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学案72数系的扩充与复数的引入
导学目标：1.理解复数的基本概念.2.理解复数相等的充要条件.3.了解复数的代数表示
法及其几何意义.4.会进行复数代数形式的四则运算.5.了解复数代数形式的加、减运算的几何
意义．
自主梳理
1．数系的扩充
数系扩充的脉络是：________→________→________，用集合符号表示为________?
________?________，实际上前者是后者的真子集．
2．复数的有关概念
(1)复数的概念
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的________和________．若
________，则a＋bi为实数，若________，则a＋bi为虚数，若________________，则a＋
bi为纯虚数．
(2)复数相等：a＋bi＝c＋di?____________(a，b，c，d∈R)．
(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭?____________(a，b，c，d∈R)．
(4)复平面
建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．______叫做实轴，______叫做虚轴．实
轴上的点表示________；除原点外，虚轴上的点都表示________；各象限内的点都表示
____________．
复数集C和复平面内________组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以
________为起点的向量组成的集合也是一一对应的．
(5)复数的模
向量OZ→的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作______或________，即|z|＝|a＋bi|＝
____________.
3．复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝______________；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝________________；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝________________；
④除法：z1z
2
＝a＋bic＋di＝?a＋bi??c－di??c＋di??c－di?
＝________________________(c＋di≠0)．
(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝________，(z1
＋z2)＋z3＝______________________.
自我检测
1．(2011·山东)复数z＝2－i2＋i(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为()
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
2．(2011·广东)设复数z满足(1＋i)z＝2，其中i为虚数单位，则z等于()
A．1＋iB．1－i
C．2＋2iD．2－2i
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3．(2011·大纲全国)复数z＝1＋i，z为z的共轭复数，则zz－z－1等于()
A．－2iB．－i
C．iD．2i
4．(2011·重庆)复数i
2＋i3＋i4
1－i等于()
A．－12－12iB．－12＋12i
C.12－12iD.12＋12i
5．(2011·江苏)设复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i(i为虚数单位)，则z的实部是
________.
探究点一复数的基本概念
例1设m∈R，复数z＝(2＋i)m2－3(1＋i)m－2(1－i)．
(1)若z为实数，则m＝________；
(2)若z为纯虚数，则m＝________.
变式迁移1已知复数z＝a
2－7a＋6
a2－1＋(a
2－5a－6)i(a∈R)，试求实数a分别取什么值
时，z分别为：
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
探究点二复数的四则运算
例2(2010·全国Ⅱ)复数??????3－i1＋i2等于()
A．－3－4iB．－3＋4iC．3－4iD．3＋4i
变式迁移2计算：
(1)?－1＋i??2＋i?i3；
(2)?1＋2i?
2＋3?1－i?
2＋i；
(3)1－3i?3＋i?2.
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例3(2011·唐山模拟)计算：－23＋i1＋23i＋??????21＋i2012＋?4－8i?
2－?－4＋8i?2
11－7i.
变式迁移3(1)(2010·四川)i是虚数单位，计算i＋i2＋i3等于()
A．－1B．1C．－iD．i
(2)(2010·福建)i是虚数单位，(1＋i1－i)4等于()
A．iB．－iC．1D．－1
(3)i是虚数单位，1＋i?1－i?2＋1－i?1＋i?2等于()
A．iB．－iC．1D．－1
探究点三复数的点坐标表示
例4如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i，试
求：
(1)AO→所表示的复数，BC→所表示的复数；
(2)对角线CA→所表示的复数；
(3)求B点对应的复数．
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变式迁移4(2011·江苏苏北四市期末)复数z1＝3＋4i，z2＝0，z3＝c＋(2c－6)i在复平面
内对应的点分别为A，B，C，若∠BAC是钝角，则实数c的取值范围为________________．
1.复数?a＋bi?
??
?实数?b＝0?
虚数――→?b≠0?纯虚数?a＝0?
2．乘法法则：(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；除法法则：a＋bic＋di＝?a＋bi??c－di?c2＋d2＝
ac＋bd
c2＋d2＋
bc－ad
c2＋d2i(c＋di≠0)．特别地：(a±bi)
2＝a2±2abi－b2＝a2－b2±2abi，(a＋bi)(a－
bi)＝a2＋b2.
3．进行复数运算时，熟记以下结果有助于简化运算过程：
(1)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)；
(2)(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，1＋i1－i＝i，1－i1＋i＝－i.
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2011·江西)若z＝1＋2ii，则复数z等于()
A．－2－iB．－2＋i
C．2－iD．2＋i
2．(2010·北京)在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB
的中点，则点C对应的复数是()
A．－4＋8iB．8＋2i
C．2＋4iD．4＋i
3．(2011·平顶山调研)若θ∈(3π4，5π4)，则复数(cosθ＋sinθ)＋(sinθ－cosθ)i在复平面内
所对应的点在()
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
4．(2011·课标全国)复数2＋i1－2i的共轭复数是()
A．－35iB.35i
C．－iD．i
5．下面四个命题：
①0比－i大；
②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数；
③x＋yi＝1＋i的充要条件为x＝y＝1；
④如果让实数a与ai对应，那么实数集与纯虚数集一一对应．
其中正确命题的个数是()
A．0B．1C．2D．3
二、填空题(每小题4分，共12分)
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6．已知z1＝2＋i，z2＝1－3i，则复数i＋z2z
1
的虚部为______．
7．已知复数z1＝m＋2i，z2＝3－4i，若z1z
2
为实数，则实数m＝________.
