Gothedistance
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学案51椭圆
导学目标：1.了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问
题中的作用.2.掌握椭圆的定义，几何图形、标准方程及其简单几何性质．
自主梳理
1．椭圆的概念
在平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做
________．这两定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫________．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：
(1)若________，则集合P为椭圆；
(2)若________，则集合P为线段；
(3)若________，则集合P为空集．
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
x2
a2＋
y2
b2＝1
(a>b>0)
y2
a2＋
x2
b2＝1
(a>b>0)
图形
性
质
范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a
对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点
顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B
1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距|F1F2|＝2c
离心率e＝ca∈(0,1)
a，b，c
的关系c
2＝a2－b2
自我检测
1．已知△ABC的顶点B、C在椭圆x
2
3＋y
2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的
另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是()
A．23B．6C．43D．12
2．(2011·揭阳调研)“m>n>0”是方程“mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的()
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知椭圆x2sinα－y2cosα＝1(0≤α<2π)的焦点在y轴上，则α的取值范围是()
A.????3π4，πB.????π4，3π4
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C.????π2，πD.????π2，3π4
4．椭圆x
2
12＋
y2
3＝1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，
那么|PF1|是|PF2|的()
A．7倍B．5倍C．4倍D．3倍
5．(2011·开封模拟)椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点是(0,2)，那么k等于()
A．－1B．1C.5D．－5
探究点一椭圆的定义及应用
例1(教材改编)一动圆与已知圆O1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆O2：(x－3)2＋y2＝81
内切，试求动圆圆心的轨迹方程．
变式迁移1求过点A(2,0)且与圆x2＋4x＋y2－32＝0内切的圆的圆心的轨迹方程．
探究点二求椭圆的标准方程
例2求满足下列各条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴是短轴的3倍且经过点A(3,0)；
(2)经过两点A(0,2)和B????12，3.
变式迁移2(1)已知椭圆过(3,0)，离心率e＝63，求椭圆的标准方程；
(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(6，1)、P2(－3，－2)，
求椭圆的标准方程．
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探究点三椭圆的几何性质
例3(2011·安阳模拟)已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.
(1)求椭圆离心率的范围；
(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．
变式迁移3已知椭圆x
2
a2＋
y2
b2＝1(a>b>0)的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点
M(在x轴上方)向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，AB∥OM.
(1)求椭圆的离心率e；
(2)设Q是椭圆上任意一点，F1、F2分别是左、右焦点，求∠F1QF2的取值范围．
方程思想的应用
例(12分)(2011·北京朝阳区模拟)已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率
为12，且经过点M(1，32)，过点P(2,1)的直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B.
(1)求椭圆C的方程；
(2)是否存在直线l，满足PA→·PB→＝PM→2？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明
理由．
【答题模板】
解(1)设椭圆C的方程为x
2
a2＋
y2
b2＝1(a>b>0)，
由题意得
??
??
?1a2＋94b2＝1，
c
a＝
1
2，
a2＝b2＋c2.
解得a2＝4，b2＝3.故椭圆C的方程为x
2
4＋
y2
3＝1.[4分]
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(2)若存在直线l满足条件，由题意可设直线l的方程为y＝k(x－2)＋1，由
??
??
?x24＋y23＝1，
y＝k?x－2?＋1，
得(3＋4k2)x2－8k(2k－1)x＋16k2－16k－8＝0.[6分]
因为直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，
设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
所以Δ＝[－8k(2k－1)]2－4·(3＋4k2)·(16k2－16k－8)>0.
整理得32(6k＋3)>0，解得k>－12.[7分]
又x1＋x2＝8k?2k－1?3＋4k2，x1x2＝16k
2－16k－8
3＋4k2，
且PA→·PB→＝PM→2，
即(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝54，
所以(x1－2)(x2－2)(1＋k2)＝54，
即[x1x2－2(x1＋x2)＋4](1＋k2)＝54.[9分]
所以[16k
2－16k－8
3＋4k2－2×
8k?2k－1?
