Gothedistance
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学案57用样本估计总体
导学目标：1.了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率
折线图、茎叶图，理解它们各自的特点.2.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标
准差.3.能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并给出合理的解释.4.会用
样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用
样本估计总体的思想.5.会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实
际问题．
自主梳理
1．在频率分布直方图中，纵轴表示__________________，数据落在各小组内的频率用
________________表示，所有长方形面积之和________．
2．作频率分布直方图的步骤
(1)求极差(即一组数据中________与________的差)；
(2)决定________与________；
(3)将数据________；
(4)列________________；
(5)画________________．
3．频率分布折线图和总体密度曲线
(1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的________，就得频率分
布折线图．
(2)总体密度曲线：随着__________的增加，作图时____________增加，组距减小，相
应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线．
4．当样本数据较少时，茎叶图表示数据的效果较好，一是统计图上没有原始数据丢失，
二是方便记录与表示，但茎叶图一般只便于表示两位有效数字的数据．
5．众数、中位数、平均数
(1)在一组数据中，出现次数________的数据叫做这组数据的众数．
(2)将一组数据按大小依次排列，把处在________位置的一个数据(或中间两个数据的平
均数)叫做这组数据的中位数．
(3)如果有n个数x1，x2，……，xn，那么x＝____________叫做这n个数的平均数．
6．标准差和方差
(1)标准差是样本数据到平均数的一种____________．
(2)标准差：s＝________________________.
(3)方差：s2＝________________________________(xn是样本数据，n是样本容量，x是
样本平均数)．
自我检测
1．在抽查产品的尺寸过程中，将其尺寸分成若干组，[a，b)是其中的一组，抽查出的
个体在该组上的频率为m，该组在频率分布直方图的高为h，则|a－b|等于()
A．hmB.hmC.mhD．h＋m
2．(2010·福建)若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据
的中位数和平均数分别是()
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A.91.5和91.5B．91.5和92
C．91和91.5D．92和92
3．(2011·滨州模拟)在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长
方形的面积等于其他10个小长方形的面积和的14，且样本容量为160，则中间一组的频数为
()
A．32B．0.2C．40D．0.25
4．(2010·山东)样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则
样本方差为()
A.65B.65C.2D．2
5．(2010·江苏)某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽测了100根棉花纤维的长
度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标)，所得数据均在区间[5,40]中，其频率分布直方
图如图所示，则在抽测的100根中，有______根棉花纤维的长度小于20mm.
探究点一频率分布直方图
例1(2011·福州调研)如图是某市有关部门根据该市干部的月收入情况，作抽样调查
后画出的样本频率分布直方图，已知图中第一组的频数为4000，请根据该图提供的信息解
答下列问题：(图中每组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000,1500))
(1)求样本中月收入在[2500,3500)的人数；
(2)为了分析干部的收入与年龄、职业等方面的关系，必须从样本的各组中按月收入再
用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[1500,2000)的这段应抽多少人？
(3)试估计样本数据的中位数．
变式迁移1为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视
力情况，得到频率分布直方图如图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组频数成等比数
列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，则a，
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b值分别为()
A．0.27,78B．0.27,83
C．2.7,78D．2.7,83
探究点二用样本数字特征估计总体数字特征
例2甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如表所
示：
甲的成绩
环数78910
频数5555
乙的成绩
环数78910
频数6446
丙的成绩
环数78910
频数4664
s1、s2、s3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有()
A．s3>s1>s2B．s2>s1>s3
C．s1>s2>s3D．s2>s3>s1
变式迁移2甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，
成绩如下表(单位：环)：
甲108999
乙1010799
如果甲、乙两人中只有1人入选，则入选的最佳人选应是________．
探究点三用茎叶图分析数据
例3随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身
高数据的茎叶图如图．
(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；