8．(2011·上海九校联考)复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足|z－1|＝x，则复数z对应的点Z(x，
y)的轨迹方程为__________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)已知|z|－z＝1－2i，求复数z.
10．(12分)(2011·上海)已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚
部为2，且z1·z2是实数，求z2.
11．(14分)已知m∈R，复数z＝m?m－2?m－1＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时，(1)z∈R；(2)z
是纯虚数；(3)z对应的点位于复平面第二象限；(4)z对应的点在直线x＋y＋3＝0上．
学案72数系的扩充与复数的引入
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1．自然数系有理数系实数系NQR2.(1)实部
虚部b＝0b≠0a＝0且b≠0(2)a＝c，b＝d
(3)a＝c，b＝－d(4)x轴y轴实数纯虚数非纯虚数所有的点原点O(5)|z|
|a＋bi|a2＋b2
3．(1)①(a＋c)＋(b＋d)i②(a－c)＋(b－d)i③(ac－bd)＋(ad＋bc)i④
?ac＋bd?＋?bc－ad?i
c2＋d2
(2)z2＋z1z1＋(z2＋z3)
自我检测
1．D[∵z＝2－i2＋i＝?2－i?
2
?2＋i??2－i?＝
4－4i－1
5＝
3
5－
4
5i，
∴复数z对应的点的坐标为(35，－45)，在第四象限．]
2．B[方法一设z＝x＋yi，
则(1＋i)(x＋yi)＝x－y＋(x＋y)i＝2，
故应有
??
??
?x－y＝2，
x＋y＝0，解得???
??x＝1，
y＝－1，故z＝1－i.
方法二z＝21＋i＝2?1－i??1＋i??1－i?＝1－i.]
3．B[∵z＝1＋i，∴z＝1－i，∴z·z＝|z|2＝2，
∴z·z－z－1＝2－(1＋i)－1＝－i.]
4．C[i
2＋i3＋i4
1－i＝
－1－i＋1
1－i＝
－i
1－i＝
?－i??1＋i?
?1－i??1＋i?
＝1－i2＝12－12i.]
5．1
解析设z＝a＋bi(a、b∈R)，由i(z＋1)＝－3＋2i，
得－b＋(a＋1)i＝－3＋2i，∴a＋1＝2，∴a＝1.
课堂活动区
例1解题导引根据复数z为实数、虚数及纯虚数的概念，利用它们的充要条件可
分别求出相应的m值．利用概念解题时，要看准实部与虚部．
(1)1或2(2)－12
解析z＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i.
(1)若z为实数，则m2－3m＋2＝0.∴m＝1或2.
(2)若z为纯虚数，则
??
??
?2m2－3m－2＝0，
m2－3m＋2≠0，
解得m＝－12.
变式迁移1解(1)当z为实数时，则有
??
??
?a2－5a－6＝0
a2－1≠0，
∴
??
??
?a＝－1或a＝6
a≠±1，∴a＝6，即a＝6时，z为实数．
(2)当z为虚数时，
则有a2－5a－6≠0且a2－1≠0，
∴a≠－1且a≠6且a≠±1.∴a≠±1且a≠6.
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∴当a∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，
z为虚数．
(3)当z为纯虚数时，有
??
??
?a2－5a－6≠0a2－7a＋6
a2－1＝0
a2－1≠0
，∴
??
??
?a≠－1且a≠6
a＝6
a≠±1
.
∴不存在实数a使z为纯虚数．
例2解题导引复数的加减运算类似于实数中的多项式的加减运算(合并同类项)，复
数的乘除运算是复数运算的难点，在乘法运算中要注意i的幂的性质，区分(a＋bi)2＝a2＋2abi
－b2与(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；在除法运算中，关键是“分母实数化”(分子、分母同乘以分
母的共轭复数)，此时要注意区分(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2与(a＋b)·(a－b)＝a2－b2，防止实数
中的相关公式与复数运算混淆，造成计算失误．
A[??????3－i1＋i2＝?????3－i??1－i?22＝????2－4i22
＝(1－2i)2＝－3－4i.]
变式迁移2解(1)?－1＋i??2＋i?i3＝－3＋i－i＝－1－3i.
(2)?1＋2i?
2＋3?1－i?
2＋i＝
－3＋4i＋3－3i
2＋i
＝i2＋i＝i?2－i?5＝15＋25i.
(3)1－3i?3＋i?2＝?3＋i??－i??3＋i?2＝－i3＋i＝?－i??3－i?4
＝－14－34i.