3＋4k2＋4](1＋k
2)＝4＋4k
2
3＋4k2＝
5
4，
解得k＝±12.[11分]
所以k＝12.于是存在直线l满足条件，
其方程为y＝12x.[12分]
【突破思维障碍】
直线与椭圆的位置关系主要是指公共点问题、相交弦问题及其他综合问题．反映在代数
上，就是直线与椭圆方程联立的方程组有无实数解及实数解的个数的问题，它体现了方程思
想的应用，当直线与椭圆相交时，要注意判别式大
于零这一隐含条件，它可以用来检验所求参数的值是否有意义，也可通过该不等式来求
参数的范围．对直线与椭圆的位置关系的考查往往结合平面向量进行求解，与向量相结合的
题目，大都与共线、垂直和夹角有关，若能转化为向量的坐标运算往往更容易实现解题功能，
所以在复习过程中要格外重视．
1．求椭圆的标准方程，除了直接根据定义外，常用待定系数法(先定性，后定型，再定
参)．当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设方程为x
2
m＋
y2
n＝1(m>0，
n>0且m≠n)，可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0且A≠B)，
这种形式在解题中更简便．
2．椭圆的几何性质分为两类：一是与坐标轴无关的椭圆本身固有的性质，如：长轴长、
短轴长、焦距、离心率等；另一类是与坐标系有关的性质，如：顶点坐标，焦点坐标等．第
一类性质是常数，不因坐标系的变化而变化，第二类性质是随坐标系变化而相应改变．
3．直线与椭圆的位置关系问题．它是高考的热点，通常涉及椭圆的性质、最值的求法
和直线的基础知识、线段的中点、弦长、垂直问题等，分析此类问题时，要充分利用数
形结合法、设而不求法、弦长公式及根与系数的关系去解决．
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(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2011·温州模拟)若△ABC的两个顶点坐标分别为A(－4,0)、B(4,0)，△ABC的周长为
18，则顶点C的轨迹方程为()
A.x
2
25＋
y2
9＝1(y≠0)B.
y2
25＋
x2
9＝1(y≠0)
C.x
2
16＋
y2
9＝1(y≠0)D.
y2
16＋
x2
9＝1(y≠0)
2．已知椭圆x
2
10－m＋
y2
m－2＝1，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于()
A．4B．5C．7D．8
3．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，
若△ABF2是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是()
A.32B.22C.2－1D.2
4．(2011·天门期末)已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，N(2,0)，
线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是()
A．圆B．椭圆
C．双曲线D．抛物线
5．椭圆x
2
25＋
y2
9＝1上一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|等于()
A．2B．4C．8D.32
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为32，且G上一点到G的
两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为______________．
7．(2011·唐山调研)椭圆x
2
9＋
y2
2＝1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|
＝________；∠F1PF2的大小为________．
8.
如图，已知点P是以F1、F2为焦点的椭圆x
2
a2＋
y2
b2＝1(a>b>0)上一点，若PF1⊥PF2，tan
∠PF1F2＝12，则此椭圆的离心率是______．
三、解答题(共38分)
9．(12分)已知方向向量为v＝(1，3)的直线l过点(0，－23)和椭圆C：x
2
a2＋
y2
b2＝1(a>b>0)
的右焦点，且椭圆的离心率为63.
(1)求椭圆C的方程；
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(2)若已知点D(3,0)，点M，N是椭圆C上不重合的两点，且DM→＝λDN→，求实数λ的取
值范围．
10．(12分)(2011·烟台模拟)椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，C
是AB的中点，若|AB|＝22，OC的斜率为22，求椭圆的方程．
11．(14分)(2010·福建)已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其
右焦点．
(1)求椭圆C的方程．
(2)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距
离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
学案51椭圆
自主梳理
1．椭圆焦点焦距(1)a>c(2)a＝c(3)a
自我检测
1．C2.C3.D4.A5.B
课堂活动区
例1解如图所示，设动圆的圆心为C，半径为r.
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则由圆相切的性质知，
|CO1|＝1＋r，|CO2|＝9－r，
∴|CO1|＋|CO2|＝10，
而|O1O2|＝6，
∴点C的轨迹是以O1、O2为焦点的椭圆，其中2a＝10,2c＝6，b＝4.
∴动圆圆心的轨迹方程为
x2
25＋
y2
16＝1.
变式迁移1解将圆的方程化为标准形式为：
(x＋2)2＋y2＝62，圆心B(－2,0)，r＝6.
设动圆圆心M的坐标为(x，y)，
动圆与已知圆的切点为C.
则|BC|－|MC|＝|BM|，
而|BC|＝6，
∴|BM|＋|CM|＝6.
又|CM|＝|AM|，
∴|BM|＋|AM|＝6>|AB|＝4.
∴点M的轨迹是以点B(－2,0)、A(2,0)为焦点、线段AB中点(0,0)为中心的椭圆．
a＝3，c＝2，b＝5.
∴所求轨迹方程为x
2
9＋
y2
5＝1.
