第一讲质数与合数质数与合数概念是数学运算、算式简化以及分析一些数字问题时常用到的。如果一个比1大的自然数只有两个约数：1和本身，那么
这个自然数就叫质数，质数也叫做素数。例如43=1×43。43只有1和43两个约数，所以43是质数。100以内的质数是非常有用的。
它们是：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、7
9、83、89、97。2是质数中唯一一个偶数，其他的质数都是奇数。在自然数中如果除了1和本身两个约数，还有其他的约数，这个自然
数叫做合数。例如6有约数1、2、3、6，那么6是合数。合数也叫复合数或合成数。特别注意：1既不是质数，也不是合数。例1．求92
4的质数约数（也叫质约数）的和。解：充分利用数字整除的特性，运用短除的形式，把924做质约数分解。2|9242|462
3|2317|7711所以924=2×2×3×7×11，质约数有2、3、7、11，它们的和是23。例2．
求出852的所有约数。解：852=2×2×3×71，所以852的约数有1、2、3、4、6、12、71、142、213、284、4
26、852共12个约数。例3．有两个两位数的积是3927，这两个数的和是。解：将这个乘积做质因数分解，3927=3×7×11
×17，把这四个数搭配可以得到的两个两位数是3×17=51和7×11=77。它们的和是51+77=128。12854分子应该
在7到64这58个自然数中选择，因为13是一个质数，所以去掉13、26、39、52这四个数，剩下58–4=54个自然数，可以得到5
4个满足条件的最简分数。例5．有八个数693、35、48、28、175、108、363、165，把他们分成两组使得两组数的乘积相等
。解：要使两组数的乘积相等，那么两组数中相同的质因数的个数一定相等，只要将每一个数都分解成质因数的乘积形式即可，列表如下：23
5711组别693175352810836316548211ABAB
BBAA211121
231211
141这8个数的分组情况是一组是693、35、165、48；另一组是175、28
、108、363。例6．要使四个数的积135×1925×486×（）结果的最后五位数字都是零，括号内的数最小填入。解：135=
3×3×3×5、1925=5×5×7×11、486=2×3×3×3×3×3，它们的乘积中一共有一个2，三个5，其余的是3、7、1
1。要使得乘积的最后五位数字都是零，应该再补上四个2和二个5，即2×2×2×2×5×5=400。400例7．合数3570，有很
多的约数，其中最小的三位约数是。解：分解质因数3570=2×3×5×7×17，很明显100不是它的约数，101是一个质数，
也不是它的约数，102=2×3×17是3570的约数，所以最小的三位约数是102.102例8．九个连续自然数，它们都大于80，
那么其中质数最多有个。解：由于大于2的质数一定是奇数，所以大于80的九个自然数中最多有5个奇数。所以至多有5个质数，又三
个连续的奇数中至少有1个能被3整除，所以在这5个连续的奇数中至少有一个合数，因此质数最多有4个。如：在101~110这九个连
续自然数中有101、103、107、109个质数。4例9．把33拆成若干个不同的质数之和，如果要使这些质数的乘积最大，问这几个质
数分别是多少？解：首先假设33可以分成5个质数之和（分成6个以上质数之和不可能），33是奇数，因此5个质数之和一定没有2（否则和
为偶数），取最小的5个奇质数3、5、7、11、13，它们的和是39，超过33了。假设33可以分成4个质数的和，则其中一定有一
个质数为2，即其余三个质数和为31，31=3+5+23=3+11+17=7+11+13=5+7+19，其中三个数的乘积最大是7×
11×13=1001，再乘以2，四个质数的乘积最大是2002；假设33可以分成3个质数的和，33=3+13+17=3+11+
19=3+7+23=5+11+17，其中三个质数的乘积最大的是5×11×17=935，小于2002，若33分成2个质数的和
，则乘积更小。所以33分成4个质数的和33=2+7+11+13时，乘积最大。例10．A、B、C是三个自然数，已知[A，B]=42
，[B，C]=66，(A，C)=3，求满足上述条件的A、B、C。说明：[A，B]表示A和B的最小公倍数，(A，C)表示A和C的最小
公约数。解：由[A，B]=42=2×3×7，可知A，B中只含2、3、7的质因子；由[B，C]=66=2×3×11，可知B，C中
只含2、3、11的质因子；因此B中只能取2×3，又(A，C)=3，说明A和C中都含有3，且A，C中不能同时含有2，这样B中一定有2
，下面安排一个表格：A3×73×72×3×73×73×72×3×7B2222×32×32×3C3×112×3×113×113×11
2×3×113×11可以看出，满足条件的A、B、C有6组。下课了！课后作业1．把下面的整数分解质因数：10
01=；546=；1993=；11×7×132×3×7×13是质数2．由1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字组成的
九位数是质数吗？为什么？答：不是质数，因为1+2+3+4+5+6=7+8=9=45，能被3整数，所以这个九位数一定能被3整除，
该数不是质数。3．把下列八个数分成两组，每组四个数，使两组数的乘积相等，该如何分？14、33、35、75、39、30、143、
169．第一组：35、30、39、143；第二组：14、75、33、169。（答案不唯一）4．自然数199119921993，除
本身之外最大的约数是。66373307331提示：除1以外的最小约数是3.5．要使975×935×972×()的积最后
四位都是零，括号中最小填入。206．200除以一个两位数质数，余数是14，求这个两位数。提示：200–14=186=2×3×31，所以这个两位数是31。一般地对一个自然数做质约数分解（或叫做质因数分解），，（其中a1、a2、…、am是不同的约数，n1、n2、…、nm是正整数），则A的约数有个，其中包含1和A本身。例4．比大比5小，并且分母是13的最简分数有个。解：=，，所以， |
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