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学案34一元二次不等式及其解法
导学目标：1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.2.通过函数图象了解一元二
次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.3.会解一元二次不等式，对给定的一元二
次不等式，会设计求解的程序框图．
自主梳理
1．一元二次不等式的定义
只含有一个未知数，且未知数的最高次数是____的不等式叫一元二次不等式．
2．二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系
判别式
Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0
二次函数
y＝ax2＋bx
＋c(a>0)
的图象
一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0
(a>0)的根
有两相异实根
x1,2＝
－b±b2－4ac
2a
(x1
有两相等实根
x1＝x2
＝________
没有实根
一元二
次不等
式ax2
＋bx＋
c>0
的解集
a>0{x|xx
2}
{x|x≠____}______
a<0{x|x1
自我检测
1．(2011·广州模拟)已知p：关于x的不等式x2＋2ax－a>0的解集是R，q：－1
则p是q的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．设函数f(x)＝
??
??
?x2－4x＋6，x≥0，
x＋6，x<0，则不等式f(x)>f(1)的解集是()
A．(－3,1)∪(3，＋∞)B．(－3,1)∪(2，＋∞)
C．(－1,1)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(1,3)
3．已知不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋x－6<0的解集是B，不等式x2＋
ax＋b<0的解集是A∩B，那么a＋b等于()
A．－3B．1C．－1D．3
4．(2011·厦门月考)已知f(x)＝ax2－x－c>0的解集为(－3,2)，则y＝f(－x)的图象是()
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5．当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围为________________.
探究点一一元二次不等式的解法
例1解下列不等式：
(1)－x2＋2x－23>0；
(2)9x2－6x＋1≥0.
变式迁移1解下列不等式：
(1)2x2＋4x＋3<0；
(2)－3x2－2x＋8≤0；
(3)8x－1≥16x2.
探究点二含参数的一元二次不等式的解法
例2已知常数a∈R，解关于x的不等式ax2－2x＋a<0.
变式迁移2解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.
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探究点三一元二次不等式恒成立问题
例3(2011·巢湖月考)已知f(x)＝x2－2ax＋2(a∈R)，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒
成立，求a的取值范围．
变式迁移3(1)关于x的不等式4x＋mx2－2x＋3<2对任意实数x恒成立，求实数m的取值范
围．
(2)若不等式x2＋px>4x＋p－3对一切0≤p≤4均成立，试求实数x的取值范围．
转化与化归思想的应用
例(12分)已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(α，β)，且0<α<β，求不等式cx2＋bx＋
a<0的解集．
【答题模板】
解由已知不等式的解集为(α，β)可得a<0，
∵α，β为方程ax2＋bx＋c＝0的两根，
∴由根与系数的关系可得
??
?ba＝－?α＋β?<0，①
c
a＝αβ>0.②
[4分]
∵a<0，∴由②得c<0，[5分]
则cx2＋bx＋a<0可化为x2＋bcx＋ac>0.[6分]
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①÷②，得bc＝－?α＋β?αβ＝－????1α＋1β<0，由②得ac＝1αβ＝1α·1β>0，
∴1α、1β为方程x2＋bcx＋ac＝0的两根．[10分]
∵0<α<β，∴不等式cx2＋bx＋a<0的解集为{x|x<1β或x>1α}．[12分]
【突破思维障碍】
由ax2＋bx＋c>0的解集是一个开区间，结合不等式对应的函数图象知a<0，要求cx2＋
bx＋a<0的解集首先需要判断二次项系数c的正负，由方程根与系数关系知ca＝α·β>0，因a<0，
∴c<0，从而知道cx2＋bx＋a<0的解集是x大于大根及小于小根对应的两个集合．要想求出
解集，需用已知量α，β代替参数c、b、a，需对不等式cx2＋bx＋a<0两边同除c或a，用α、
β代替后，就不难找到要求不等式对应方程的两根，从而求出不等式的解集．本题较好地体
现了三个“二次”之间的相互转化．
1．三个“二次”的关系：二次函数是主体，一元二次方程和一元二次不等式分别为二
次函数的函数值为零和不为零的两种情况，一般讨论二次函数常将问题转化为一元二次
方程和一元二次不等式来研究，而讨论一元二次方程和一元二次不等式又常与相应的二
次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决．一元二次不等式解集的端点值就是
相应的一元二次方程的根，也是相应的二次函数的图象与x轴交点的横坐标，即二次函
数的零点．
2．解含参数的一元二次不等式的步骤：解含参数的一元二次不等式可按如下步骤进行：
1°二次项若含有参数应讨论参数是等于0、小于0、还是大于0.然后将不等式转化为二
次项系数为正的形式.2°判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系.3°确定无根时
可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式．
3．不等式恒成立问题：不等式恒成立，即不等式的解集为R，一元二次不等式ax2＋bx
＋c>0(a≠0)恒成立的条件是
??
