【步步高】2015届高三数学北师大版（通用，理）总复习学案：学案75 坐标系与参数方程

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学案75坐标系与参数方程



导学目标：1.了解坐标系的有关概念，理解简单图形的极坐标方程.2.会进行极坐标方程

与直角坐标方程的互化.3.理解直线、圆及椭圆的参数方程，会进行参数方程与普通方程的互

化，并能进行简单应用．



自主梳理

1．极坐标系的概念

在平面上取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做________；再选定

一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了

一个____________．

设M是平面上任一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的________，记为ρ；以

极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的________，记为θ.有序数对(ρ，θ)

叫做点M的__________，记作(ρ，θ)．

2．极坐标和直角坐标的互化

把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长

度单位，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的

关系为x＝__________，y＝__________.另一种关系为：ρ2＝__________，tanθ＝

______________.

3．简单曲线的极坐标方程

(1)一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程φ(ρ，θ)＝0，并且坐标

适合方程φ(ρ，θ)＝0的点都在曲线上，那么方程φ(ρ，θ)＝0叫做曲线的____________．

(2)常见曲线的极坐标方程

①圆的极坐标方程

____________表示圆心在(r,0)半径为|r|的圆；

____________表示圆心在(r，π2)半径为|r|的圆；

________表示圆心在极点，半径为|r|的圆．

②直线的极坐标方程

____________表示过极点且与极轴成α角的直线；

____________表示过(a,0)且垂直于极轴的直线；

____________表示过(b，π2)且平行于极轴的直线；

ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)表示过(ρ0，θ0)且与极轴成α角的直线方程．

4．常见曲线的参数方程

(1)直线的参数方程

若直线过(x0，y0)，α为直线的倾斜角，则直线的参数方程为

??

??

?x＝x0＋lcosα，

y＝y0＋lsinα.这是直线

的参数方程，其中参数l有明显的几何意义．

(2)圆的参数方程

若圆心在点M(a，b)，半径为R，则圆的参数方程为

??

??

?x＝a＋rcosα，

y＝b＋rsinα，0≤α<2π.

(3)椭圆的参数方程

中心在坐标原点的椭圆x

2

a2＋

y2

b2＝1的参数方程为???

??x＝acosφ

y＝bsinφ(φ为参数)．

(4)抛物线的参数方程

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抛物线y2＝2px(p>0)的参数方程为

??

??

?x＝2pt2，

y＝2pt.

自我检测

1．(2010·北京)极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是()

A．两个圆B．两条直线

C．一个圆和一条射线D．一条直线和一条射线

2．(2010·湖南)极坐标方程ρ＝cosθ和参数方程

??

??

?x＝－1－t，

y＝2＋3t(t为参数)所表示的图形

分别是()

A．圆、直线B．直线、圆

C．圆、圆D．直线、直线

3．(2010·重庆)直线y＝33x＋2与圆心为D的圆???

x＝3＋3cosθ，

y＝1＋3sinθ(θ∈[0,2π))交于

A、B两点，则直线AD与BD的倾斜角之和为()

A.76πB.54π

C.43πD.53π

4．(2011·广州一模)在极坐标系中，直线ρsin(θ＋π4)＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．

5．(2010·陕西)已知圆C的参数方程为

??

??

?x＝cosα，

y＝1＋sinα(α为参数)，以原点为极点，x轴正

半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ＝1，则直线l与圆C的交点的直角

坐标为________________.



探究点一求曲线的极坐标方程



例1在极坐标系中，以(a2，π2)为圆心，a2为半径的圆的方程为________．



变式迁移1如图，求经过点A(a,0)(a>0)，且与极轴垂直的直线l的极坐标方程．





















探究点二极坐标方程与直角坐标方程的互化

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例2(2009·辽宁)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．曲

线C的极坐标方程为ρcos????θ－π3＝1，M、N分别为C与x轴，y轴的交点．

(1)写出C的直角坐标方程，并求M、N的极坐标；

(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．





















变式迁移2(2010·东北三校第一次联考)在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cosθ＋sinθ和直

线l：ρsin(θ－π4)＝22，

(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；

(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．





















探究点三参数方程与普通方程的互化



例3将下列参数方程化为普通方程：

(1)

?

?

?x＝3k1＋k2

y＝6k

2

1＋k2

；(2)

??

??

?x＝1－sin2θ

y＝sinθ＋cosθ；(3)???

??x＝1－t

2

1＋t2

y＝t1＋t2

.

























变式迁移3化下列参数方程为普通方程，并作出曲线的草图．

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(1)

??

??

?x＝12sin2θ

y＝sinθ＋cosθ

(θ为参数)；

(2)

?

??

x＝1t

y＝1tt2－1

(t为参数)．



















探究点四参数方程与极坐标的综合应用

例4求圆ρ＝3cosθ被直线

??