例2解题导引确定一个椭圆的标准方程，必须要有一个定位条件(即确定焦点的位
置)和两个定形条件(即确定a，b的大小)．当焦点的位置不确定时，应设椭圆的标准方程为x
2
a2
＋y
2
b2＝1(a>b>0)或
y2
a2＋
x2
b2＝1(a>b>0)，或者不必考虑焦点位置，直接设椭圆的方程为mx
2＋
ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n)．
解(1)若椭圆的焦点在x轴上，
设方程为x
2
a2＋
y2
b2＝1(a>b>0)．
∵椭圆过点A(3,0)，∴9a2＝1，
∴a＝3，又2a＝3·2b，∴b＝1，∴方程为x
2
9＋y
2＝1.
若椭圆的焦点在y轴上，设方程为y
2
a2＋
x2
b2＝1(a>b>0)．
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∵椭圆过点A(3,0)，∴9b2＝1，
∴b＝3，又2a＝3·2b，
∴a＝9，∴方程为y
2
81＋
x2
9＝1.
综上可知椭圆的方程为x
2
9＋y
2＝1或y
2
81＋
x2
9＝1.
(2)设经过两点A(0,2)，B????12，3的椭圆标准方程为mx2＋ny2＝1，将A，B坐标代入方
程得
??
??
?4n＝1
1
4m＋3n＝1
?
??
??
?m＝1
n＝14，∴所求椭圆方程为x
2＋y
2
4＝1.
变式迁移2解(1)当椭圆的焦点在x轴上时，∵a＝3，ca＝63，∴c＝6，从而b2＝
a2－c2＝9－6＝3，
∴椭圆的标准方程为x
2
9＋
y2
3＝1.
当椭圆的焦点在y轴上时，
∵b＝3，ca＝63，∴a
2－b2
a＝
6
3，∴a
2＝27.
∴椭圆的标准方程为x
2
9＋
y2
27＝1.
∴所求椭圆的标准方程为x
2
9＋
y2
3＝1或
x2
9＋
y2
27＝1.
(2)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)．
∵椭圆经过P1、P2点，∴P1、P2点坐标适合椭圆方程，
则
??
??
?6m＋n＝1，①
3m＋2n＝1，②
①②两式联立，解得
??
?m＝19，
n＝13.
∴所求椭圆方程为x
2
9＋
y2
3＝1.
例3解题导引(1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与
焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a、c的关
系．
(2)对△F1PF2的处理方法
??
??
?定义式的平方
余弦定理
面积公式
?
??
??
??|PF1|＋|PF2|?2＝?2a?2，4c2＝|PF
1|
2＋|PF
2|
2－2|PF
1||PF2|cosθ，
S△＝12|PF1||PF2|sinθ.
(1)解设椭圆方程为x
2
a2＋
y2
b2＝1(a>b>0)，
|PF1|＝m，|PF2|＝n.
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在△PF1F2中，由余弦定理可知，
4c2＝m2＋n2－2mncos60°.
∵m＋n＝2a，∴m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝4a2－2mn.
∴4c2＝4a2－3mn，即3mn＝4a2－4c2.
又mn≤????m＋n22＝a2(当且仅当m＝n时取等号)，
∴4a2－4c2≤3a2.∴c
2
a2≥
1
4，即e≥
1
2.
∴e的取值范围是????12，1.
(2)证明由(1)知mn＝43b2，∴S△PF1F2＝12mnsin60°＝33b2，
即△PF1F2的面积只与短轴长有关．
变式迁移3解(1)∵F1(－c,0)，则xM＝－c，yM＝b
2
a，
∴kOM＝－b
2
ac.∵kAB＝－
b
a，OM∥AB，
∴－b
2
ac＝－
b
a，∴b＝c，故e＝
c
a＝
2
2.
(2)设|F1Q|＝r1，|F2Q|＝r2，∠F1QF2＝θ，
∴r1＋r2＝2a，|F1F2|＝2c，
cosθ＝r
2
1＋r
2
2－4c
2
2r1r2＝
?r1＋r2?2－2r1r2－4c2
2r1r2
＝a
2
r1r2－1≥
a2
?r1＋r22?2
－1＝0，
当且仅当r1＝r2时，cosθ＝0，∴θ∈[0，π2]．
课后练习区
1．A2.D3.C4.B5.B
6.x
2
36＋
y2
9＝17.2120°8.
5
3
9．解(1)∵直线l的方向向量为v＝(1，3)，
∴直线l的斜率为k＝3.
