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学案53抛物线
导学目标：1.掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质.2.
理解数形结合的思想．
自主梳理
1．抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l(F?l)距离______的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做
抛物线的__________，直线l叫做抛物线的________．
2．抛物线的标准方程与几何性质
标准方程
y2＝2px
(p>0)
y2＝－2px
(p>0)
x2＝2py
(p>0)
x2＝－2py
(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点O(0,0)
对称轴y＝0x＝0
焦点F(p2，0)F(－p2，0)F(0，p2)F(0，－p2)
离心率e＝1
准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2
范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R
开口方向向右向左向上向下
自我检测
1．(2010·四川)抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是()
A．1B．2C．4D．8
2．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆x
2
6＋
y2
2＝1的右焦点重合，则p的值为()
A．－2B．2C．－4D．4
3．(2011·陕西)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是()
A．y2＝－8xB．y2＝8x
C．y2＝－4xD．y2＝4x
4．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物
线上，且2x2＝x1＋x3，则有()
A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3|
B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2
C．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|
D．|FP2|2＝|FP1|·|FP3|
5．(2011·佛山模拟)已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过该抛物线焦点F且不与x轴垂
直的直线AB交抛物线于A、B两点，过点A、点B分别作AM、BN垂直于抛物线的准线，
分别交准线于M、N两点，那么∠MFN必是()
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A．锐角B．直角
C．钝角D．以上皆有可能
探究点一抛物线的定义及应用
例1已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|
＋|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标．
变式迁移1已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛
物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为()
A.????14，－1B.????14，1
C．(1,2)D．(1，－2)
探究点二求抛物线的标准方程
例2(2011·芜湖调研)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，
－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程．
变式迁移2根据下列条件求抛物线的标准方程：
(1)抛物线的焦点F是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；
(2)过点P(2，－4)．
探究点三抛物线的几何性质
例3过抛物线y2＝2px的焦点F的直线和抛物线相交于A，B两点，如图所示．
(1)若A，B的纵坐标分别为y1，y2，求证：y1y2＝－p2；
(2)若直线AO与抛物线的准线相交于点C，求证：BC∥x轴．
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变式迁移3已知AB是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，
B(x2，y2)．求证：
(1)x1x2＝p
2
4；
(2)1|AF|＋1|BF|为定值．
分类讨论思想的应用
例(12分)过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的直线交抛物线于A、B两点，过B点作其
准线的垂线，垂足为D，设O为坐标原点，问：是否存在实数λ，使AO→＝λOD→？
多角度审题这是一道探索存在性问题，应先假设存在，设出A、B两点坐标，从而
得到D点坐标，再设出直线AB的方程，利用方程组和向量条件求出λ.
【答题模板】
解假设存在实数λ，使AO→＝λOD→.
抛物线方程为y2＝2px(p>0)，
则F????p2，0，准线l：x＝－p2，
(1)当直线AB的斜率不存在，即AB⊥x轴时，
交点A、B坐标不妨设为：A????p2，p，B????p2，－p.
∵BD⊥l，∴D????－p2，－p，
∴AO→＝????－p2，－p，OD→＝????－p2，－p，∴存在λ＝1使AO→＝λOD→.[4分]
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(2)当直线AB的斜率存在时，
设直线AB的方程为y＝k????x－p2(k≠0)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则D????－p2，y2，x1＝y
2
1
2p，x2＝
y22
2p，
由
??
??
?y＝k????x－p2
y2＝2px
得ky2－2py－kp2＝0，∴y1y2＝－p2，∴y2＝－p
2
y1，[8分]
AO→＝(－x1，－y1)＝????－y
2
1
2p，－y1，OD
→＝
????－
p
2，y2＝????－
p
2，－
p2
y1，
假设存在实数λ，使AO→＝λOD→，则
?
??
－y
2
1
2p＝－
p
2λ
－y1＝－p
2
y1λ
，解得λ＝y
2
1
p2，∴存在实数λ＝
y21
p2，
使AO→＝λOD→.
