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【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习章末检测:第二章 函 数 |
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第二章章末检测
(时间:120分钟满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.(2010·宁德四县市一中联考)已知集合A={x|y=lg(2x-x2)},B={y|y=2x,x>0},R
是实数集,则(?RB)∩A等于()
A.[0,1]B.(0,1]
C.(-∞,0]D.以上都不对
2.下列四个函数中,与y=x表示同一函数的是()
A.y=(x)2B.y=3x3
C.y=x2D.y=x
2
x
3.设a=log3π,b=log23,c=log32,则()
A.a>b>cB.a>c>b
C.b>a>cD.b>c>a
4.(2010·吉安高三联考)由方程x|x|+y|y|=1确定的函数y=f(x)在(-∞,+∞)上是
()
A.增函数B.减函数
C.先增后减D.先减后增
5.函数f(x)=|x|-k有两个零点,则()
A.k=0B.k>0
C.0≤k<1D.k<0
6.若0 A.3y<3xB.logx3 C.log4x 7.(2011·新乡月考)函数y=lg|x|x的图象大致是()
8.(2010·天津)若函数f(x)=2
1
2
log,0,
log(),0,
xx
xx
????
????若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围()
A.(-1,0)∪(0,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(-1,0)∪(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(0,1)
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9.(2011·张家口模拟)已知幂函数f(x)的图象经过点(18,24),P(x1,y1),Q(x2,y2)(x1 是函数图象上的任意不同两点,给出以下结论:
①x1f(x1)>x2f(x2);
②x1f(x1) ③f?x1?x
1
>f?x2?x
2
;
④f?x1?x
1
2
.
其中正确结论的序号是()
A.①②B.①③
C.②④D.②③
10.(2010·山西阳泉、大同、晋中5月联考)已知函数f(x)=
11
2log(421)
xx???
的值域为
[0,+∞),则它的定义域可以是()
A.(0,1]B.(0,1)
C.(-∞,1]D.(-∞,0]
11.已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,()
A.f(-25) C.f(11) 12.已知a>0且a≠1,f(x)=x2-ax,当x∈(-1,1)时,均有f(x)<12,则实数a的取值范
围是()
A.(0,12]∪[2,+∞)B.[14,1)∪(1,4]
C.[12,1)∪(1,2]D.(0,14]∪[4,+∞)
题
号123456789101112
答
案
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知对不同的a值,函数f(x)=2+ax-1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点P,则P点
的坐标是________.
14.(2011·南京模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=2log(1),0
(1)(2),0xxfxfxx?????????
,则
f(2011)的值为__________.
15.定义:区间[x1,x2](x1 值域为[0,2],则区间[a,b]的长度的最大值为________.
16.(2011·潍坊模拟)设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R恒有f(x+1)
=f(x-1),已知当x∈[0,1]时f(x)=(12)1-x,则
①2是函数f(x)的周期;
②函数f(x)在(1,2)上是减函数,在(2,3)上是增函数;
③函数f(x)的最大值是1,最小值是0;
④当x∈(3,4)时,f(x)=(12)x-3.
其中所有正确命题的序号是________.
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三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(10分)(2011·合肥模拟)对定义在实数集上的函数f(x),若存在实数x0,使得f(x0)=
x0,那么称x0为函数f(x)的一个不动点.
(1)已知函数f(x)=ax2+bx-b(a≠0)有不动点(1,1)、(-3,-3),求a、b;
(2)若对于任意实数b,函数f(x)=ax2+bx-b(a≠0)总有两个相异的不动点,求实数a
的取值范围.
18.(12分)已知f(x)为定义在[-1,1]上的奇函数,当x∈[-1,0]时,函数解析式f(x)=14x-
a
2x(a∈R).
(1)写出f(x)在[0,1]上的解析式;
(2)求f(x)在[0,1]上的最大值.
19.(12分)已知函数f(x)=2x-12|x|.
(1)若f(x)=2,求x的值;
(2)若2tf(2t)+mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立,求实数m的取值范围.
20.(12分)(2011·银川模拟)已知函数f(x)的图象与函数h(x)=x+1x+2的图象关于点A(0,1)
对称.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若g(x)=f(x)+ax,g(x)在区间(0,2]上的值不小于6,求实数a的取值范围.
