c2)<0.
∵a>0，b>0，c>0，∴2a2＋ac＋c2>0.
∴a－c<0，即a
当b－c＝0，即b＝c时，
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∵bc>a2，∴b2>a2，即b≠a.
又∵a2－2ab＋c2＝(a－b)2＝0?a＝b与a≠b矛盾，
∴b－c≠0.综上，可知a
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