综上所述，存在实数λ，使AO→＝λOD→.[12分]
【突破思维障碍】
由抛物线方程得其焦点坐标和准线方程，按斜率存在和不存在讨论，由直线方程和抛物
线方程组成方程组，研究A、D两点坐标关系，求出AO→和OD→的坐标，判断λ是否存在．
【易错点剖析】
解答本题易漏掉讨论直线AB的斜率不存在的情况，出现错误的原因是对直线的点斜式
方程认识不足．
1．关于抛物线的定义
要注意点F不在定直线l上，否则轨迹不是抛物线，而是一条直线．
2．关于抛物线的标准方程
抛物线的标准方程有四种不同的形式，这四种标准方程的联系与区别在于：
(1)p的几何意义：参数p是焦点到准线的距离，所以p恒为正数．
(2)方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物
线的开口方向．
3．关于抛物线的几何性质
抛物线的几何性质，只要与椭圆、双曲线加以对照，很容易把握，但由于抛物线的离心
率等于1，所以抛物线的焦点弦具有很多重要性质，而且应用广泛．例如：
已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A、B两点，设A(x1，y1)，B(x2，
y2)，则有下列性质：|AB|＝x1＋x2＋p或|AB|＝2psin2α(α为AB的倾斜角)，y1y2＝－p2，x1x2
＝p
2
4等．
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2011·大纲全国)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B
两点，则cos∠AFB等于()
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A.45B.35
C．－35D．－45
2．(2011·湖北)将两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正
三角形个数记为n，则()
A．n＝0B．n＝1
C．n＝2D．n≥3
3．已知抛物线y2＝2px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是()
A．相离B．相交C．相切D．不确定
4．(2011·泉州月考)已知点A(－2,1)，y2＝－4x的焦点是F，P是y2＝－4x上的点，为
使|PA|＋|PF|取得最小值，则P点的坐标是()
A.????－14，1B．(－2,22)
C.????－14，－1D．(－2，－22)
5．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若OA→·AF→＝－4，
则点A的坐标为()
A．(2，±2)B．(1，±2)
C．(1,2)D．(2，2)
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．(2011·重庆)设圆C位于抛物线y2＝2x与直线x＝3所围成的封闭区域(包含边界)内，
则圆C的半径能取到的最大值为________．
7．(2011·济宁期末)已知A、B是抛物线x2＝4y上的两点，线段AB的中点为M(2,2)，
则|AB|＝________.
8．(2010·浙江)设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(0，2)．若线段FA的中点B在
抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y＝2x＋1所得的弦长为15，
求抛物线方程．
10．(12分)(2011·韶关模拟)已知抛物线C：x2＝8y.AB是抛物线C的动弦，且AB过F(0,2)，
分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q，证明：AQ⊥BQ.
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11．(14分)(2011·济南模拟)已知定点F(0,1)和直线l1：y＝－1，过定点F与直线l1相切
的动圆圆心为点C.
(1)求动点C的轨迹方程；
(2)过点F的直线l2交轨迹C于两点P、Q，交直线l1于点R，求RP→·RQ→的最小值．
学案53抛物线
自主梳理
1．相等焦点准线
自我检测
1．C
2．B[因为抛物线的准线方程为x＝－2，所以p2＝2，所以p＝4，所以抛物线的方程是
y2＝8x.所以选B.]
3．B4.C5.B
课堂活动区
例1解题导引重视定义在解题中的应用，灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离
与到准线距离的等价转化，是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．
解
将x＝3代入抛物线方程
y2＝2x，得y＝±6.
∵6>2，∴A在抛物线内部．
设抛物线上点P到准线l：
x＝－12的距离为d，由定义知
|PA|＋|PF|＝|PA|＋d，
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当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为72，
即|PA|＋|PF|的最小值为72，
此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，
∴点P坐标为(2,2)．
变式迁移1A[
点P到抛物线焦点的距离等于点P到抛物线准线的距离，如图，|PF|＋|PQ|＝|PS|＋|PQ|，
故最小值在S，P，Q三点共线时取得，此时P，Q的纵坐标都是－1，点P的坐标为????14，－1.]
例2解题导引(1)求抛物线方程时，若由已知条件可知所求曲线是抛物线，一般用
待定系数法．若由已知条件可知所求曲线的动点的轨迹，一般用轨迹法；
(2)待定系数法求抛物线方程时既要定位(即确定抛物线开口方向)，又要定量(即确定参
数p的值)．解题关键是定位，最好结合图形确定方程适合哪种形式，避免漏解；
(3)解决抛物线相关问题时，要善于用定义解题，即把|PF|转化为点P到准线的距离，这
种“化斜为直”的转化方法非常有效，要注意领会和运用．
解方法一设抛物线方程为
x2＝－2py(p>0)，
则焦点为F????0，－p2，准线方程为y＝p2.
