Gothedistance
第1页共8页
第七章章末检测
(时间：120分钟满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．(2011·山东)设集合M＝{x|x2＋x－6<0}，N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N等于()
A．[1,2)B．[1,2]
C．(2,3]D．[2,3]
2．(2011·商丘月考)下列命题中为真命题的是()
A．若a>b，c>d，则ac>bd
B．若|a|>b，则a2>b2
C．若a>b，则a2>b2
D．若a>|b|，则a2>b2
3．若实数a、b满足a＋b＝2，则3a＋3b的最小值是()
A．18B．6C．23D．243
4．不等式y≥|x|表示的平面区域是()
5．(2011·北京)如果
12log
x<
12log
y<0，那么()
A．y
C．1
6．若实数x，y满足不等式组
??
??
?x＋3y－3≥0，
2x－y－3≤0，
x－y＋1≥0，
则x＋y的最大值为()
A．9B.157C．1D.715
7．点P(a,3)到直线4x－3y＋1＝0的距离等于4，且在2x＋y－3<0表示的平面区域内，
则a的值为()
A．3B．7C．－3D．－7
8．(2011·黄冈月考)设an＝sin12＋sin222＋…＋sinn2n，则对任意正整数m，n(m>n)都成立
的是()
A．|an－am|
B．|an－am|>m－n2
C．|an－am|<12n
Gothedistance
第2页共8页
D．|an－am|>12n
9．今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确，有人要用它称物体的重量，他将物体
放在左右托盘各称一次，取两次称量结果分别为a、b.设物体的真实重量为G，则()
A.a＋b2＝GB.a＋b2≤GC.a＋b2>GD.ab
10．设M＝????1a－1????1b－1????1c－1，且a＋b＋c＝1(其中a，b，c为正实数)，则M的取
值范围是()
A.????0，18B.????18，1C．[1,8)D．[8，＋∞)
11．(2011·许昌月考)对一切实数x，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，则实数a的取值范
围是()
A．[－2，＋∞)B．(－∞，－2)
C．[－2,2]D．[0，＋∞)
12．若实数x、y满足1x2＋1y2＝1，则x2＋2y2有()
A．最大值3＋22B．最小值3＋22
C．最大值6D．最小值6
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．关于x的不等式x2＋(a＋1)x＋ab>0的解集是{x|x<－1或x>4}，则实数a、b的值
分别为________．
14．(2011·陕西)如图，点(x，y)在四边形ABCD内部和边界上运动，那么2x－y的最小
值为________．
15．(2011·汤阴模拟)已知正数a、b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围为____________，
a＋b的取值范围是____________．
16．(2011·山东)设函数f(x)＝xx＋2(x>0)，观察：
f1(x)＝f(x)＝xx＋2，
f2(x)＝f(f1(x))＝x3x＋4，
f3(x)＝f(f2(x))＝x7x＋8，
f4(x)＝f(f3(x))＝x15x＋16，
……
根据以上事实，由归纳推理可得：
当n∈N且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)解关于x的不等式31xxa≤1a(其中a>0且a≠1)．
Gothedistance
第3页共8页
18．(12分)(2011·惠州月考)函数f(x)对一切实数x，y均有f(x＋y)－f(y)＝(x＋2y＋1)x成
立，且f(1)＝0.
(1)求f(0)；
(2)求f(x)；
(3)当0ax－5恒成立，求a的取值范围．
19．(12分)(2011·汕头月考)设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．
(1)求证：数列{Sn}不是等比数列；
(2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？
20．(12分)(2011·嘉兴月考)某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目
可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划
投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两
个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
Gothedistance
第4页共8页
21．(12分)先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：
已知a1，a2∈R，a1＋a2＝1，求证：a21＋a22≥12.
证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2，
f(x)＝2x2－2(a1＋a2)x＋a21＋a22＝2x2－2x＋a21＋a22.
因为对一切x∈R，恒有f(x)≥0，所以Δ＝4－8(a21＋a22)≤0，从而得a21＋a22≥12.