??
?a>0，
Δ＝b2－4ac<0；ax
2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的条件是
??
??
?a<0，
Δ＝b2－4ac<0.
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．函数y＝2
12log1x
的定义域是()
A．[－2，－1)∪(1，2]B．[－2，－1]∪(1，2)
C．[－2，－1)∪(1,2]D．(－2，－1)∪(1,2)
2．(2010·抚顺模拟)已知集合P＝{x|x＋1x－1>0}，集合Q＝{x|x2＋x－2≥0}，则x∈Q是x
∈P的()
A．充分条件但不是必要条件
B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
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3．(2011·银川模拟)已知集合M＝{x|x2－2008x－2009>0}，N＝{x|x2＋ax＋b≤0}，若M
∪N＝R，M∩N＝(2009，2010]，则()
A．a＝2009，b＝－2010B．a＝－2009，b＝2010
C．a＝2009，b＝2010D．a＝－2009，b＝－2010
4．若(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0对任何实数x恒成立，则实数m的取值范围是()
A．m>1B．m<－1
C．m<－1311D．m>1或m<－1311
5．(创新题)已知a1>a2>a3>0，则使得(1－aix)2<1(i＝1,2,3)都成立的x的取值范围是()
A.????0，1a
1
B.????0，2a
1
C.????0，1a
3
D.????0，2a
3
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．在R上定义运算?：x?y＝x(1－y)，若不等式(x－a)?(x＋a)<1对任意实数x恒成立，
则a的取值范围为________．
7．已知函数f(x)＝
??
??
?log2x，x>0，
x2，x≤0，则满足f(x)>1的x的取值范围为______________．
8．(2011·泉州月考)
已知函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，函数y＝f′(x)的图象如
右图所示，且f(－2)＝1，f(3)＝1，则不等式f(x2－6)>1的解集为__________________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)解关于x的不等式x－ax－a2<0(a∈R)．
10．(12分)若不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是??????x|－13≤x≤2，求不等式cx2＋bx＋a<0的
解集．
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11．(14分)(2011·烟台月考)已知函数f(x)＝x2＋ax＋3.
(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围；
(2)当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．
学案34一元二次不等式及其解法
自主梳理
1．22.－b2a－b2aR??
自我检测
1．C2.A3.A4.D
5．(－∞，－5]
解析记f(x)＝x2＋mx＋4，根据题意得
??
??
?Δ＝m2－16>0，
f?1?≤0，
f?2?≤0，
解得m≤－5.
课堂活动区
例1解题导引解一元二次不等式的一般步骤
(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax2＋bx＋c>0(a>0)，ax2＋bx＋
c<0(a>0)．
(2)计算相应的判别式．
(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根．
(4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集．
解(1)两边都乘以－3，得3x2－6x＋2<0，
因为3>0，且方程3x2－6x＋2＝0的解是
x1＝1－33，x2＝1＋33，
所以原不等式的解集是{x|1－33
(2)∵不等式9x2－6x＋1≥0，
其相应方程9x2－6x＋1＝0，
Δ＝(－6)2－4×9＝0，
∴上述方程有两相等实根x＝13，
结合二次函数y＝9x2－6x＋1的图象知，原不等式的解集为R.
变式迁移1解(1)∵不等式2x2＋4x＋3<0可转化为
2(x＋1)2＋1<0，而2(x＋1)2＋1>0，
∴2x2＋4x＋3<0的解集为?.
