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学案67二项分布及其应用
导学目标：1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念.2.理解n次独立重复试验的模
型及二项分布.3.能解决一些简单的实际问题．
自主梳理
1．条件概率及其性质
(1)设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝P?AB?P?A?为在事件A发生的条件下，事件
B发生的条件概率．
(2)条件概率具有的性质：
①__________________；
②如果B和C是两个互斥事件，则
P(B∪C|A)＝________________.
2．相互独立事件
(1)设A，B为两个事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B____________.
(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝______，
P(AB)＝________________＝________________.
(3)若A与B相互独立，则________________，________________，________________
也都相互独立．
(4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则________________．
3．二项分布
(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在
这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的
概率都是一样的．
(2)在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的
概率为p，则P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.此时称随机变量X服从二项分布．记
作____________．
自我检测
1．两人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别为15，14，则密码被译出的概率为
()
A．0.45B．0.05C．0.4D．0.6
2．(2011·三明月考)一学生通过一种英语听力测试的概率是12，他连续测试两次，那么其
中恰有一次通过的概率是()
A.14B.13C.12D.34
3．已知随机变量X服从二项分布X～B????6，13，则P(X＝2)等于()
A.1316B.4243C.13243D.80243
4．已知P(AB)＝310，P(A)＝35，则P(B|A)等于()
A.950B.12C.910D.14
5．(2011·临沂调研)一次测量中出现正误差和负误差的概率都是12，在5次测量中至少3
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次出现正误差的概率是()
A.516B.58C.23D.12
探究点一条件概率
例1在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次
任取一件．试求：
(1)第一次取到不合格品的概率；
(2)在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率．
变式迁移11号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随
机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问：
(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？
(2)从2号箱取出红球的概率是多少？
探究点二相互独立事件
例2(2011·宁波模拟)甲、乙两名射击运动员，分别对一目标射击一次，甲射中的概
率为0.8，乙射中的概率为0.9，求
(1)两人都射中的概率；
(2)两人中恰有一人射中的概率；
(3)两人中至少一人射中的概率；
(4)两人中至多一人射中的概率．
变式迁移2甲、乙、丙三人分别独立做一道题，甲做对的概率是12，三人都做对的概
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率是124，三人全做错的概率是14.
(1)求乙、丙两人各自做对这道题的概率；
(2)求甲、乙、丙三人恰有一人做对这道题的概率．
探究点三独立重复试验与二项分布
例3(2010·天津汉沽一中月考)将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的
入口处，小球将自由下落，小球
在下落过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中，已知小球每次遇到
黑色障碍物时向左、右两边下落的概率都是12.
(1)求小球落入A袋中的概率P(A)；
(2)在容器入口处依次放入4个小球，记ξ为落入A袋中小球的个数，试求ξ＝3的概率．
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变式迁移3粒子A位于数轴x＝0处，粒子B位于数轴x＝2处，这两颗粒子每隔1秒
钟向左或向右移动一个单位，设向右移动的概率为23，向左移动的概率为13.
(1)求4秒后，粒子A在点x＝2处的概率；
(2)求2秒后，粒子A、B同时在x＝2处的概率．
1．一般地，每一个随机试验都在一定的条件下进行，而这里所说的条件概率，则是当
试验结果的一部分信息已知(即在原随机试验的基础上，再加上一定的条件)，求另一事
件在此条件下发生的概率．求条件概率，必须理解条件概率的定义及公式，公式中的
P(AB)是指事件A、B同时发生的概率．
2．一般地，事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即P(B|A)＝P(B)，这时，
我们称两个事件A、B相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件．事件的独立是一
种对等的性质．如果事件A对事件B独立，那么就可以说事件A与B相互独立．显然，
必然事件与任何事件是相互独立的．
3．独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验
的结果，则称这n次试验是独立的．
4．独立重复试验概率公式的特点：关于Pn(k)＝Cknpk(1－p)n－k，它是n次独立重复试验
中某事件A恰好发生k次的概率．其中，n是重复试验次数，p是一次试验中某事件A
发生的概率，k是在n次独立试验中事件A恰好发生的次数，需要弄清公式中n、p、k
的意义，才能正确运用公式．
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2010·湖北)投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件
A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是()
A.512B.12
C.712D.34