??

?x＝2＋2t

y＝1＋4t(t是参数)截得的弦长．









变式迁移4(2011·课标全国)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为

??

??

?x＝2cosα，

y＝2＋2sinα.

(α为参数)

M是C1上的动点，P点满足OP→＝2OM→，P点的轨迹为曲线C2.

(1)求C2的方程；

(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C1的异于极点的交

点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.











本节内容要注意以下两点：一、简单曲线的极坐标方程可结合极坐标系中ρ和θ的具体

含义求出，也可利用极坐标方程与直角坐标方程的互化得出．同直角坐标方程一样，由

于建系的不同，曲线的极坐标方程也会不同．在没有充分理解极坐标的前提下，可先化

成直角坐标解决问题．二、在普通方程中，有些F(x，y)＝0不易得到，这时可借助于

一个中间变量(即参数)来找到变量x，y之间的关系．同时，在直角坐标系中，很多比

较复杂的计算(如圆锥曲线)，若借助于参数方程来解决，将会大大简化计算量．将曲线

的参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数，此时要注意其中的x，y(它们都是

参数的函数)的取值范围，也即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的

等价性．参数方程化普通方程常用的消参技巧有：代入消元、加减消元、平方后相加减

消元等．同极坐标方程一样，在没有充分理解参数方程的前提下，可先化成直角坐标方

程再去解决相关问题．

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(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)

1．在极坐标系中，与点(3，－π3)关于极轴所在直线对称的点的极坐标是()

A．(3，23π)B．(3，π3)C．(3，43π)D．(3，56π)

2．曲线的极坐标方程为ρ＝2cos2θ2－1的直角坐标方程为()

A．x2＋(y－12)2＝14B．(x－12)2＋y2＝14

C．x2＋y2＝14D．x2＋y2＝1

3．(2010·湛江模拟)在极坐标方程中，曲线C的方程是ρ＝4sinθ，过点(4，π6)作曲线C

的切线，则切线长为()

A．4B.7C．22D．23

4．(2010·佛山模拟)已知动圆方程x2＋y2－xsin2θ＋22·ysin(θ＋π4)＝0(θ为参数)，那么

圆心的轨迹是()

A．椭圆B．椭圆的一部分

C．抛物线D．抛物线的一部分

5．(2010·安徽)设曲线C的参数方程为

??

??

?x＝2＋3cosθ，

y＝－1＋3sinθ(θ为参数)，直线l的方程为x

－3y＋2＝0，则曲线C上到直线l距离为71010的点的个数为()

A．1B．2C．3D．4



二、填空题(每小题4分，共12分)

6．(2010·天津)已知圆C的圆心是直线

??

??

?x＝t，

y＝1＋t(t为参数)与x轴的交点，且圆C与直

线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为________．



7．(2011·广东)已知两曲线参数方程分别为???x＝5cosθ，y＝sinθ(0≤θ<π)和

??

??

?x＝54t2，

y＝t

(t∈

R)，它们的交点坐标为________．

8．(2010·广东深圳高级中学一模)在直角坐标系中圆C的参数方程为

??

??

?x＝2cosα

y＝2＋2sinα(α

为参数)，若以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C的极坐标方程为

________．

三、解答题(共38分)

9．(12分)(2011·江苏)在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆

??

??

?x＝5cosφ，

y＝3sinφ(φ为参数)的

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右焦点，且与直线

??

??

?x＝4－2t，

y＝3－t(t为参数)平行的直线的普通方程．











10．(12分)(2010·福建)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为

?

?

?x＝3－22t，

y＝5＋22t

(t

为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正

半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ＝25sinθ.

(1)求圆C的直角坐标方程；

(2)设圆C与直线l交于点A，B.若点P的坐标为(3，5)，求|PA|＋|PB|.





















11．(14分)(2010·课标全国)已知直线C1：

??

??

?x＝1＋tcosα，

y＝tsinα(t为参数)，圆C2：???

??x＝cosθ，

y＝sinθ

(θ为参数)．

(1)当α＝π3时，求C1与C2的交点坐标；

(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点，当α变化时，求P点轨迹

的参数方程，并指出它是什么曲线．





























学案75坐标系与参数方程

自主梳理

1．极轴极坐标系极径极角极坐标2.ρcosθρsinθx2＋y2yx(x≠0)3.(1)

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极坐标方程(2)①ρ＝2rcosθρ＝2rsinθρ＝r②θ＝α(ρ∈R)ρcosθ＝aρsinθ＝b

自我检测

1．C2.A3.C

4．43

5．(－1,1)，(1,1)

解析∵y＝ρsinθ，

∴直线l的直角坐标方程为y＝1.

由

??

??

?x＝cosα，

y＝1＋sinα得x

2＋(y－1)2＝1.