∵M(m，－3)在抛物线上，且|MF|＝5，
∴
??
??
?m2＝6p，
m2＋????－3＋p22＝5，解得??
?p＝4，
m＝±26.
∴抛物线方程为x2＝－8y，m＝±26，
准线方程为y＝2.
方法二如图所示，
设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，
则焦点F????0，－p2，
准线l：y＝p2，作MN⊥l，垂足为N.
则|MN|＝|MF|＝5，而|MN|＝3＋p2，
∴3＋p2＝5，∴p＝4.∴抛物线方程为x2＝－8y，
准线方程为y＝2.由m2＝(－8)×(－3)，得m＝±26.
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变式迁移2解(1)双曲线方程化为x
2
9－
y2
16＝1，
左顶点为(－3,0)，由题意设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)且－p2＝－3，∴p＝6.∴方程
为y2＝－12x.
(2)由于P(2，－4)在第四象限且对称轴为坐标轴，可设方程为y2＝mx(m>0)或x2＝ny
(n<0)，代入P点坐标求得m＝8，n＝－1，
∴所求抛物线方程为y2＝8x或x2＝－y.
例3解题导引解决焦点弦问题时，抛物线的定义有着广泛的应用，而且还应注意
焦点弦的几何性质．焦点弦有以下重要性质(AB为焦点弦，以y2＝2px(p>0)为例)：
①y1y2＝－p2，x1x2＝p
2
4；
②|AB|＝x1＋x2＋p.
证明(1)方法一由抛物线的方程可得焦点坐标为F????p2，0.设过焦点F的直线交抛物
线于A，B两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)．
①当斜率存在时，过焦点的直线方程可设为
y＝k????x－p2，由
??
??
?y＝k????x－p2，
y2＝2px，
消去x，得ky2－2py－kp2＝0.()
当k＝0时，方程()只有一解，∴k≠0，
由韦达定理，得y1y2＝－p2；
②当斜率不存在时，得两交点坐标为
????
p
2，p，????
p
2，－p，∴y1y2＝－p
2.
综合两种情况，总有y1y2＝－p2.
方法二由抛物线方程可得焦点F????p2，0，设直线AB的方程为x＝ky＋p2，并设A(x1，
y1)，B(x2，y2)，
则A、B坐标满足
??
??
?x＝ky＋p2，
y2＝2px，
消去x，可得y2＝2p????ky＋p2，
整理，得y2－2pky－p2＝0，∴y1y2＝－p2.
(2)直线AC的方程为y＝y1x
1
x，
∴点C坐标为????－p2，－py12x
1
，yC＝－py12x
1
＝－p
2y
1
2px1.
∵点A(x1，y1)在抛物线上，∴y21＝2px1.
又由(1)知，y1y2＝－p2，∴yC＝y1y2·y1y2
1
＝y2，∴BC∥x轴．
变式迁移3证明(1)∵y2＝2px(p>0)的焦点F????p2，0，设直线方程为y＝k????x－p2
(k≠0)，
由
??
??
?y＝k????x－p2
y2＝2px
，消去x，得ky2－2py－kp2＝0.
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∴y1y2＝－p2，x1x2＝?y1y2?
2
4p2＝
p2
4，
当k不存在时，直线方程为x＝p2，这时x1x2＝p
2
4.
因此，x1x2＝p
2
4恒成立．
(2)1|AF|＋1|BF|＝1
x1＋p2
＋1
x2＋p2
＝x1＋x2＋p
x1x2＋p2?x1＋x2?＋p
2
4
.
又∵x1x2＝p
2
4，代入上式得
1
|AF|＋
1
|BF|＝
2
p＝常数，
所以1|AF|＋1|BF|为定值．
课后练习区
1．D[方法一由
??
??
?y＝2x－4，
y2＝4x，得???
??x＝1，
y＝－2或???
??x＝4，
y＝4.
令B(1，－2)，A(4,4)，又F(1,0)，
∴由两点间距离公式得|BF|＝2，|AF|＝5，|AB|＝35.
∴cos∠AFB＝|BF|
2＋|AF|2－|AB|2
2|BF|·|AF|＝
4＋25－45
2×2×5
＝－45.
方法二由方法一得A(4,4)，B(1，－2)，F(1,0)，
∴FA→＝(3,4)，FB→＝(0，－2)，
∴|FA→|＝32＋42＝5，|FB→|＝2.
∴cos∠AFB＝FA
→·FB→
|FA→|·|FB→|
＝3×0＋4×?－2?5×2＝－45.]