2．(2011·温州月考)位于坐标原点的一个质点P按下列规则移动：质点每次移动一个单
位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P移动五次后位于点
(2,3)的概率是()
A.????125B．C25????125
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C．C25????123D．C25C35????125
3．设每门高射炮击中飞机的概率为0.6，今有一架飞机来犯，问需要几门高射炮射击，
才能至少以99%的概率击中它()
A．3B．4C．5D．6
4．(2011·合肥模拟)
一个电路如图所示，A、B、C、D、E、F为6个开关，其闭合的概率都是12，且是相互
独立的，则灯亮的概率是()
A.164B.5564
C.18D.116
5．同时抛掷三颗骰子：设A＝“三个点数都不相同”，B＝“至少有一个6点”，则
P(B|A)为()
A.12B.6091
C.518D.91216
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．(2010·湖北)一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病
人中至少3人被治愈的概率为________(用数字作答)．
7．(2010·重庆)加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为170、
1
69、
1
68，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________．
8．(2010·福建)某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正
确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是
0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率
等于______．
三、解答题(共38分)
9．(12分)一名学生骑车从家到学校的途中有6个路口，假设他在每个路口遇到红灯的
事件是相互独立的，且概率都为13.求：
(1)这名学生在途中遇到红灯次数ξ的分布列；
(2)这名学生首次遇到红灯或到达目的地而停车时所经过了的路口数η的分布列；
(3)这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．
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10．(12分)(2011·六安模拟)设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量
ξ表示方程x2＋bx＋c＝0实根的个数(重根按一个计)．
(1)求方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率；
(2)求ξ的分布列；
(3)求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率．
11．(14分)甲、乙两个乒乓球选手进行比赛，他们的水平相当，规定“七局四胜”，即
先赢四局者胜，若已知甲先赢了前两局，求：(1)乙取胜的概率；
(2)比赛打满七局的概率；
(3)设比赛局数为ξ，求ξ的分布列．
学案67二项分布及其应用
自主梳理
1．(2)①0≤P(B|A)≤1②P(B|A)＋P(C|A)2.(1)相互独立(2)P(B)P(B|A)P(A)
P(A)P(B)(3)A与BA与BA与B(4)A与B相互独立3.(2)X～B(n，p)
自我检测
1．C2.C3.D4.B5.D
课堂活动区
例1解题导引求条件概率的通常方法是利用条件概率公式P(B|A)＝P?AB?P?A?.这就需
要求P(AB)和P(A)．如果事件具有等可能特点，还可以看作是基本事件空间改变后的古典概
型，利用P(B|A)＝n?AB?n?A?来计算．
解设A＝{第一次取到不合格品}，B＝{第二次取到不合格品}．
(1)P(A)＝5100＝120.
(2)方法一根据条件概率的定义计算，需要先求出事件AB的概率：P(AB)＝5100×499，
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所以有P(B|A)＝P?AB?P?A?＝
5
100×
4
99
5
100
＝499.
方法二事件A发生的条件下，事件空间包含的基本事件个数为nA＝100－1＝99个．
事件A发生的条件下，事件B包含4个基本事件．
∴P(B|A)＝n?AB?n?A?＝499.
变式迁移1解记事件A：最后从2号箱中取出的是红球；
事件B：从1号箱中取出的是红球．
则P(B)＝42＋4＝23，P(B)＝1－P(B)＝13，
(1)P(A|B)＝3＋18＋1＝49.
(2)∵P(A|B)＝38＋1＝13，
∴P(A)＝P(AB)＋P(AB)
＝P(A|B)P(B)＋P(A|B)P(B)＝49×23＋13×13＝1127.
例2解题导引(1)审题应注意关键的词句，例如“至少有一个发生”、“至多有一
个发生”、“恰好有一个发生”等．
(2)复杂事件的概率拆分为几个互斥事件的和事件，然后利用互斥事件的概率加法公式
进行求解．
(3)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有：
①利用相互独立事件的概率乘法公式；
②正面计数较繁或难以入手时，可以从对立事件入手计算．
解(1)记事件A：甲射中目标；
事件B：乙射中目标．
两人都射中的概率为
P(AB)＝P(A)P(B)＝0.8×0.9＝0.72.
(2)两人中恰有一人射中包括“甲中乙不中”、“甲不中乙中”两种情况，其对应事件
为互斥事件，则
P(AB)＋P(AB)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)
＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9
＝0.08＋0.18＝0.26.
(3)方法一两人至少有一人射中包括“两人都射中”和“两人有一人射中”两种情
况，其概率为P(AB)＋P(AB)＋P(AB)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＋P(A)P(B)
＝0.72＋0.26＝0.98.
方法二因为“两人至少有一人射中”与“两人都未射中”互为对立事件．
所以“两人至少有一人射中”的概率为：
1－P(AB)＝1－P(A)P(B)＝1－0.2×0.1＝0.98.
(4)方法一至多有一人射中包括“有一人射中”和“两人都未射中”，故所求概率为
P(AB)＋P(AB)＋P(AB)
＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＋P(A)P(B)
＝0.02＋0.08＋0.18＝0.28.
方法二“至多有一人射中”的对立事件为“两人都射中”，
故所求概率为1－P(AB)＝1－P(A)P(B)
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＝1－0.72＝0.28.
变式迁移2解(1)设甲、乙、丙三人各自做对这道题分别为事件A、B、C，则P(A)
＝12，
由题意得
?
