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第五章章末检测
(时间：120分钟满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则()
A.AD→＋BE→＋CF→＝0
B.BD→－CF→＋DF→＝0
C.AD→＋CE→－CF→＝0
D.BD→－BE→－FC→＝0
2．(2011·金华月考)已知a＝(cos40°，sin40°)，b＝(sin20°，cos20°)，则a·b等于()
A．1B.32C.12D.22
3.已知△ABC中，AB→＝a，AC→＝b，若a·b<0，则△ABC是()
A．钝角三角形B．直角三角形
C．锐角三角形D．任意三角形
4．(2010·山东)定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a＝(m，n)，b＝(p，
q)，令a⊙b＝mq－np，下面说法错误的是()
A．若a与b共线，则a⊙b＝0
B．a⊙b＝b⊙a
C．对任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b)
D．(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2
5．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知
F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为()
A．6B．2C．25D．27
6．(2010·广东)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)满足条件(8a－b)·c＝30，则x等于()
A．6B．5C．4D．3
7.（2010·辽宁）平面上O，A，B三点不共线，设OA→＝a，OB→＝b，则△OAB的面积
等于()
A.|a|2|b|2－?a·b?2B.|a|2|b|2＋?a·b?2
C.12|a|2|b|2－?a·b?2D.12|a|2|b|2＋?a·b?2
8.O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：OP→＝OA→
＋λ(AB→＋AC→)，λ∈(0，＋∞)，则直线AP一定通过△ABC的()
A．外心B．内心
C．重心D．垂心
9．已知a＝(sinθ，1＋cosθ)，b＝(1，1－cosθ)，其中θ∈????π，3π2，则一定有()
A．a∥bB．a⊥b
C．a与b的夹角为45°D．|a|＝|b|
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10．(2010·湖南师大附中月考)若|a|＝1，|b|＝2，且a⊥(a－b)，则向量a，b的夹角为()
A．45°B．60°C．120°D．135°
11．(2011·广州模拟)已知向量a＝(sinx，cosx)，向量b＝(1，3)，则|a＋b|的最大值()
A．1B.3C．3D．9
12．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝()
A.????79，73B.????－73，－79
C.????73，79D.????－79，－73
题
号123456789101112
答
案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．(2010·江西)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则|a－b|＝________.
14．(2010·舟山调研)甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a
海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的3倍，则甲船应取方向__________才能追上
乙船；追上时甲船行驶了________海里．
15.（2010·天津）如图所示，在△ABC中，AD⊥AB，BC→＝3BD→，|AD→|＝1，则AC→·AD→
＝________.
16.（2011·济南模拟）在△ABC中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c，若AB→·AC→＝
BA→·BC→＝1，那么c＝________.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)(2010·江苏)在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)、B(2,3)、C(－2，－
1)．
(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
（2）设实数t满足(AB→－tOC→)·OC→＝0，求t的值．
18．(12分)已知A、B、C的坐标分别为A(4,0)，B(0,4)，C(3cosα，3sinα)．
（1）若α∈?（-，0）,且|AB→|＝|BC→|，求角α的大小；
（2）若AC→⊥BC→，求2sin
2α＋sin2α
1＋tanα的值．
19．(12分)(2010·辽宁)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA
＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.
(1)求A的大小；
(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．
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20（12分）已知向量OP→＝????2cos????π2＋x，－1，OQ→＝????－sin????π2－x，cos2x，定义函数
f(x)＝OP→·OQ→.
(1)求函数f(x)的表达式，并指出其最大值和最小值；
(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f(A)＝1，bc＝8，求△ABC
的面积S.
21．(12分)(2011·衡阳月考)在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A处(3－1)nmile
的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A2nmile的C处的缉私船奉命以
103nmile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°
方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？
22．(12分)(2010·天津一中高三第四次月考)设A，B，C为△ABC的三个内角，m＝(sin
B＋sinC,0)，n＝(0，sinA)且|m|2－|n|2＝sinBsinC.
(1)求角A的大小；
(2)求sinB＋sinC的取值范围．
2．B[由数量积的坐标表示知
a·b＝cos40°sin20°＋sin40°cos20°
＝sin60°＝32.]
4．B[∵a⊙b＝mq－np，b⊙a＝np－mq，
∴a⊙b≠b⊙a.]
5．D[因为F23＝F21＋F22－2|F1||F2|cos(180°－60°)＝28，所以|F3|＝27.]
6．C[∵(8a－b)＝(8,8)－(2,5)＝(6,3)，
∴(8a－b)·c＝6×3＋3x＝30，∴x＝4.]
7．C[S△OAB＝12|a||b|sin〈a，b〉
＝12|a||b|1－cos2〈a，b〉
＝12|a||b|1－?a·b?
2
|a|2|b|2
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＝12|a|2|b|2－?a·b?2.]
9．B[a·b＝sinθ＋|sinθ|，∵θ∈????π，3π2，
∴|sinθ|＝－sinθ，∴a·b＝0，∴a⊥b.]
10．A[由a⊥(a－b)，得a2－a·b＝0，
即a2＝a·b，所以|a|2＝|a||b|cosθ.
因为|a|＝1，|b|＝2，所以cosθ＝22，
又θ∈[0°，180°]，所以θ＝45°.]