2．C[
如图所示，A，B两点关于x轴对称，F点坐标为(p2，0)，设A(m，2pm)(m>0)，则由
抛物线定义，
|AF|＝|AA1|，
即m＋p2＝|AF|.
又|AF|＝|AB|＝22pm，
∴m＋p2＝22pm，整理，得m2－7pm＋p
2
4＝0，①
∴Δ＝(－7p)2－4×p
2
4＝48p
2>0，
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∴方程①有两相异实根，记为m1，m2，且m1＋m2＝7p>0，m1·m2＝p
2
4>0，
∴m1>0，m2>0，∴n＝2.]
3．C
4．A[过P作PK⊥l(l为抛物线的准线)于K，则|PF|＝|PK|，
∴|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PK|.
∴当P点的纵坐标与A点的纵坐标相同时，|PA|＋|PK|最小，此时P点的纵坐标为1，
把y＝1代入y2＝－4x，得x＝－14，即当P点的坐标为????－14，1时，|PA|＋|PF|最小．]
5．B
6.6－1
解析如图所示，若圆C的半径取到最大值，需圆与抛物线及直线x＝3同时相切，设
圆心的坐标为(a,0)(a<3)，则圆的方程为(x－a)2＋y2＝(3－a)2，与抛物线方程y2＝2x联立得
x2＋(2－2a)x＋6a－9＝0，由判别式Δ＝(2－2a)2－4(6a－9)＝0，得a＝4－6，故此时半径
为3－(4－6)＝6－1.
7．42
解析由题意可设AB的方程为y＝kx＋m，与抛物线方程联立得x2－4kx－4m＝0，线
段AB中点坐标为(2,2)，x1＋x2＝4k＝4，得k＝1.
又∵y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝4，
∴m＝0.从而直线AB：y＝x，|AB|＝2|OM|＝42.
8.324
解析抛物线的焦点F的坐标为????p2，0，线段FA的中点B的坐标为????p4，1，代入抛物
线方程得1＝2p×p4，解得p＝2，故点B的坐标为????24，1，故点B到该抛物线准线的距离
为24＋22＝324.
9．解设直线和抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
(1)当抛物线开口向右时，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则
??
??
?y2＝2px
y＝2x＋1，消去y得，
4x2－(2p－4)x＋1＝0，
∴x1＋x2＝p－22，x1x2＝14，(4分)
∴|AB|＝1＋k2|x1－x2|
＝5·?x1＋x2?2－4x1x2
＝5·????p－222－4×14＝15，(7分)
则p
2
4－p＝3，p
2－4p－12＝0，解得p＝6(p＝－2舍去)，
抛物线方程为y2＝12x.(9分)
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(2)当抛物线开口向左时，设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，仿(1)不难求出p＝2，
此时抛物线方程为y2＝－4x.(11分)
综上可得，
所求的抛物线方程为y2＝－4x或y2＝12x.(12分)
10．证明因为直线AB与x轴不垂直，
设直线AB的方程为y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由
??
??
?y＝kx＋2，
y＝18x2，
可得x2－8kx－16＝0，x1＋x2＝8k，x1x2＝－16.(4分)
抛物线方程为y＝18x2，求导得y′＝14x.(7分)
所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是
k1＝14x1，k2＝14x2，k1k2＝14x1·14x2
＝116x1·x2＝－1.(10分)
所以AQ⊥BQ.(12分)
11．解(1)由题设点C到点F的距离等于它到l1的距离，
所以点C的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线，
∴所求轨迹的方程为x2＝4y.(5分)
(2)由题意直线l2的方程为y＝kx＋1，与抛物线方程联立消去y得x2－4kx－4＝0.
记P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.(8分)
因为直线PQ的斜率k≠0，易得点R的坐标为????－2k，－1.(9分)
RP→·RQ→＝????x1＋2k，y1＋1·????x2＋2k，y2＋1
＝????x1＋2k????x2＋2k＋(kx1＋2)(kx2＋2)
＝(1＋k2)x1x2＋????2k＋2k(x1＋x2)＋4k2＋4
＝－4(1＋k2)＋4k????2k＋2k＋4k2＋4
＝4????k2＋1k2＋8，(11分)
∵k2＋1k2≥2，当且仅当k2＝1时取到等号．
RP→·RQ→≥4×2＋8＝16，即RP→·RQ→的最小值为16.(14分)
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