由

??

??

?y＝1，

x2＋?y－1?2＝1得???

??x＝－1，

y＝1或???

??x＝1，

y＝1.

∴直线l与圆C的交点的直角坐标为(－1,1)和(1,1)．

课堂活动区

例1解题导引求曲线的极坐标方程的步骤：①建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是

曲线上任意一点；②由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ

之间的关系式；③将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线上的极坐标方程；④证明所得

方程就是曲线的极坐标方程，若方程的推导过程正确，化简过程都是同解变形，这一证明可

以省略．

答案ρ＝asinθ，0≤θ<π

解析圆的直径为a，设圆心为C，在圆上任取一点A(ρ，θ)，



则∠AOC＝π2－θ或θ－π2，

即∠AOC＝|θ－π2|.

又ρ＝acos∠AOC＝acos|θ－π2|＝asinθ.

∴圆的方程是ρ＝asinθ，0≤θ<π.

变式迁移1解设P(ρ，θ)是直线l上任意一点，OPcosθ＝OA，

即ρcosθ＝a，

故所求直线的极坐标方程为ρcosθ＝a.

例2解题导引直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x＝ρcosθ及y

＝ρsinθ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问

题常通过变形，构造形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘

以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须同解，

因此应注意对变形过程的检验．

解(1)由ρcos????θ－π3＝1得

ρ????12cosθ＋32sinθ＝1.

从而C的直角坐标方程为12x＋32y＝1，

即x＋3y＝2，当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2,0)．

当θ＝π2时，ρ＝233，所以N????233，π2.

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(2)M点的直角坐标为(2,0)．

N点的直角坐标为(0，233)．

所以P点的直角坐标为????1，33，

则P点的极坐标为????233，π6，

所以直线OP的极坐标方程为θ＝π6，ρ∈(－∞，＋∞)．

变式迁移2解(1)圆O：ρ＝cosθ＋sinθ，即ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，

圆O的直角坐标方程为x2＋y2＝x＋y，

即x2＋y2－x－y＝0.

直线l：ρsin(θ－π4)＝22，即ρsinθ－ρcosθ＝1，

则直线l的直角坐标方程为y－x＝1，

即x－y＋1＝0.

(2)由

??

??

?x2＋y2－x－y＝0，

x－y＋1＝0得???

??x＝0，

y＝1.

故直线l与圆O公共点的一个极坐标为(1，π2)．

例3解题导引参数方程通过消去参数化为普通方程．对于(1)直接消去参数k有困难，

可通过两式相除，先降低k的次数，再运用代入法消去k；对于(2)可运用恒等式(sinθ＋cosθ)2

＝1＋sin2θ消去θ；对于(3)可运用恒等式(1－t

2

1＋t2)

2＋(2t

1＋t2)

2＝1消去t.

另外，参数方程化为普通方程时，不仅要消去参数，还应注意普通方程与原参数方程的

取值范围保持一致．

解(1)两式相除，得k＝y2x.将k＝y2x代入，得x＝

3·y2x

1＋?y2x?2

.

化简，得所求的普通方程是4x2＋y2－6y＝0(y≠6)．

(2)由(sinθ＋cosθ)2＝1＋sin2θ＝2－(1－sin2θ)，

得y2＝2－x.

又x＝1－sin2θ∈[0,2]，

得所求的普通方程是y2＝2－x，x∈[0,2]．

(3)由(1－t

2

1＋t2)

2＋(2t

1＋t2)

2＝1，

得x2＋4y2＝1.

又x＝1－t

2

1＋t2≠－1，

得所求的普通方程是x2＋4y2＝1(x≠－1)．

变式迁移3解(1)由y2＝(sinθ＋cosθ)2＝1＋sin2θ＝1＋2x，

得y2＝2x＋1.

∵－12≤12sin2θ≤12，∴－12≤x≤12.

∵－2≤sinθ＋cosθ≤2，∴－2≤y≤2.

故所求普通方程为

y2＝2????x＋12(－12≤x≤12，－2≤y≤2)，图形为抛物线的一部分．

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图形如图甲所示．

(2)由x2＋y2＝????1t2＋????1tt2－12＝1及x＝1t≠0，xy＝t

2－1

t2≥0知，所求轨迹为两段圆

弧x2＋y2＝1(0
图形如图乙所示．



例4解题导引一般将参数方程化为普通方程，极坐标方程化成直角坐标方程解决．

解将极坐标方程转化成直角坐标方程：

ρ＝3cosθ即：x2＋y2＝3x，

即(x－32)2＋y2＝94.

??

??

?x＝2＋2t

y＝1＋4t即：2x－y－3＝0.

所以圆心到直线的距离d＝

|2×32－0－3|

22＋?－1?2＝0，

即直线经过圆心，

所以圆被直线截得的弦长为3.