(2)计算甲班的样本方差；
(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm
的同学被抽中的概率．
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变式迁移3(2011·汉沽模拟)某班甲、乙两学生的高考备考成绩如下：
甲：512554528549536556534541522538
乙：515558521543532559536548527531
(1)用茎叶图表示两学生的成绩；
(2)分别求两学生成绩的中位数和平均分．
1．几种表示频率分布的方法的优点与不足：
(1)频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，分析数据分布的总体态势
不太方便．
(2)频率分布直方图能够很容易地表示大量数据，非常直观地表明分布的形状，使我们
能够看到在分布表中看不清楚的数据模式．但从直方图本身得不出原始的数据内容，也
就是说，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了．
(3)频率分布折线图的优点是它反映了数据的变化趋势，如果样本容量不断增大，分组
的组距不断缩小，那么折线图就趋向于总体分布的密度曲线．
(4)用茎叶图优点是原有信息不会抹掉，能够展示数据的分布情况，但当样本数据较多
或数据位数较多时，茎叶图就显得不太方便了．
2．标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的
离散程度越大，标准差、方差越小，数据的离散程度越小，因为方差与原始数据的单位
不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散
程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2010·陕西)如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为
xA和xB，样本标准差分别为sA和sB，则()
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A.xA>xB，sA>sBB.xAsB
C.xA>xB，sA
2．(2011·宁波期末)10名工人某天生产同一种零件，生产的件数分别是
15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有()
A．a>b>cB．b>c>aC．c>a>bD．c>b>a
3．(2011·金华十校模拟)为了了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名
高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图，由于不慎将部分数据丢失，但知道后五组
频数和为62，设视力在4.6到4.8之间的学生数为a，最大频率为0.32，则a的值为()
A．64B．54C．48D．27
4．下图是某学校举行的运动会上，七位评委为某体操项目打出的分数的茎叶统计图，
去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为()
A．84,4.84B．84,1.6
C．85,1.6D．85,4
5．(2011·四川)有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：
[11.5,15.5)2[15.5,19.5)4[19.5,23.5)9
[23.5,27.5)18[27.5,31.5)11[31.5,35.5)12
[35.5,39.5)7[39.5,43.5)3
根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5,43.5)的概率约是()
A.16B.13
C.12D.23
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．(2010·天津)甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图，中间一
列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天甲、乙两
人日加工零件的平均数分别为______和_________________________．
7．(2010·福建)将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图，若第一组
至第六组数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等
于________．
8．(2011·江苏)某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10,6,8,5,6，则该组数据的
方差s2＝________.
三、解答题(共38分)
9．(12分)甲、乙两人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图所示．
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(1)分别求出两人得分的平均数与方差；
(2)根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价．
10．(12分)(2010·湖北)为了了解一个小水库中养殖的鱼的有关情况，从这个水库中多个
不同位置捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量(单位：kg)，并将所得数据分组，画出频率分
布直方图(如图所示)．
(1)在下面表格中填写相应的频率；
分组频率
[)1.00，1.05
[)1.05，1.10
[)1.10，1.15
[)1.15，1.20
[)1.20，1.25
[)1.25，1.30
(2)估计数据落在[)1.15，1.30中的概率为多少；
(3)将上面捕捞的100条鱼分别作一记号后再放回水库．几天后再从水库的多处不同位
置捕捞出120条鱼，其中带有记号的鱼有6条．请根据这一情况来估计该水库中鱼的总条数．
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11．(14分)(2010·安徽)某市2010年4月1日－4月30日对空气污染指数的监测数据如
下(主要污染物为可吸入颗粒物)：
61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95，
91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45.