??
1
2·P?B?P?C?＝
1
24
????1－
1
2[1－P?B?][1－P?C?]＝
1
4
，
解得P(B)＝13，P(C)＝14或P(B)＝14，P(C)＝13，
所以乙、丙两人各自做对这道题的概率为13和14或14和13.
(2)设“甲、乙、丙三人恰有一人做对这道题”为事件D，则
P(D)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋
P(A)P(B)P(C)＝14＋18＋112＝1124，
所以甲、乙、丙三人恰有一人做对这道题的概率是1124.
例3解题导引因为小球每次遇到黑色障碍物相互独立，且每次向左(或向右)的概率
都是12，因此该试验属n次独立重复试验．注意n＝3，P＝12.
独立重复试验，是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验．在这
种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验
中发生的概率都是一样的．
解(1)方法一记小球落入B袋中的概率P(B)，
则P(A)＋P(B)＝1，由于小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落，小球
将落入B袋，
所以P(B)＝????123＋????123＝14，
∴P(A)＝1－14＝34.
方法二由于小球每次遇到黑色障碍物时，有一次向左和两次向右或两次向左和一次向
右下落时小球将落入A袋．
∴P(A)＝C13????123＋C23????123＝34.
(2)由题意，ξ～B????4，34.
∴P(ξ＝3)＝C34????343????141＝2764.
变式迁移3解(1)要求4秒后，粒子A在x＝2处的概率，即求粒子A四次移动中恰
有三次向右移动发生的概率：
C34(23)3(13)＝3281.
(2)要使粒子A、B在2秒后同时在点x＝2处，粒子A一定要往右移动2次，而粒子B
往右和左各一次，所求概率为：????232·C12????23????13＝1681.
课后练习区
1．C2.B3.D4.B5.A
6．0.94777.3708.0.128
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9．解(1)由已知ξ～B????6，13，
分布列为P(ξ＝k)＝Ck6????13k????236－k，
k＝0,1,2,3，…，6.(2分)
所以ξ的分布列为
ξ0123456
P6472919272924072916072960729127291729
(4分)
(2)η＝k表示这名学生首次停车时经过的路口数，即在前k个路口没有遇上红灯，但在
第k＋1个路口遇上红灯，则η的取值可能为0,1,2,3,4,5,6，其中η＝6表示路上没有遇上红
灯．
当0≤k≤5时，P(η＝k)＝13·????23k；
当k＝6时，P(η＝6)＝????236.(9分)
所以η的分布列为
η0123456
P1313·2313·(23)213·(23)313·(23)413·(23)5(23)6
(10分)
(3)这名学生在途中至少遇到一次红灯的事件概率为
P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝1－(23)6＝665729.(12分)
10．解(1)基本事件总数为6×6＝36，若使方程有实根，则Δ＝b2－4c≥0，即b≥2c.
当c＝1时，b＝2,3,4,5,6；
当c＝2时，b＝3,4,5,6；
当c＝3时，b＝4,5,6；
当c＝4时，b＝4,5,6；
当c＝5时，b＝5,6；
当c＝6时，b＝5,6，
所求事件个数为5＋4＋3＋3＋2＋2＝19，
因此方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率为1936.(4分)
(2)由题意知，ξ＝0,1,2，则P(ξ＝0)＝1736，
P(ξ＝1)＝236＝118，P(ξ＝2)＝1736，
故ξ的分布列为
ξ012
P17361181736
(8分)
(3)记“先后两次出现的点数中有5”为事件M，
“方程x2＋bx＋c＝0有实根”为事件N，
则P(M)＝1136，P(M∩N)＝736，
P(N|M)＝P?M∩N?P?M?＝711.(12分)
11．解(1)当甲先赢了前两局时，乙取胜的情况有两种：第一种是乙连胜四局；第二
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种是在第三局到第六局，乙赢了三局，第七局乙赢．
在第一种情况下，乙取胜的概率为????124＝116，
在第二种情况下，乙取胜的概率为C34????12412＝18，
所以当甲先赢了前两局时，乙取胜的概率为
1
16＋
1
8＝
3
16.(5分)
(2)比赛打满七局有两种结果：甲胜或乙胜，记“比赛打满七局甲胜”为事件A，记“比
赛打满七局乙胜”为事件B.
则P(A)＝C14????124????12＝18，
P(B)＝C34????124????12＝18，
又A，B互斥，所以比赛打满七局的概率为
P(A)＋P(B)＝14.(9分)
(3)P(ξ＝4)＝????122＝14，
P(ξ＝5)＝C12????122????12＝14，
P(ξ＝6)＝C13????123????12＋????124＝14，
P(ξ＝7)＝C14????124????12＋C34????124·????12＝14，(13分)
所以ξ的分布列为
ξ4567
P14141414
(14分)
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