例3解题导引注意in(n∈N)的周期性，i4k＋1＝i，i4k＋2＝－1，i4k＋3＝－i，i4k＝1(其
中k∈N)，以及(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，1＋i1－i＝i，1－i1＋i＝－i等运算结果在解题中的应用，
运算的最后结果化为a＋bi(a，b∈R)的形式．
解原式＝?－23＋i??1－23i?12＋?23?2＋????2?1＋i?21006＋?4－8i?
2－?4－8i?2
11－7i
＝13i13＋????1i1006＋0
＝i＋(－i)1006＝i＋i2＝i－1＝－1＋i.
变式迁移3(1)A(2)C(3)D
解析(1)i＋i2＋i3＝i＋(－1)＋(－i)＝－1.
(2)(1＋i1－i)4＝[(1＋i1－i)2]2＝(2i－2i)2＝1.
(3)1＋i?1－i?2＋1－i?1＋i?2＝1＋i－2i＋1－i2i
＝－1－i＋1－i2i＝－2i2i＝－1.
例4解题导引根据复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某
个向量对应的复数，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可．
解(1)∵AO→＝－OA→，∴AO→所表示的复数为－3－2i.
∵BC→＝AO→，∴BC→所表示的复数为－3－2i.
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(2)∵CA→＝OA→－OC→，∴CA→所表示的复数为
(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)∵OB→＝OA→＋AB→＝OA→＋OC→，
∴OB→表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，
即B点对应的复数为1＋6i.
变式迁移4c>4911且c≠9
解析在复平面内三点坐标分别为A(3,4)，B(0,0)，C(c，2c－6)，由∠BAC是钝角得AB→·AC→
<0且B、A、C不共线，由(－3，－4)·(c－3,2c－10)<0，解得c>4911，其中当c＝9时，AC→＝
(6,8)＝－2AB→，三点共线，故c≠9.
课后练习区
1．D[∵z＝1＋2ii＝?1＋2i?i－1＝2－i，
∴z＝2＋i.]
2．C[复数6＋5i对应A点的坐标为(6,5)，－2＋3i对应B点的坐标为(－2,3)．由中点
坐标公式知C点坐标为(2,4)，∴点C对应的复数为2＋4i.]
3．B[由三角函数线知识得当θ∈(3π4，5π4)时，
sinθ＋cosθ<0，sinθ－cosθ>0，故选B.]
4．C[方法一∵2＋i1－2i＝?2＋i??1＋2i??1－2i??1＋2i?＝2＋i＋4i－25
＝i，
∴2＋i1－2i的共轭复数为－i.
方法二∵2＋i1－2i＝－2i
2＋i
1－2i＝
i?1－2i?
1－2i＝i.
∴2＋i1－2i的共轭复数为－i.]
5．A[(1)中实数与虚数不能比较大小；
(2)两个复数互为共轭复数时其和为实数，但两个复数的和为实数时这两个复数不一定
是共轭复数；
(3)x＋yi＝1＋i的充要条件为x＝y＝1是错误的，因为没有标明x，y是否是实数；
(4)当a＝0时，没有纯虚数和它对应．]
6．－1
解析i＋z2z
1
＝i＋1－3i2＋i＝?1－2i??2－i?5＝－i，
故虚部为－1.
7．－32
解析z1z
2
＝m＋2i3－4i＝?m＋2i??3＋4i?25
＝3m－8＋?6＋4m?i25是实数，∴6＋4m＝0，故m＝－32.
8．y2＝2x－1
解析由|z－1|＝x得|(x－1)＋yi|＝x，
故(x－1)2＋y2＝x2，x≥0，整理得y2＝2x－1.
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9．解设z＝a＋bi(a、b∈R)，
则a2＋b2－(a＋bi)＝1－2i.(5分)
由两复数相等的充要条件得
??
?a2＋b2－a＝1，
－b＝－2，
解得
??
??
?a＝32
b＝2，
.(10分)
所以所求复数为z＝32＋2i.(12分)
10．解(z1－2)(1＋i)＝1－i?z1＝2－i.(4分)
设z2＝a＋2i，a∈R，
则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.
∵z1·z2∈R，∴a＝4.∴z2＝4＋2i.(12分)
11．解(1)当z为实数时，则有m2＋2m－3＝0且m－1≠0
得m＝－3，故当m＝－3时，z∈R.(2分)
(2)当z为纯虚数时，则有
??
??
?m?m－2?
m－1＝0
m2＋2m－3≠0.
解得m＝0，或m＝2.
∴当m＝0或m＝2时，z为纯虚数．(4分)
(3)当z对应的点位于复平面第二象限时，则有，
??
??
?m?m－2?
m－1<0.
m2＋2m－3>0
解得m<－3或1
分)
(4)当z对应的点在直线x＋y＋3＝0上时，
则有m?m－2?m－1＋(m2＋2m－3)＋3＝0，
得m?m
2＋2m－4?
m－1＝0，
解得m＝0或m＝－1±5.
∴当m＝0或m＝－1±5时，
点Z在直线x＋y＋3＝0上．(14分)
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