(2)两边都乘以－1，得3x2＋2x－8≥0，
因为3>0，且方程3x2＋2x－8＝0的解是
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x1＝－2，x2＝43，
所以原不等式的解集是(－∞，－2]∪[43，＋∞)．
(3)原不等式可转化为16x2－8x＋1≤0，
即(4x－1)2≤0，
∴原不等式的解集为{14}．
例2解题导引(1)含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，可先考虑分解
因式，再对参数进行讨论；若不易因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．
(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零
时的情形，以便确定解集的形式．
(3)其次对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．
解上述不等式不一定为一元二次不等式，当a＝0时为一元一次不等式，当a≠0时为
一元二次不等式，故应对a进行讨论，然后分情况求解．
(1)a＝0时，解为x>0.
(2)a>0时，Δ＝4－4a2.
①当Δ>0，即0
方程ax2－2x＋a＝0的两根为1±1－a
2
a，
∴不等式的解集为{x|1－1－a
2
a
1＋1－a2
a}．
②当Δ＝0，即a＝1时，x∈?；
③当Δ<0，即a>1时，x∈?.
(3)当a<0时，
①Δ>0，即－1
不等式的解集为{x|x<1＋1－a
2
a或x>
1－1－a2
a}．
②Δ＝0，即a＝－1时，不等式化为(x＋1)2>0，
∴解为x∈R且x≠－1.
③Δ<0，即a<－1时，x∈R.
综上所述，当a≥1时，原不等式的解集为?；
当0
{x|1－1－a
2
a
1＋1－a2
a}；
当a＝0时，解集为{x|x>0}；
当－1
{x|x<1＋1－a
2
a或x>
1－1－a2
a}；
当a＝－1时，解集为{x|x∈R且x≠－1}；
当a<－1时，解集为{x|x∈R}．
变式迁移2解①当a＝0时，解得x>1.
②当a>0时，原不等式变形为(x－1a)(x－1)<0，
∴a>1时，解得1a
a＝1时，解得x∈?；
0
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③当a<0时，原不等式变形为(x－1a)(x－1)>0，
∵1a<1，∴解不等式可得x<1a或x>1.
综上所述，当a<0时，不等式解集为(－∞，1a)∪(1，＋∞)；
当a＝0时，不等式解集为(1，＋∞)；
当0
当a＝1时，不等式解集为?；
当a>1时，不等式解集为(1a，1)．
例3解题导引注意等价转化思想的运用，二次不等式在区间上恒成立的问题可转
化为二次函数区间最值问题．
解方法一f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图象的对称轴为x＝a.
①当a∈(－∞，－1)时，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.要使f(x)≥a
恒成立，只需f(x)min≥a，
即2a＋3≥a，解得－3≤a<－1；
②当a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2，
由2－a2≥a，解得－1≤a≤1.
综上所述，所求a的取值范围为－3≤a≤1.
方法二令g(x)＝x2－2ax＋2－a，由已知，
得x2－2ax＋2－a≥0在[－1，＋∞)上恒成立，
即Δ＝4a2－4(2－a)≤0或
??
??
?Δ>0，
a<－1，
g?－1?≥0.
解得－3≤a≤1.
变式迁移3解(1)∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0，
∴不等式4x＋mx2－2x＋3<2同解于4x＋m<2x2－4x＋6，即2x2－8x＋6－m>0.
要使原不等式对任意实数x恒成立，只要2x2－8x＋6－m>0对任意实数x恒成立．
∴Δ<0，即64－8(6－m)<0，
整理并解得m<－2.
∴实数m的取值范围为(－∞，－2)．
(2)∵x2＋px>4x＋p－3，
∴(x－1)p＋x2－4x＋3>0.
令g(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3，
则要使它对0≤p≤4均有g(p)>0，
只要有
??
??
?g?0?>0
g?4?>0.
∴x>3或x<－1.
∴实数x的取值范围为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．
课后练习区
1．A[由已知有
12log
(x2－1)≥0，
∴
??
??
?x2－1>0，
x2－1≤1.∴??
?x>1或x<－1，
－2≤x≤2.