11．C[由a＋b＝(sinx＋1，cosx＋3)，
得|a＋b|＝?sinx＋1?2＋?cosx＋3?2
＝2sinx＋23cosx＋5
＝4????12sinx＋32cosx＋5
＝4sin????x＋π3＋5≤4＋5＝3.]
12．D[设c＝(x，y)，则c＋a＝(x＋1，y＋2)，
又(c＋a)∥b，
∴2(y＋2)＋3(x＋1)＝0.①
又c⊥(a＋b)，
∴(x，y)·(3，－1)＝3x－y＝0.②
由①②解得x＝－79，y＝－73.]
13.3
解析如图，a＝OA→，b＝OB→，a－b＝OA→－OB→＝BA→，由余弦定理得，|a－b|＝3.
14．北偏东30°3a
解析如图所示，
设到C点甲船追上乙船，乙到C地用的时间为t，乙船速度为v，
则BC＝tv，AC＝3tv，B＝120°，
由正弦定理知
BC
sin∠CAB＝
AC
sinB，
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∴tvsin∠CAB＝3tvsin120°，
∴sin∠CAB＝12，∴∠CAB＝30°，
∴∠ACB＝30°，∴BC＝AB＝a，
∴AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos120°
＝a2＋a2－2a2·????－12＝3a2，
∴AC＝3a.
15.3
.
16.2
解析设AB＝c，AC＝b，BC＝a，
由AB→·AC→＝BA→·BC→
得：cbcosA＝cacosB.
由正弦定理得：sinBcosA＝cosBsinA，
即sin(B－A)＝0，因为－π
所以B＝A，从而b＝a.
由已知BA→·BC→]＝1得：accosB＝1，
由余弦定理得：aca
2＋c2－b2
2ac＝1，
即a2＋c2－b2＝2，所以c＝2.
17．方法一由题意知AB→＝(3,5)，
AC→＝(－1,1)，
则AB→＋AC→＝(2,6)，AB→－AC→＝(4,4)．……………………………………………………(3分)
所以ABAC210??，ABAC?＝42.
故所求的两条对角线的长分别为210、42.…………………………………………(6分)
方法二设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则E为B、C的
中点，E(0,1)，又E(0,1)为A、D的中点，所以D(1,4)．
故所求的两条对角线的长分别为
BC＝42，AD＝210.……………………………………………………………………(6
分)
（2）由题设知：OC→＝(－2，－1)，
AB→－tOC→＝(3＋2t,5＋t)．………………………………………………………………(8分)
由(AB→－tOC→)·OC→＝0，得：
(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，
从而5t＝－11，所以t＝－115.…………………………………………………………(10分)
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19．解(1)由已知，根据正弦定理得
2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，
即a2＝b2＋c2＋bc.………………………………………………………………………(4分)
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，
故cosA＝－12，∵A∈(0°，180°)
∴A＝120°.………………………………………………………………………………(6分)
(2)由(1)得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC.
又sinB＋sinC＝1，得sinB＝sinC＝12.………………………………………………(9分)
因为0°
所以△ABC是等腰的钝角三角形．……………………………………………………(12分)
20．解（1）f(x)＝OP→·OQ→＝(－2sinx，－1)·(－cosx，cos2x)＝sin2x－cos2x
＝2sin????2x－π4，…………………………………………………………………………(4分)
∴f(x)的最大值和最小值分别是2和－2.……………………………………………(6分)
(2)∵f(A)＝1，∴sin????2A－π4＝22.
∴2A－π4＝π4或2A－π4＝3π4.
∴A＝π4或A＝π2.…………………………………………………………………………(9分)
又∵△ABC为锐角三角形，∴A＝π4.∵bc＝8，
∴△ABC的面积S＝12bcsinA＝12×8×22＝22.……………………………………(12分)
21．解设缉私船用th在D处追上走私船，画出示意图(如图所示)，
则有CD＝103t，BD＝10t，
在△ABC中，
∵AB＝3－1，AC＝2，
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∠BAC＝120°，
∴由余弦定理，得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC
＝(3－1)2＋22－2×(3－1)×2×cos120°＝6，……………………………………(4分)
∴BC＝6，且sin∠ABC＝ACBCsin∠BAC
＝26×32＝22，
∴∠ABC＝45°，∴BC与正北方向垂直．………………………………………………(8分)
∵∠CBD＝90°＋30°＝120°，
在△BCD中，由正弦定理，得
sin∠BCD＝BDsin∠CBDCD
＝10tsin120°103t＝12，
∴∠BCD＝30°，即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船．…………………(12分)
22．解(1)∵|m|2－|n|2＝(sinB＋sinC)2－sin2A
＝sin2B＋sin2C－sin2A＋2sinBsinC……………………………………………………(3分)
依题意有，
sin2B＋sin2C－sin2A＋2sinBsinC＝sinBsinC，
∴sin2B＋sin2C－sin2A＝－sinBsinC，…………………………………………………(6分)
由正弦定理得：b2＋c2－a2＝－bc，
∴cosA＝b
2＋c2－a2
2bc＝
－bc
2bc＝－
1
2，∵A∈(0，π)
所以A＝2π3.………………………………………………………………………………(8分)
(2)由(1)知，A＝2π3，∴B＋C＝π3，
∴sinB＋sinC＝sinB＋sin????π3－B
＝12sinB＋32cosB＝sin????B＋π3.………………………………………………………(10分)
∵B＋C＝π3，∴0
则π3
即sinB＋sinC的取值范围为??????32，1.……………………………………………(12分)
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