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第四章章末检测
(时间：120分钟满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．tan300°＋sin450°的值为()
A．1＋3B．1－3
C．－1－3D．－1＋3
2．(2010·北京市朝阳区一调)下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x＝π3对称
的是()
A．y＝sin????2x＋π6B．y＝sin????2x＋π3
C．y＝sin????2x－π3D．y＝sin????2x－π6
3．函数y＝sin2x＋2sinxcosx＋3cos2x的最小正周期和最小值为()
A．π，0B．2π，0
C．π，2－2D．2π，2－2
4．(2010·四川)将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所
得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是()
A．y＝sin????2x－π10
B．y＝sin????2x－π5
C．y＝sin????12x－π10
D．y＝sin????12x－π20
5．已知θ为第二象限角，sin(π－θ)＝2425，则cosθ2的值为()
A.35B.45C．±35D．±45
6．(2011·孝感月考)已知f(x)＝sinx＋3cosx(x∈R)，函数y＝f(x＋φ)的图象关于直线x
＝0对称，则φ的值可以是()
A.π2B.π3C.π4D.π6
7．已知cos????π6－α＝33，则sin2????α－π6－cos????5π6＋α的值是()
A.2＋33B．－2＋33
C.2－33D.－2＋33
8．(2011·保定模拟)使函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋3cos(2x＋θ)是奇函数，且在????0，π4上是减
函数的θ的一个值是()
A.π3B.2π3C.4π3D.5π3
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9．函数y＝2sin????π6－2x(x∈[0，π])为增函数的区间是()
A.????0，π3B.????π12，7π12
C.????π3，5π6D.????5π6，π
10.电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π2)的图象如图
所示，则当t＝1100秒时，电流强度是()
A．－5安B．5安
C．53安D．10安
11．(2010·辽宁)设ω>0，函数y＝sin(ωx＋π3)＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重
合，则ω的最小值是()
A.23B.43C.32D．3
12．(2010·浙江)设函数f(x)＝4sin(2x＋1)－x，则在下列区间中函数f(x)不存在零点()
A．[－4，－2]B．[－2,0]
C．[0,2]D．[2,4]
题
号123456789101112
答
案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若函数f(x)＝2sinωx(ω>0)在????－2π3，2π3上单调递增，则ω的最大值为________．
14．(2010·全国Ⅰ)已知α为第三象限的角，cos2α＝－35，则tan????π4＋2α＝________.
15．(2010·全国Ⅱ)已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－43，则tanα＝________.
16．(2010·厦门高三质检一)给出下列命题：
①函数f(x)＝4cos????2x＋π3的一个对称中心为????－5π12，0；
②已知函数f(x)＝min{sinx，cosx}，则f(x)的值域为????－1，22；
③若α，β均为第一象限角，且α>β，则sinα>sinβ.其中所有真命题的序号是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)(2011·商丘模拟)如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的图象的一
段，求其解析式．
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18．(12分)(2010·湖北)已知函数f(x)＝cos
2x－sin2x
2，g(x)＝
1
2sin2x－
1
4.
(1)函数f(x)的图象可由函数g(x)的图象经过怎样变化得出？
(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最小值，并求使h(x)取得最小值的x的集合．
19．(12分)已知向量a＝(sinx,2cosx)，b＝(2sinx，sinx)，函数f(x)＝a·b－1.
(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；
(2)在给出的直角坐标系中，画出f(x)在区间[0，π]上的图象．
20．(12分)(2011·安阳模拟)已知tanα、tanβ是方程x2－4x－2＝0的两个实根，求cos2(α
＋β)＋2sin(α＋β)cos(α＋β)－3sin2(α＋β)的值．
21．(12分)(2011·深圳模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)为偶函数，其图象
上相邻的两个最高点之间的距离为2π.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若α∈????－π3，π2，f????α＋π3＝13，求sin????2α＋5π3的值．
22．(12分)(2010·山东)已知函数f(x)＝12sin2xsinφ＋cos2xcosφ－12sin????π2＋φ(0<φ<π)，其
图象过点????π6，12.