(1)若a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1，请写出上述问题的推广式；
(2)参考上述证法，对你推广的问题加以证明．
22．(12分)(2009·山东)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N，点(n，Sn)
均在函数y＝bx＋r(b>0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．
(1)求r的值；
(2)当b＝2时，记bn＝2(log2an＋1)(n∈N)，
证明：对任意的n∈N，不等式b1＋1b
1
·b2＋1b
2
·…·bn＋1b
n
>n＋1成立．
第七章章末检测
1．A[∵x2＋x－6<0，∴－3
∴M＝{x|－3
又∵N＝{x|1≤x≤3}，∴M∩N＝{x|1≤x<2}．]
2．D
3．B[由基本不等式，得3a＋3b≥23a·3b＝23a＋b＝6，当且仅当a＝b＝1时取等号，
所以3a＋3b的最小值是6.]
4．A
5．D[不等式转化为?1
6．A[画出可行域如图：
Gothedistance
第5页共8页
令z＝x＋y，可变为y＝－x＋z，作出目标函数线，平移目标函数线，显然过点A时z
最大．
由
??
??
?2x－y－3＝0，
x－y＋1＝0得A(4,5)，
∴zmax＝4＋5＝9.]
7．C[由题意
??
??
?|4a－3×3＋1|
5＝4，
2a＋3－3<0，
解得a＝－3.]
8．C[|an－am|
＝??????sin?n＋1?2n＋1＋sin?n＋2?2n＋2＋…＋sinm2m
≤??????sin?n＋1?2n＋1＋??????sin?n＋2?2n＋2＋…＋????sinm2m
<12n＋1＋12n＋2＋…＋12m＝
1
2n＋1－
1
2m＋1
1－12
＝12n－12m<12n.]
9．C[设左、右臂长分别为l1、l2，
则l1·G＝l2·a，①
l2·G＝l1·b.②
①×②，得G2＝ab，∴G＝ab.∵l1≠l2，
故a≠b，a＋b2>ab＝G.]
10．D[∵M＝(1a－1)(1b－1)(1c－1)
＝b＋ca·a＋cb·a＋bc≥2bca·2acb·2abc＝8，
当且仅当a＝b＝c＝13时，等号成立．
∴M≥8.]
11．A[当x＝0时，对任意实数a，不等式都成立；
当x≠0时，a≥－x
2＋1
|x|＝－?
???|x|＋1|x|＝f(x)，
问题等价于a≥f(x)max，∵f(x)max＝－2，故a≥－2.
综上可知，a的取值范围是[－2，＋∞)．]
12．B[x2＋2y2＝(x2＋2y2)·1＝(x2＋2y2)·????1x2＋1y2＝1＋2y
2
x2＋
x2
y2＋2≥3＋2
2y2
x2·
x2
y2
＝3＋22，当且仅当2y
2
x2＝
x2
y2时等号成立．]
13．－4,1
Gothedistance
第6页共8页
解析由题意知，－1、4为方程x2＋(a＋1)x＋ab＝0的两根，∴a＋1＝－3，ab＝－4.∴a
＝－4，b＝1.
14．1
解析令b＝2x－y，则y＝2x－b，
如图所示，作斜率为2的平行线y＝2x－b，
当经过点A时，直线在y轴上的截距最大，为－b，此时b＝2x－y取得最小值，为b
＝2×1－1＝1.
15．[9，＋∞)[6，＋∞)
解析∵a＋b≥2ab，∴ab－3≥2ab.
解得，ab≥3或ab≤－1(舍)，∴ab≥9，
a＋b＝ab－3≥6.
16.x?2n－1?x＋2n
解析依题意，先求函数结果的分母中x项系数所组成数列的通项公式，由1,3,7,15，…，
可推知该数列的通项公式为an＝2n－1.又函数结果的分母中常数项依次为2,4,8,16，…，故
其通项公式为bn＝2n.
所以当n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝x?2n－1?x＋2n.
17．解①当a>1时，有x－3x＋1≤－1，
∴x－3x＋2≤0，∴x
2＋2x－3
x≤0.
∴?x＋3??x－1?x≤0，∴x≤－3或0
②当0
∴x
2＋2x－3
x≥0.∴－3≤x<0或x≥1.(8分)
综上，当a>1时，x∈(－∞，－3]∪(0,1]；
当0
18．解(1)令x＝1，y＝0，得f(1＋0)－f(0)＝(1＋2×0＋1)×1＝2，
∴f(0)＝f(1)－2＝－2.(3分)
(2)令y＝0，f(x＋0)－f(0)＝(x＋2×0＋1)·x＝x2＋x，
∴f(x)＝x2＋x－2.(6分)
(3)f(x)>ax－5化为x2＋x－2>ax－5，ax
∵x∈(0,2)，
∴a
2＋x＋3
x＝1＋x＋
3
x.(8分)
当x∈(0,2)时，1＋x＋3x≥1＋23，当且仅当x＝3x，即x＝3时取等号，由3∈(0,2)，
得(1＋x＋3x)min＝1＋23.