又∵直线l过点(0，－23)，
∴直线l的方程为y＋23＝3x.
∵a>b，∴椭圆的焦点为直线l与x轴的交点．
∴c＝2.又∵e＝ca＝63，∴a＝6.∴b2＝a2－c2＝2.
∴椭圆方程为x
2
6＋
y2
2＝1.(6分)
(2)若直线MN⊥y轴，则M、N是椭圆的左、右顶点，
λ＝3＋63－6或λ＝3－63＋6，即λ＝5＋26或5－26.
若MN与y轴不垂直，设直线MN的方程为x＝my＋3(m≠0)．由
??
??
?x26＋y22＝1，
x＝my＋3
得(m2
＋3)y2＋6my＋3＝0.
设M、N坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
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则y1＋y2＝－6mm2＋3，①
y1y2＝3m2＋3，②
Δ＝36m2－12(m2＋3)＝24m2－36>0，∴m2>32.
∵DM→＝(x1－3，y1)，DN→＝(x2－3，y2)，DM→＝λDN→，显然λ>0，且λ≠1，
∴(x1－3，y1)＝λ(x2－3，y2)．∴y1＝λy2.
代入①②，得λ＋1λ＝12m
2
m2＋3－2＝10－
36
m2＋3.
∵m2>32，得2<λ＋1λ<10，即
??
??
?λ2－2λ＋1>0，
λ2－10λ＋1<0，
解得5－26<λ<5＋26且λ≠1.
综上所述，λ的取值范围是5－26≤λ≤5＋26，
且λ≠1.(12分)
10．解方法一设A(x1，y1)、B(x2，y2)，
代入椭圆方程并作差得
a(x1＋x2)(x1－x2)＋b(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
而y1－y2x
1－x2
＝－1，y1＋y2x
1＋x2
＝kOC＝22，
代入上式可得b＝2a.(4分)
由方程组
??
??
?ax2＋by2＝1
x＋y－1＝0，得(a＋b)x
2－2bx＋b－1＝0，
∴x1＋x2＝2ba＋b，x1x2＝b－1a＋b，
再由|AB|＝1＋k2|x2－x1|＝2|x2－x1|＝22，
得????2ba＋b2－4·b－1a＋b＝4，(8分)
将b＝2a代入得a＝13，∴b＝23.
∴所求椭圆的方程是x
2
3＋
2y2
3＝1.(12分)
方法二由
??
??
?ax2＋by2＝1，
x＋y＝1
得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0.(2分)
设A(x1，y1)、B(x2，y2)，
则|AB|＝?k2＋1??x1－x2?2＝2·4b
2－4?a＋b??b－1?
?a＋b?2.
∵|AB|＝22，∴a＋b－aba＋b＝1.①(6分)
设C(x，y)，则x＝x1＋x22＝ba＋b，y＝1－x＝aa＋b，
∵OC的斜率为22，∴ab＝22.(9分)
代入①，得a＝13，b＝23.
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∴椭圆方程为x
2
3＋
2y2
3＝1.(12分)
11．解方法一(1)依题意，可设椭圆C的方程为x
2
a2＋
y2
b2＝1(a>b>0)，且可知其左焦点
为F′(－2,0)．
从而有
??
??
?c＝2，
2a＝|AF|＋|AF′|＝3＋5＝8，
解得
??
??
?c＝2，
a＝4.又a
2＝b2＋c2，所以b2＝12，
故椭圆C的方程为x
2
16＋
y2
12＝1.(5分)
(2)假设存在符合题意的直线l，设其方程为y＝32x＋t.
由
??
?y＝32x＋t，
x2
16＋
y2
12＝1，
得3x2＋3tx＋t2－12＝0.(7分)
因为直线l与椭圆C有公共点，
所以Δ＝(3t)2－4×3×(t2－12)≥0，
解得－43≤t≤43.(9分)
另一方面，由直线OA与l的距离d＝4，
得|t|9
4＋1
＝4，解得t＝±213.(12分)
由于±213?[－43，43]，所以符合题意的直线l不存在．(14分)
方法二(1)依题意，可设椭圆C的方程为x
2
a2＋
y2
b2＝1(a>b>0)，
且有
??
??
?4a2＋9b2＝1，
a2－b2＝4.
解得b2＝12或b2＝－3(舍去)．
从而a2＝16.(3分)
所以椭圆C的方程为x
2
16＋
y2
12＝1.(5分)
(2)同方法一．
|
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