21.(12分)经市场调查,某城市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)
均为时间t(天)的函数,且销售量近似满足g(t)=80-2t(件),价格近似满足f(t)=20-12|t-
10|(元).
(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20)的函数表达式;
(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值.
22.(12分)(2011·合肥模拟)对于定义域为[0,1]的函数f(x),如果同时满足以下三条:①
对任意的x∈[0,1],总有f(x)≥0;②f(1)=1;③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,都有f(x1+x2)≥f(x1)
+f(x2)成立,则称函数f(x)为理想函数.
(1)若函数f(x)为理想函数,求f(0)的值;
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(2)判断函数f(x)=2x-1(x∈[0,1])是否为理想函数,并予以证明;
(3)若函数f(x)为理想函数,假定存在x0∈[0,1],使得f(x0)∈[0,1],且f[f(x0)]=x0,求证:
f(x0)=x0.
答案1.B[由2x-x2>0,
得x(x-2)<0?0 故A={x|00,得2x>1,
故B={y|y>1},?RB={y|y≤1},
则(?RB)∩A={x|0 2.B
3.A[∵log32c.
又∵log23 ∴a>b,∴a>b>c.]
4.B[
①当x≥0且y≥0时,
x2+y2=1,
②当x>0且y<0时,x2-y2=1,
③当x<0且y>0时,y2-x2=1,
④当x<0且y<0时,无意义.
由以上讨论作图如右,易知是减函数.]
5.B[令y=|x|,y=k,由题意即要求两函数图象有两交点,利用数形结合思想,作出
两函数图象,得k>0.]
6.C[∵0logy3,(14)x>(14)y,即选项A、B、
D错,故选C.]
7.D
8.C[由分段函数的表达式知,需要对a的正负进行分类讨论.
f(a)>f(-a)?
??
??
?a>0
log2a>log12a或
??
??
?a<0
log12?-a?>log2?-a????
?a>0
a>1或???
??a<0
-1 ?a>1或-1 9.D[依题意,设f(x)=xα,则有(18)α=24,即(18)α=(18)12,所以α=12,于是f(x)=x12.
由于函数f(x)=x12在定义域[0,+∞)内单调递增,所以当x1 而有x1f(x1) 1
,f?x2?x
2
分别表示直线OP、OQ的斜率,结合函数
图象,容易得出直线OP的斜率大于直线OQ的斜率,故f?x1?x
1
>f?x2?x
2
,所以③正确.]
10.A[∵f(x)的值域为[0,+∞),
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令t=4x-2x+1+1,
∴t∈(0,1]恰成立,即0<(2x)2-2·2x+1≤1恰成立,0<(2x-1)2成立,则x≠0,(2x)2-2·2x
+1≤1可化为2x(2x-2)≤0,
∴0≤2x≤2,即0≤x≤1,
综上可知0 11.D[因为f(x)满足f(x-4)=-f(x),所以f(x-8)=f(x),所以函数是以8为周期的周
期函数,则f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3),又因为f(x)在R上是奇函数,f(0)=0
得f(80)=f(0)=0,f(-25)=f(-1)=-f(1),而由f(x-4)=-f(x)得f(11)=f(3)=-f(-3)=-
f(1-4)=f(1),又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数,所以f(1)>f(0)=0,-f(1)<0,即f(-
25) 12.C[将f(x)<12化为x2-121和0
结合图象得
??
??
?a>1
a-1≥12或???
??0 a≥12,
解得1 13.(1,3)
14.-1
解析由已知得f(-1)=log22=1,
f(0)=0,f(1)=f(0)-f(-1)=-1,
f(2)=f(1)-f(0)=-1,
f(3)=f(2)-f(1)=-1-(-1)=0,
f(4)=f(3)-f(2)=0-(-1)=1,
f(5)=f(4)-f(3)=1,f(6)=f(5)-f(4)=0,
所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现,
所以f(2011)=f(1)=-1.
15.154
解析由0≤|log0.5x|≤2解得14≤x≤4,
∴[a,b]长度的最大值为4-14=154.
16.①②④
解析由f(x+1)=f(x-1)可得f(x+2)=f[(x+1)+1]=f(x+1-1)=f(x),
∴2是函数f(x)的一个周期.
又函数f(x)是定义在R上的偶函数,
且x∈[0,1]时,
f(x)=(12)1-x,
∴函数f(x)的简图如右图,由简图可知②④也正确.