(1)完成频率分布表．
(2)作出频率分布直方图．
(3)根据国家标准，污染指数在0～50之间时，空气质量为优；在51～100之间时，为
良；在101～150之间时，为轻微污染；在151～200之间时，为轻度污染．
请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价．
学案57用样本估计总体
自主梳理
1．频率与组距的比值小长方形的面积等于12.(1)最大值最小值(2)组距组
数(3)分组(4)频率分布表(5)频率分布直方图3.(1)中点(2)样本容量所分的组数
5.(1)最多(2)中间(3)x1＋x2＋…＋xnn6.(1)平均距离
(2)1n[?x1－x?2＋?x2－x?2＋…＋?xn－x?2]
(3)1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]
自我检测
1．C2.A3.A4.D
5．30
课堂活动区
例1解题导引(1)解关于图形信息题的关键是正确理解各种统计图表中各个量的含
义，灵活运用这些信息和数据去发现结论．
(2)在频率分布直方图中，最高矩形的中点对应值是众数；而中位数的左右两边的直方
图面积相等；平均数是直方图的“重心”．
解(1)∵月收入在[1000,1500)的概率为0.0008×500＝0.4，且有4000人，
∴样本的容量n＝40000.4＝10000；
月收入在[1500,2000)的频率为0.0004×500＝0.2；
月收入在[2000,2500)的频率为0.0003×500＝0.15；
月收入在[3500,4000)的频率为0.0001×500＝0.05.
∴月收入在[2500,3500)的频率为
1－(0.4＋0.2＋0.15＋0.05)＝0.2.
∴样本中月收入在[2500,3500)的人数为
0．2×10000＝2000.
(2)∵月收入在[1500,2000)的人数为
0.2×10000＝2000，
∴再从10000人中用分层抽样方法抽出100人，
则月收入在[1500,2000)的这段应抽取100×200010000＝20(人)．
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(3)由(1)知月收入在[1000,2000)的频率为0.4＋0.2＝0.6>0.5，
∴样本数据的中位数为
1500＋0.5－0.40.0004＝1500＋250＝1750(元)．
变式迁移1A[由频率分布直方图知组距为0.1.
4．3～4.4间的频数为100×0.1×0.1＝1.
4．4～4.5间的频数为100×0.1×0.3＝3.
又前4组的频数成等比数列，∴公比为3.
从而4.6～4.7间的频数最大，且为1×33＝27.
∴a＝0.27.
根据后6组频数成等差数列，且共有100－13＝87(人)．
设公差为d，则6×27＋6×52d＝87.
∴d＝－5，从而b＝4×27＋4×32×(－5)＝78.]
例2B[由已知可得甲、乙、丙的平均成绩均为8.5.
方法一∵s21＝1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]，
∴s1＝
1
20[5×?7－8.5?
2＋5×?8－8.5?2＋5×?9－8.5?2＋5×?10－8.5?2]
＝2520.
同理s2＝2920，s3＝2120，∴s2>s1>s3.
方法二∵s21＝1n(x21＋x22＋…＋x2n)－x2，
∴s21＝120(5×72＋5×82＋5×92＋5×102)－8.52＝73.5－72.25＝1.25＝54，
∴s1＝2520.同理s2＝2920，s3＝2120，
∴s2>s1>s3.]
变式迁移2甲
解析x甲＝x乙＝9，s2甲＝15[(9－10)2＋(9－8)2＋(9－9)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝25，
s2乙＝15[(9－10)2＋(9－10)2＋(9－7)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝65>s2甲，故甲更稳定，故选甲．
例3解题导引茎叶图在样本数据较少，较为集中且位数不多时比较适用．由于它
较好地保留了原始数据，所以可以帮助我们分析样本数据的大致频率分布，还可以用来分析
样本数据的一些数字特征．但当样本数据较多时，茎叶图就显得不太方便了．因为数据较多
时，枝叶就会很长，需要占据较多的空间．
解(1)由茎叶图可知：甲班身高集中于160～179之间，而乙班身高集中于170～180
之间．因此乙班平均身高高于甲班．
(2)x＝158＋162＋163＋168＋168＋170＋171＋179＋179＋18210
＝170，
甲班的样本方差为
1
10[(158－170)
2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2＋(168－170)2＋(170－170)2＋
(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－170)2]＝57.2.
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(3)设身高为176cm的同学被抽中的事件为A，
从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm的同学有：(181,173)，(181,176)，
(181,178)，(181,179)，(179,173)，(179,176)，(179,178)，(178,173)，(178,176)，(176,173)共
10个基本事件，而事件A含有4个基本事件，∴P(A)＝410＝25.