∴a<1＋23.(12分)
19．(1)证明方法一(反证法)
Gothedistance
第7页共8页
若{Sn}是等比数列．
则S22＝S1S3，即a21(1＋q)2＝a1·a1(1＋q＋q2)，
(3分)
∵a1≠0，∴(1＋q)2＝1＋q＋q2，
∴q＝0.这与q≠0矛盾．
∴{Sn}不是等比数列．(6分)
方法二∵Sn＋1＝a1＋qSn，Sn＋2＝a1＋qSn＋1，
∴SnSn＋2－S2n＋1＝Sn(a1＋qSn＋1)－(a1＋qSn)Sn＋1
＝a1(Sn－Sn＋1)＝－a1an＋1≠0.
故SnSn＋2≠S2n＋1，
∴数列{Sn}不是等比数列．(6分)
(2)解当q＝1时，{Sn}是等差数列．
当q≠1时，{Sn}不是等差数列，否则S1，S2，S3成等差数列，即2S2＝S1＋S3.
∴2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)(10分)
由于a1≠0，∴2(1＋q)＝2＋q＋q2，
∴q＝q2，∵q≠1，∴q＝0.
这与q≠0矛盾，故当q≠1时，{Sn}不是等差数列．
(12分)
20．解设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，由题意知
??
??
?x＋y≤10，0.3x＋0.1y≤1.8，
x≥0，
y≥0.
目标函数z＝x＋0.5y.(5分)
上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即可行域．
作直线l0：x＋0.5y＝0，并作平行于直线l0的一组直线x＋0.5y＝z，z∈R，与可行域相
交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线x＋0.5y＝0的距离最大，这里M点是
直线x＋y＝10和0.3x＋0.1y＝1.8的交点．(9分)
解方程组
??
??
?x＋y＝10
0.3x＋0.1y＝1.8，
得x＝4，y＝6，此时zmax＝1×4＋0.5×6＝7(万元)．
∴当x＝4，y＝6时，z取得最大值．
答投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元
的前提下，使可能的盈利最大．(12分)
21．(1)解若a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1.
求证：a21＋a22＋…＋a2n≥1n.(4分)
(2)证明构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋
Gothedistance
第8页共8页
a21＋a22＋…＋a2n＝nx2－2x＋a21＋a22＋…＋a2n.(8分)
因为对一切x∈R，都有f(x)≥0，
所以Δ＝4－4n(a21＋a22＋…＋a2n)≤0，
从而证得a21＋a22＋…＋a2n≥1n.(12分)
22．(1)解由题意：Sn＝bn＋r，当n≥2时，Sn－1＝bn－1＋r.
所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1)，(3分)
由于b>0且b≠1，
所以n≥2时，{an}是以b为公比的等比数列．
又a1＝b＋r，a2＝b(b－1)，
所以b?b－1?b＋r＝b，所以r＝－1.(5分)
(2)证明由(1)知an＝2n－1，因此bn＝2n(n∈N)，
所证不等式为2＋12·4＋14·…·2n＋12n>n＋1.
(6分)
①当n＝1时，左式＝32，右式＝2.
左式>右式，所以结论成立，(7分)
②假设n＝k(k∈N)时结论成立，即2＋12·4＋14·…·2k＋12k>k＋1，则当n＝k＋1时，
2＋1
2·
4＋1
4·…
2k＋1
2k·
2k＋3
2?k＋1?>k＋1·
2k＋3
2?k＋1?
＝2k＋32k＋1要证当n＝k＋1时结论成立，
只需证2k＋32k＋1≥k＋2，
即证2k＋32≥?k＋1??k＋2?，
由均值不等式2k＋32＝?k＋1?＋?k＋2?2≥?k＋1??k＋2?成立，
所以，当n＝k＋1时，结论成立．(11分)
由①②可知，n∈N时，不等式b1＋1b
1
·b2＋1b
2
·…·bn＋1b
n
>n＋1成立．(12分)
|
|