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17.解(1)∵f(x)的不动点为(1,1)、(-3,-3),
∴有
??
??
?a+b-b=1,
9a-3b-b=-3,∴a=1,b=3.………………………………………………(4分)
(2)∵函数总有两个相异的不动点,
∴ax2+(b-1)x-b=0,Δ>0,
即(b-1)2+4ab>0对b∈R恒成立,……………………………………………………(7分)
Δ1<0,即(4a-2)2-4<0,………………………………………………………………(9分)
∴0 18.解(1)∵f(x)为定义在[-1,1]上的奇函数,且f(x)在x=0处有意义,
∴f(0)=0,即f(0)=140-a20=1-a=0.
∴a=1.……………………………………………………………………………………(3分)
设x∈[0,1],则-x∈[-1,0].
∴f(-x)=14-x-12-x=4x-2x.
又∵f(-x)=-f(x)
∴-f(x)=4x-2x.
∴f(x)=2x-4x.……………………………………………………………………………(8分)
(2)当x∈[0,1],f(x)=2x-4x=2x-(2x)2,
∴设t=2x(t>0),则f(t)=t-t2.
∵x∈[0,1],∴t∈[1,2].
当t=1时,取最大值,最大值为1-1=0.……………………………………………(12分)
19.解(1)当x<0时,f(x)=0;
当x≥0时,f(x)=2x-12x.…………………………………………………………………(3分)
由条件可知2x-12x=2,即22x-2·2x-1=0,
解得2x=1±2.
∵2x>0,∴x=log2(1+2).……………………………………………………………(6分)
(2)当t∈[1,2]时,2t????22t-122t+m????2t-12t≥0,
即m(22t-1)≥-(24t-1).
∵22t-1>0,∴m≥-(22t+1).…………………………………………………………(9分)
∵t∈[1,2],∴-(1+22t)∈[-17,-5],
故m的取值范围是[-5,+∞).……………………………………………………(12分)
20.解(1)设f(x)图象上任一点坐标为(x,y),点(x,y)关于点A(0,1)的对称点(-x,2-
y)在h(x)的图象上,……………………………………………………………………………(2分)
∴2-y=-x+1-x+2,∴y=x+1x,
即f(x)=x+1x.……………………………………………………………………………(6分)
(2)由题意g(x)=x+a+1x,
且g(x)=x+a+1x≥6,x∈(0,2].
∵x∈(0,2],∴a+1≥x(6-x),…………………………………………………………(8分)
即a≥-x2+6x-1.
令q(x)=-x2+6x-1,x∈(0,2],
q(x)=-x2+6x-1=-(x-3)2+8,
∴x∈(0,2]时,q(x)max=q(2)=7,∴a≥7.……………………………………………(12分)
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21.解(1)y=g(t)·f(t)=(80-2t)·(20-12|t-10|)=(40-t)(40-|t-10|)
=
??
??
??30+t??40-t?,0≤t<10,
?40-t??50-t?,10≤t≤20.……………………………………………………(4分)
(2)当0≤t<10时,y的取值范围是[1200,1225],
在t=5时,y取得最大值为1225;……………………………………………………(8分)
当10≤t≤20时,y的取值范围是[600,1200],
在t=20时,y取得最小值为600.
所以第5天,日销售额y取得最大值为1225元;
第20天,日销售额y取得最小值为600元.………………………………………(12分)
22.(1)解取x1=x2=0,
可得f(0)≥f(0)+f(0)?f(0)≤0.
又由条件①得f(0)≥0,故f(0)=0.………………………………………………………(4分)
(2)解显然f(x)=2x-1在[0,1]满足条件①f(x)≥0;
也满足条件②f(1)=1.
若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,
则f(x1+x2)-[f(x1)+f(x2)]=2x1+x2-1-[(2x1-1)+(2x2-1)]=2x1+x2-2x1-2x2+1=
(2x2-1)(2x1-1)≥0,即满足条件③,故f(x)是理想函数.………………………………(8分)
(3)证明由条件③知,任给m、n∈[0,1],
当m ∴f(n)=f(n-m+m)≥f(n-m)+f(m)≥f(m).
若x0 若x0>f(x0),则f(x0)≥f[f(x0)]=x0,前后矛盾.
故f(x0)=x0.……………………………………………………………………………(12
分)
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