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第九章解析几何
学案47直线及其方程
导学目标：1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.2.理解
直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线位置的几何
要素，掌握直线方程的几种形式，了解斜截式与一次函数的关系．
自主梳理
1．直线的倾斜角与斜率
(1)直线的倾斜角
①定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴________与直线l________
方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角
为________．
②倾斜角的范围为______________．
(2)直线的斜率
①定义：一条直线的倾斜角α的________叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k
表示，即k＝________，倾斜角是90°的直线斜率不存在．
②过两点的直线的斜率公式：
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝______________________.
2．直线的方向向量
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的一个方向向量为P1P2→，其坐标为
________________，当斜率k存在时，方向向量的坐标可记为(1，k)．
3．直线的方程和方程的直线
已知二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)和坐标平面上的直线l，如果直线l上任
意一点的坐标都是方程____________的解，并且以方程Ax＋By＋C＝0的任意一个解作为
点的坐标都在__________，就称直线l是方程Ax＋By＋C＝0的直线，称方程Ax＋By＋C
＝0是直线l的方程．
4．直线方程的五种基本形式
名称方程适用范围
点斜式不含直线x＝x0
斜截式不含垂直于x轴的直线
两点式不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)
截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式平面直角坐标系内的直线都适用
5.线段的中点坐标公式
若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，且线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，
则
??
??
?x＝，
y＝，此公式为线段P1P2的中点坐标公式．
自我检测
1．(2011·银川调研)若A(－2,3)，B(3，－2)，C????12，m三点共线，则m的值为()
A.12B．－12C．－2D．2
2．直线l与两条直线x－y－7＝0，y＝1分别交于P、Q两点，线段PQ的中点为(1，
－1)，则直线l的斜率为()
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A．－32B.32C.23D．－23
3．下列四个命题中，假命题是()
A．经过定点P(x0，y0)的直线不一定都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示
B．经过两个不同的点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－
x1)(y2－y1)来表示
C．与两条坐标轴都相交的直线不一定可以用方程xa＋yb＝1表示
D．经过点Q(0，b)的直线都可以表示为y＝kx＋b
4．(2011·商丘期末)如果A·C<0，且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过()
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
5．已知直线l的方向向量与向量a＝(1,2)垂直，且直线l过点A(1,1)，则直线l的方程
为()
A．x－2y－1＝0B．2x＋y－3＝0
C．x＋2y＋1＝0D．x＋2y－3＝0
探究点一倾斜角与斜率
例1已知两点A(－1，－5)、B(3，－2)，直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，
求l的斜率．
变式迁移1直线xsinα－y＋1＝0的倾斜角的变化范围是()
A.????0，π2B．(0，π)
C.????－π4，π4D.????0，π4∪????3π4，π
探究点二直线的方程
例2(2011·武汉模拟)过点M(0,1)作直线，使它被两直线l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y
－8＝0所截得的线段恰好被M所平分，求此直线方程．
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变式迁移2求适合下列条件的直线方程：
(1)经过点P(3,2)且在两坐标轴上的截距相等；
(2)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍．
探究点三直线方程的应用
例3过点P(2,1)的直线l交x轴、y轴正半轴于A、B两点，求使：
(1)△AOB面积最小时l的方程；
(2)|PA|·|PB|最小时l的方程．
变式迁移3为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图)，另外△EFA
内部有一文物保护区不能占用，经测量|AB|＝100m，|BC|＝80m，|AE|＝30m，|AF|＝20m，
应如何设计才能使草坪面积最大？
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探究点四数形结合思想
例4已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)．
试求y＋3x＋2的最大值与最小值．
变式迁移4直线l过点M(－1,2)且与以点P(－2，－3)、Q(4,0)为端点的线段恒相交，
则l的斜率范围是()
A．[－25，5]B．[－25，0)∪(0,5]
C．(－∞，－25]∪[5，＋∞)D．[－25，π2)∪(π2，5]
1．要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的范围为0°≤α<180°，熟记斜率公式k＝
y2－y1
x2－x1，该公式与两点顺序无关．已知两点坐标(x1≠x2)，根据该公式可以求出经过两点
的直线斜率，而x1＝x2，y1≠y2时，直线斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°.