(1)求φ的值；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)
的图象，求函数g(x)在????0，π4上的最大值和最小值．
答案1．B[tan300°＋sin450°＝－tan60°＋sin90°＝1－3.]
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2．D[由题意ω＝2πT＝2，又因对称轴为x＝π3，即x＝π3是三角函数的最值点，代入检
验只有选项D的函数值为最大值1.]
3．C[f(x)＝sin2x＋2sinxcosx＋3cos2x
＝1＋sin2x＋(1＋cos2x)
＝2＋2sin????2x＋π4，最小正周期为π，
当sin????2x＋π4＝－1时，取得最小值为2－2.]
4．C
5．C[∵θ为第二象限角，∴θ2为第一、三象限角．
∴cosθ2的值有两个．
由sin(π－θ)＝2425，可知sinθ＝2425，
∴cosθ＝－725.∴2cos2θ2＝1＋cosθ＝1825.
∴cosθ2＝±35.]
6．D[f(x)＝2sin????x＋π3，
y＝f(x＋φ)＝2sin????x＋π3＋φ的图象关于x＝0对称，即为偶函数，∴π3＋φ＝π2＋kπ，φ＝kπ
＋π6，k∈Z，当k＝0时，φ＝π6.]
7．A8.B
9．C[∵y＝2sin????π6－2x
＝－2sin????2x－π6，
∴y＝2sin????π6－2x的递增区间实际上是
u＝2sin????2x－π6的递减区间，
即2kπ＋π2≤2x－π6≤2kπ＋3π2(k∈Z)，
解上式得kπ＋π3≤x≤kπ＋5π6(k∈Z)．
令k＝0，得π3≤x≤5π6.
又∵x∈[0，π]，∴π3≤x≤5π6.
即函数y＝2sin????π6－2x(x∈[0，π])的增区间为????π3，5π6.]
10．A[由题图知
A＝10，T2＝4300－1300＝1100，
∴ω＝2πT＝100π.
∴I＝10sin(100πt＋φ)．
∵????1300，10为五点中的第二个点，
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∴100π×1300＋φ＝π2.
∴φ＝π6.∴I＝10sin????100πt＋π6，
当t＝1100秒时，I＝－5安．]
11．C[将函数向右平移4π3个单位后与原图象重合，得4π3是此函数周期的整数倍．又
ω>0，∴2πω·k＝4π3，∴ω＝32k(k∈Z)，∴ωmin＝32.]
12．A[由数形结合的思想，画出函数y＝4sin(2x＋1)与y＝x的图象，观察可知答案选
A.
]
13.34
解析∵f(x)在????－T4，T4上递增，如图，故????－2π3，2π3?????－T4，T4，即T4≥2π3.
∴ω≤34.∴ωmax＝34.
14．－17
解析∵α为第三象限的角，2kπ＋π<α<2kπ＋3π2，
∴4kπ＋2π<2α<4kπ＋3π(k∈Z)，又cos2α＝－35.
∴sin2α＝45，tan2α＝－43，
∴tan????π4＋2α＝1＋tan2α1－tan2α＝－17.
15．－12
解析由tan(π＋2α)＝－43，得tan2α＝－43，
又tan2α＝2tanα1－tan2α＝－43，
解得tanα＝－12或tanα＝2，又α是第二象限的角，
所以tanα＝－12.