变式迁移3解(1)两学生成绩的茎叶图如图所示．
(2)将甲、乙两学生的成绩从小到大排列为：
甲：512522528534536538541549554556
乙：515521527531532536543548558559
从以上排列可知甲学生成绩的中位数为
536＋538
2＝537.
乙学生成绩的中位数为532＋5362＝534.
甲学生成绩的平均分为
500＋12＋22＋28＋34＋36＋38＋41＋49＋54＋5610＝537，
乙学生成绩的平均分为
500＋15＋21＋27＋31＋32＋36＋43＋48＋58＋5910＝537.
课后练习区
1．B[A中的数据都不大于B中的数据，所以xA
波动幅度大，所以sA>sB.]
2．D[平均数a＝110(15＋17＋14＋10＋15＋17＋17＋16＋14＋12)＝14.7.
中位数b＝15，众数c＝17.∴c>b>a.]
3．B[前两组中的频数为100×(0.05＋0.11)＝16.
∵后五组频数和为62，∴前三组为38.
∴第三组为22.又最大频率为0.32的最大频数为0.32×100＝32，∴a＝22＋32＝54.]
4．C[去掉最高分93，最低分79，
平均数为15(84＋84＋86＋84＋87)＝85，
方差s2＝15[(84－85)2＋(84－85)2＋(86－85)2＋(84－85)2＋(87－85)2]＝85＝1.6.]
5．B[由条件可知，落在[31.5,43.5)的数据有12＋7＋3＝22(个)，故所求概率约为2266＝
1
3.]
6．2423
解析x甲＝110(10×2＋20×5＋30×3＋17＋6＋7)＝24，
x乙＝110(10×3＋20×4＋30×3＋17＋11＋2)＝23.
7．60
解析∵第一组至第六组数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1，∴前三组频数为
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2＋3＋4
20·n＝27，故n＝60.
8．3.2
解析x＝10＋6＋8＋5＋65＝7，∴s2＝15[(10－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(5－7)2＋(6－7)2]
＝165＝3.2.
9．解(1)甲、乙两人五次测试的成绩分别为：
甲10分13分12分14分16分
乙13分14分12分12分14分
甲、乙两人的平均成绩x甲＝x乙，都是13分，(4分)
s2甲＝15[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4，
s2乙＝15[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8.
(8分)
(2)由s2甲>s2乙，可知乙的成绩较稳定．
从折线图看，甲的成绩基本上呈上升状态，而乙的成绩在平均线上下波动，可知甲的成
绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高．(12分)
10．解(1)根据频率分布直方图可知，频率＝组距×(频率/组距)，故可得下表：
分组频率
[)1.00，1.050.05
[)1.05，1.100.20
[)1.10，1.150.28
[)1.15，1.200.30
[)1.20，1.250.15
[)1.25，1.300.02
(6分)
(2)因为0.30＋0.15＋0.02＝0.47，所以数据落在[1.15,1.30)中的概率约为0.47.(9分)
(3)因为120×1006＝2000，
所以水库中鱼的总条数约为2000.(12分)
11．解(1)频率分布表：
分组频数频率
[41,51)2230
[51,61)1130
[61,71)4430
[71,81)6630
[81,91)101030
[91,101)5530
[101,111)2230
(5分)
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(2)频率分布直方图如图所示．
(10分)
(3)答对下述两条中的一条即可：
①该市有一个月中空气污染指数有2天处于优的水平，占当月天数的115；有26天处于
良的水平，占当月天数的1315；处于优或良的天数为28，占当月天数的1415.说明该市空气质量
基本良好．
②轻微污染有2天，占当月天数的115；污染指数在80以上的接近轻微污染的天数15，
加上处于轻微污染的天数2，占当月天数的1730，超过50%；说明该市空气质量有待进一步改
善．(14分)
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