变式迁移4解(1)设P(x，y)，则由条件知M(x2，y2)．

由于M点在C1上，

所以

?

??

x

2＝2cosα，

y

2＝2＋2sinα，

即

??

??

?x＝4cosα，

y＝4＋4sinα.

从而C2的参数方程为

??

??

?x＝4cosα，

y＝4＋4sinα.(α为参数)

(2)曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8sinθ.

射线θ＝π3与C1的交点A的极径为ρ1＝4sinπ3，

射线θ＝π3与C2的交点B的极径为ρ2＝8sinπ3.

所以|AB|＝|ρ2－ρ1|＝23.

课后练习区

1．B[由于极径不变，极角关于极轴对称，

∴其对称点为(3，π3)．故选B.]

2．B[∵ρ＝2cos2θ2－1，∴ρ2＝ρcosθ即x2＋y2＝x，

∴(x－12)2＋y2＝14.]

3．C[ρ＝4sinθ化为普通方程为x2＋(y－2)2＝4，点(4，π6)化为直角坐标为(23，2)，

切线长、圆心到定点的距离及半径构成直角三角形，由勾股定理：切线长为

?23?2＋?2－2?2－22＝22，故选C.]

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4．D[圆心轨迹的参数方程为

?

??

x＝12sin2θ，

y＝－2sin?θ＋π4?，



即

??

??

?x＝sinθcosθ，

y＝－?sinθ＋cosθ?，

消去参数得y2＝1＋2x(－12≤x≤12)，故选D.]

5．B[∵曲线C的方程为

??

??

?x＝2＋3cosθ，

y＝－1＋3sinθ(θ为参数)，

∴(x－2)2＋(y＋1)2＝9，而l为x－3y＋2＝0，

∴圆心(2，－1)到l的距离d＝|2＋3＋2|1＋9＝710＝71010.又∵71010<3，141010>3，∴有2

个点．]

6．(x＋1)2＋y2＝2

解析直线

??

??

?x＝t，

y＝1＋t(t为参数)与x轴的交点为(－1,0)，故圆C的圆心为(－1,0)．又圆

C与直线x＋y＋3＝0相切，∴圆C的半径为r＝|－1＋0＋3|2＝2，∴圆C的方程为(x＋1)2

＋y2＝2.

7．(1，255)

解析将两曲线的参数方程化为一般方程分别为x

2

5＋y

2＝1(0≤y≤1，－5
＝45x，联立解得交点坐标为(1，255)．

8．ρ＝4sinθ

解析由参数方程消去α得圆C的方程为x2＋(y－2)2＝4，将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入

得(ρcosθ)2＋(ρsinθ－2)2＝4，整理得ρ＝4sinθ.

9．解由题设知，椭圆的长半轴长a＝5，短半轴长b＝3，从而c＝a2－b2＝4，所以

右焦点为(4,0)．将已知直线的参数方程化为普通方程：x－2y＋2＝0.(6分)

故所求直线的斜率为12，因此其方程为y＝12(x－4)，(8分)

即x－2y－4＝0.(12分)

10．解方法一(1)ρ＝25sinθ，得x2＋y2－25y＝0，

即x2＋(y－5)2＝5.(4分)

(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得

(3－22t)2＋(22t)2＝5，即t2－32t＋4＝0.(6分)

由于Δ＝(32)2－4×4＝2>0，故可设t1，t2是上述方程的两实根，所以???t1＋t2＝32，t

1·t2＝4.



又直线l过点P(3，5)，

故由上式及t的几何意义得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝32.(12分)

方法二(1)同方法一．

(2)因为圆C的圆心为点(0，5)，半径r＝5，直线l的普通方程为y＝－x＋3＋5.(8

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分)

由???

x2＋?y－5?2＝5，

y＝－x＋3＋5得x

2－3x＋2＝0.

解得???

x＝1，

y＝2＋5或??

?x＝2，

y＝1＋5.(10分)

不妨设A(1,2＋5)，B(2,1＋5)，又点P的坐标为(3，5)，

故|PA|＋|PB|＝8＋2＝32.(12分)

11．解(1)当α＝π3时，C1的普通方程为y＝3(x－1)，C2的普通方程为x2＋y2＝1，联

立方程组???y＝3?x－1?，x2＋y2＝1，解得C1与C2的交点坐标为(1,0)，(12，－32)．(7分)

(2)C1的普通方程为xsinα－ycosα－sinα＝0.

A点坐标为(sin2α，－cosαsinα)，

故当α变化时，P点轨迹的参数方程为

??

?x＝12sin2α，

y＝－12sinαcosα

(α为参数)．(9分)

P点轨迹的普通方程为(x－14)2＋y2＝116.(12分)

故P点轨迹是圆心为(14，0)，半径为14的圆．

(14分)