16．①②
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解析将x＝－5π12代入f(x)＝4cos????2x＋π3，
得f????－5π12＝4cos????－5π6＋π3＝4cos????－π2＝0，
故①为真命题；在同一坐标系内画出y＝sinx，y＝cosx的图象，f(x)＝min{sinx，cosx}
的图象为y＝sinx，y＝cosx的图象中选取函数值小的各部分组成的图象，
由f(x)的图象知②是真命题；
由2π＋π6>π3，但sin????2π＋π6
17．解由图象可知振幅A＝2，……………………………………………………(2分)
又∵周期T＝2????5π6－π3＝π，
∴ω＝2πT＝2ππ＝2，………………………………………………………………………(6分)
此时函数解析式为y＝2sin(2x＋φ)．
又图象过点????π3，0，由”五点法“作图的第一个点知，
2×π3＋φ＝0，∴φ＝－2π3.………………………………………………………………(9分)
∴所求函数的解析式为
y＝2sin????2x－2π3.……………………………………………………………………(10分)
18．解(1)f(x)＝12cos2x＝12sin????2x＋π2
＝12sin2????x＋π4，…………………………………………………………………………(3分)
所以要得到f(x)的图象只需要把g(x)的图象向左平移π4个单位长度，再将所得的图象向上
平移14个单位长度即可．………………………………………………………………………(6分)
(2)h(x)＝f(x)－g(x)
＝12cos2x－12sin2x＋14
＝22cos????2x＋π4＋14.……………………………………………………………………(10分)
当2x＋π4＝2kπ＋π(k∈Z)时，
h(x)取得最小值－22＋14＝1－224.
此时，对应的x的集合为??????x|x＝kπ＋3π8，k∈Z.………………………………………(12分)
19．解(1)f(x)＝2sin2x＋2sinxcosx－1＝sin2x－cos2x＝2sin????2x－π4，∴T＝2π2＝π，
……………………………………………………………………………………………(3分)
当2x－π4＝2kπ＋π2，即x＝kπ＋3π8(k∈Z)时，函数f(x)取得最大值2.………………(6分)
(2)列表：
2x－π4－π40π2π3π27π4
x0π83π85π87π8π
y－1020－2－1
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…………………………………………………………………………………………(9分)
描点连线，得函数图象如图所示：
…………………………………………………………………………………………(12分)
20．解由已知有tanα＋tanβ＝4，tanαtanβ＝－2，………………………………(2分)
∴tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝43，………………………………………………………(5分)
cos2(α＋β)＋2sin(α＋β)cos(α＋β)－3sin2(α＋β)
＝cos
2?α＋β?＋2sin?α＋β?cos?α＋β?－3sin2?α＋β?
cos2?α＋β?＋sin2?α＋β?
＝1＋2tan?α＋β?－3tan
2?α＋β?
1＋tan2?α＋β?…………………………………………………………(10分)
＝
1＋2×43－3×169
1＋169
＝－35.………………………………………………………………(12分)
21．解(1)∵图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π，
∴T＝2π，则ω＝2πT＝1.…………………………………………………………………(2分)
∴f(x)＝sin(x＋φ)．
∵f(x)是偶函数，∴φ＝kπ＋π2(k∈Z)，…………………………………………………(5分)
又0≤φ≤π，∴φ＝π2.∴f(x)＝cosx．……………………………………………………(6分)
(2)由已知得cos????α＋π3＝13，
∵α∈????－π3，π2，
∴α＋π3∈????0，5π6，
则sin????α＋π3＝223.………………………………………………………………………(8分)
∴sin????2α＋5π3＝－sin????2α＋2π3
＝－2sin????α＋π3cos????α＋π3＝－429.……………………………………………………(12
分)
22．解(1)f(x)＝12sin2xsinφ＋cos2x＋12cosφ－12cosφ
＝12(sin2xsinφ＋cos2xcosφ)
＝12cos(2x－φ)．…………………………………………………………………………(3分)
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又∵f(x)过点????π6，12，
∴12＝12cos????π3－φ，
即cos(π3－φ)＝1.
由0<φ<π知φ＝π3.………………………………………………………………………(6分)
(2)由(1)知f(x)＝12cos????2x－π3.
将f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，变为g(x)＝12cos(4x－π3)．
……………………………………………………………………………………………(8分)
∵0≤x≤π4，∴－π3≤4x－π3≤2π3.
∴当4x－π3＝0，即x＝π12时，g(x)有最大值12；
当4x－π3＝2π3，即x＝π4时，g(x)有最小值－14.…………………………………………(12
分)
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