2．当直线没有斜率(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式y－y1y
2－y1
＝x－x1x
2－x1
求直线方
程，但都可以写成(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)的形式．直线方程的点斜式、斜截式、
两点式、截距式都可以化成一般式，但是有些直线的一般式方程不能化成点斜式、斜截
式、两点式或截距式．
3．使用直线方程时，一定要注意限制条件以免解题过程中丢解，如点斜式的使用条件
是直线必须有斜率，截距式的使用条件是截距存在且不为零，两点式的使用条件是直线
不与坐标轴垂直．
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2011·临沂月考)已知直线l经过A(2,1)、B(1，m2)(m∈R)两点，那么直线l的倾斜角
的取值范围是()
A．(0，π)B.????0，π4∪????π2，π
C.????0，π4D.????π4，π2∪????π2，π
2．若直线l：y＝kx－3与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角
的取值范围是()
A.????π6，π3B.????π6，π2
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C.????π3，π2D.????π6，π2
3．点P(x，y)在经过A(3,0)，B(1,1)两点的直线上，那么2x＋4y的最小值是()
A．22B．42
C．16D．不存在
4．(2011·宜昌调研)点A(a＋b，ab)在第一象限内，则直线bx＋ay－ab＝0不经过的象限
是()
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
5．(2011·包头期末)经过点P(2，－1)，且在y轴上的截距等于它在x轴上的截距的2倍
的直线l的方程为()
A．2x＋y＝2B．2x＋y＝4
C．2x＋y＝3D．2x＋y＝3或x＋2y＝0
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．过两点A(m2＋2，m2－3)，B(3－m－m2,2m)的直线l的倾斜角为45°，则m＝________.
7．直线x＋(a2＋1)y＋1＝0(a∈R)的倾斜角的取值范围是________．
8．设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x
－y＋1＝0，则直线PB的方程是________________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)已知两点A(－1,2)，B(m,3)，求：
(1)直线AB的斜率k；
(2)求直线AB的方程；
(3)已知实数m∈????－33－1，3－1，求直线AB的倾斜角α的范围．
10．(12分)(2011·秦皇岛模拟)已知线段PQ两端点的坐标分别为(－1,1)、(2,2)，若直线
l：x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，求m的范围．
11．(14分)已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
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(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S，求S的最小值
并求此时直线l的方程．
学案47直线及其方程
自主梳理
1．(1)①正向向上0°②0°≤α<180°(2)①正切值tanα②y2－y1x
2－x1
2.(x2－x1，
y2－y1)3.Ax＋By＋C＝0
直线l上4.y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋by－y1y
2－y1
＝x－x1x
2－x1
xa＋yb＝1(a≠0，b≠0)Ax
＋By＋C＝0(A、B不同时为0)5.x1＋x22y1＋y22
自我检测
1．A2.D3.D4.C5.D
课堂活动区
例1解题导引斜率与倾斜角常与三角函数联系，本题需要挖掘隐含条件，判断角
的范围．关键是熟练掌握好根据三角函数值确定角的范围这一类题型．
解设直线l的倾斜角为α，则直线AB的倾斜角为2α，
由题意可知：tan2α＝－2－?－5?3－?－1?＝34，∴2tanα1－tan2α＝34.
整理得3tan2α＋8tanα－3＝0.
解得tanα＝13或tanα＝－3，∵tan2α＝34>0，
∴0°<2α<90°，∴0°<α<45°，∴tanα>0，
故直线l的斜率为13.
变式迁移1D[直线xsinα－y＋1＝0的斜率是k＝sinα，
又∵－1≤sinα≤1，∴－1≤k≤1.
当0≤k≤1时，倾斜角的范围是????0，π4，
当－1≤k<0时，倾斜角的范围是????3π4，π.]
例2解题导引(1)对直线问题，要特别注意斜率不存在的情况．
(2)求直线方程常用方法——待定系数法．
待定系数法就是根据所求的具体直线设出方程，然后按照它们满足的条件求出参数．
解过点M且与x轴垂直的直线是y轴，它和两已知直线的交点分别是????0，103和(0,8)，
显然不满足中点是点M(0,1)的条件．
故可设所求直线方程为y＝kx＋1，与两已知直线l1、l2分别交于A、B两点，联立方程
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组
??
??
?y＝kx＋1，
x－3y＋10＝0，①
??
??
?y＝kx＋1，
2x＋y－8＝0，②
由①解得xA＝73k－1，由②解得xB＝7k＋2.
∵点M平分线段AB，∴xA＋xB＝2xM，
即73k－1＋7k＋2＝0，解得k＝－14.
故所求直线方程为x＋4y－4＝0.
变式迁移2解(1)设直线l在x，y轴上的截距均为a，
若a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)，
∴l的方程为y＝23x，即2x－3y＝0.
若a≠0，则设l的方程为xa＋ya＝1，
∵l过点(3,2)，∴3a＋2a＝1，
∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0，
综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.
(2)由已知：设直线y＝3x的倾斜角为α，
则所求直线的倾斜角为2α.
∵tanα＝3，∴tan2α＝2tanα1－tan2α＝－34.
又直线经过点A(－1，－3)，
因此所求直线方程为y＋3＝－34(x＋1)，
即3x＋4y＋15＝0.
例3解题导引先设出A、B所在的直线方程，再求出A、B两点的坐标，表示出△ABO
的面积，然后利用相关的数学知识求最值．
确定直线方程可分为两个类型：一是根据题目条件确定点和斜率或确定两点，进而套用
直线方程的几种形式，写出方程，此法称直接法；二是利用直线在题目中具有的某些性质，
先设出方程(含参数或待定系数)，再确定参数值，然后写出方程，这种方法称为间接法．
解设直线的方程为xa＋yb＝1(a>2，b>1)，
由已知可得2a＋1b＝1.