∴－2≤x<－1或1
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2．D[化简得P＝{x<－1，或x>1}，Q＝{x≤－2，或x≥1}，集合P，Q之间不存在
包含关系，
所以x∈Q是x∈P的既不充分又不必要条件．]
3．D[化简得M＝{x|x<－1或x>2009}，
由M∪N＝R，M∩N＝(2009,2010]可知N＝{x|－1≤x≤2010}，即－1,2010是方程x2
＋ax＋b＝0的两个根．
所以b＝－1×2010＝－2010，－a＝－1＋2010，即a＝－2009.]
4．C[当m＝－1时，不等式变为2x－6<0，即x<3，不符合题意．
当m≠－1时，由题意知
??
??
?m＋1<0，
Δ＝?m－1?2－4?m＋1?×3?m－1?<0，
化简，得
??
??
?m＋1<0，
11m2＋2m－13>0，
解得m<－1311.]
5．B[(1－aix)2<1，即a2ix2－2aix<0，
即aix(aix－2)<0，由于ai>0，这个不等式可以化为
x????x－2a
i
<0，即0
i
，若对每个都成立，则2a
i
应最小，
即ai应最大，也即是0
1
.]
6．(－12，32)
解析由题意知，(x－a)?(x＋a)<1
?(x－a)(1－x－a)<1
?x2－x－(a2－a－1)>0.
因上式对x∈R都成立，
所以Δ＝1＋4(a2－a－1)<0，
即4a2－4a－3<0.所以－12
7．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
解析当x>0时，由log2x>1，得x>2；
当x≤0时，由x2>1，得x<－1.
综上可知，x的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
8．(2,3)∪(－3，－2)
解析由导函数图象知当x<0时，f′(x)>0，
即f(x)在(－∞，0)上为增函数；
当x>0时，f′(x)<0，即f(x)在(0，＋∞)上为减函数，
故不等式f(x2－6)>1等价于f(x2－6)>f(－2)或f(x2－6)>f(3)，即－2
6<3，
解得x∈(2,3)∪(－3，－2)．
9．解x－ax－a2<0?(x－a)(x－a2)<0，(2分)
①当a＝0或a＝1时，原不等式的解集为?；(4分)
②当a<0或a>1时，a
③当0a2，此时a2
综上，当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|a
当0
当a＝0或a＝1时，原不等式解集为?.(12分)
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10．解由ax2＋bx＋c≥0的解集为
??
?
??
?x|－1
3≤x≤2，知a<0，(3分)
又????－13×2＝ca<0，则c>0.
又－13，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，(6分)
∴－ba＝53，即ba＝－53.
又∵ca＝－23，∴b＝－53a，c＝－23a.(8分)
∴不等式cx2＋bx＋a<0变为????－23ax2＋????－53ax＋a<0，
即2ax2＋5ax－3a>0.
又∵a<0，∴2x2＋5x－3<0，
∴所求不等式的解集为??????x|－3
11．解(1)∵x∈R时，有x2＋ax＋3－a≥0恒成立，
需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，
∴－6≤a≤2.(4分)
(2)当x∈[－2,2]时，设g(x)＝x2＋ax＋3－a≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)：
①如图(1)，当g(x)的图象恒在x轴上方，满足条件时，
有Δ＝a2－4(3－a)≤0，即－6≤a≤2.(7分)
②如图(2)，g(x)的图象与x轴有交点，
但在x∈[－2，＋∞)时，g(x)≥0，
即
??
??
?Δ≥0，
x＝－a2<－2，
g?－2?≥0，
即
??
??
?a2－4?3－a?≥0，
－a2<－2，
4－2a＋3－a≥0
?
??
??
?a≥2或a≤－6，a>4，
a≤73，
解之，得a∈?.(10分)
③如图(3)，g(x)的图象与x轴有交点，
但在x∈(－∞，2]时，g(x)≥0，即
??
??
?Δ≥0，
x＝－a2>2，
g?2?≥0，
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即
??
??
?a2－4?3－a?≥0，
－a2>2，
4＋2a＋3－a≥0
?
??
??
?a≥2或a≤－6，
a<－4，
a≥－7
?－7≤a≤－6.(13分)
综合①②③，得a∈[－7,2]．(14分)
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