(1)∵22a·1b≤2a＋1b＝1，∴ab≥8.
∴S△AOB＝12ab≥4.
当且仅当2a＝1b＝12，
即a＝4，b＝2时，S△AOB取最小值4，
此时直线l的方程为x4＋y2＝1，
即x＋2y－4＝0.
(2)由2a＋1b＝1，得ab－a－2b＝0，变形得(a－2)(b－1)＝2，
|PA|·|PB|
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＝?2－a?2＋?1－0?2·?2－0?2＋?1－b?2
＝[?2－a?2＋1]·[?1－b?2＋4]
≥2?a－2?·4?b－1?.
当且仅当a－2＝1，b－1＝2，
即a＝3，b＝3时，|PA|·|PB|取最小值4.
此时直线l的方程为x＋y－3＝0.
变式迁移3解如图所示建立直角坐标系，则E(30,0)，F(0,20)，
∴线段EF的方程为x30＋y20＝1(0≤x≤30)．
在线段EF上取点P(m，n)，
作PQ⊥BC于点Q，
PR⊥CD于点R，设矩形PQCR的面积为S，
则S＝|PQ||PR|＝(100－m)(80－n)．
又m30＋n20＝1(0≤m≤30)，
∴n＝20(1－m30)．
∴S＝(100－m)(80－20＋23m)
＝－23(m－5)2＋180503(0≤m≤30)．
∴当m＝5时，S有最大值，这时|EP||PF|＝30－55＝5.
所以当矩形草坪的两边在BC、CD上，一个顶点在线段EF上，且这个顶点分EF成5∶1
时，草坪面积最大．
例4解题导引解决这类问题的关键是弄清楚所求代数式的几何意义，借助数形结
合，将求最值问题转化为求斜率取值范围问题，简化了运算过程，收到事半功倍的效果．
解由y＋3x＋2的几何意义可知，它表示经过定点P(－2，－3)与曲线段AB上任一点(x，
y)的直线的斜率k，由图可知：
kPA≤k≤kPB，由已知可得：
A(1,1)，B(－1,5)，
∴43≤k≤8，
故y＋3x＋2的最大值为8，最小值为43.
变式迁移4C
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[如图，过点M作y轴的平行线与线段PQ相交于点N.
kMP＝5，kMQ＝－25.
当直线l从MP开始绕M按逆时针方向旋转到MN时，倾斜角在增大，斜率也在增大，
这时，k≥5.当直线l从MN开始逆时针旋转到MQ时，
∵正切函数在(π2，π)上仍为增函数，
∴斜率从－∞开始增加，增大到kMQ＝－25，
故直线l的斜率范围是(－∞，－25]∪[5，＋∞)．]
课后练习区
1．B2.B3.B4.C5.D
6．－27.[34π，π)8.x＋y－5＝0
9．解(1)当m＝－1时，
直线AB的斜率不存在；(1分)
当m≠－1时，k＝1m＋1.(3分)
(2)当m＝－1时，AB的方程为x＝－1，(5分)
当m≠－1时，AB的方程为y－2＝1m＋1(x＋1)，
即y＝xm＋1＋2m＋3m＋1.(7分)
∴直线AB的方程为x＝－1或y＝xm＋1＋2m＋3m＋1.
(8分)
(3)①当m＝－1时，α＝π2；
②当m≠－1时，
∵k＝1m＋1∈(－∞，－3]∪????33，＋∞，
∴α∈????π6，π2∪????π2，2π3.(10分)
综合①②，知直线AB的倾斜角
α∈????π6，2π3.(12分)
10.
解直线x＋my＋m＝0恒过A(0，－1)点．(2分)
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kAP＝－1－10＋1＝－2，
kAQ＝－1－20－2＝32，(5分)
则－1m≥32或－1m≤－2，
∴－23≤m≤12且m≠0.(9分)
又m＝0时直线x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，
∴所求m的范围是－23≤m≤12.(12分)
11．(1)证明直线l的方程是：k(x＋2)＋(1－y)＝0，
令
??
??
?x＋2＝0
1－y＝0，解之得???
??x＝－2
y＝1，
∴无论k取何值，直线总经过定点(－2,1)．(4分)
(2)解由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为－1＋2kk，在y轴上的截距为1＋2k，
要使直线不经过第四象限，则必须有
??
??
?－1＋2k
k≤－2
1＋2k≥1
，解之得k>0；(7分)
当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k≥0.(9分)
(3)解由l的方程，得A????－1＋2kk，0，
B(0,1＋2k)．依题意得
??
??
?－1＋2k
k<0，
1＋2k>0，
解得k>0.(11分)
∵S＝12·|OA|·|OB|
＝12·????1＋2kk·|1＋2k|
＝12·?1＋2k?
2
k＝
1
2?
???4k＋1k＋4≥1
2×(2×2＋4)＝4，
“＝”成立的条件是k>0且4k＝1k，
即k＝12，
∴Smin＝4，此时l：x－2y＋4＝0.(14分)
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