第四讲乘方的初步知识一．乘方的概念乘方的意义、各部分名称及读写先看几个例子：（1）2×2；（2）3×3×3；（3）5×5×
5×5.上面三个算式中，乘数都是相同的，分别为2个2相乘，3个3相乘，4个5相乘。如果是25个9相乘呢？若写成就太不方便了
。为了写起来方便，我们规定相同的乘数相乘，只写一个乘数，并在这个乘数的右上角，(数字写小一点)写上相同乘数的个数。例如22=
2×2、54=5×5×5×5、925=在an中，相同的乘数a叫做“底数”，a的个数n叫做“指数”，乘方运算的结果“an
”叫做“幂”。指数底an幂an读作“a的n次方”。a的二次方（或a的二次幂）也可以读作a的平方；a的三次方（或a的三次幂）也
可以读作a的立方。每个自然数都可以看作是这个数的一次方。如8可以看作是81。当指数是1时，通常省略不写。例1．（1）43表示4
×4×4，读作4的三次方，也读作4的立方。（2）156表示15×15×15×15×15×15，读作15的6次方。（3）a2表示a×
a，读作a的平方或a的二次幂。例2．根据乘方的意义计算出答案：（1）94；（2）115；（3）06.解：（1）94=9×9×9
×9=6561；（2）115表示15个1相乘，所以115=1；（3）06表示6个0相乘，所以06=0.例3．下面各对算式的意义是否
相同，怎样正确理解相应算式的意义。（1）83与8×3；（2）42与24；（3）4×52与(4×5)2.解：（1）83表
示3个8相乘，即83=8×8×8=512；8×3表示3个8相加，8×3=8+8+8=24；（2）42与24；（2）42表
示2个4相乘，42=4×4=16；24表示4个2相乘。24=2×2×2×2=16；要特别注意42=16与24=16的计算结果
相同仅仅是一个特例，并不是所有类似的乘方结果都相同，如52=25，25=32。（3）4×52与(4×5)2.（3）4×52表示
乘数4与52相乘，即4×52=4×25=100；(4×5)2表示先算括号内的乘法，得4×5=20，再计算202=400.
所以两个算式是不同的。二．需要记住的常用平方数1．1~16的平方数：112=121；122=144；132=169；142
=196；152=225；162=256.2．个位数字是5的平方数（，其中m为整数）：公式：例如：252=2×3×100+25
=625；352=3×4×100+25=1225；452=4×5×100+25=2025；552=3025；652=422
5；752=5625；852=7225；952=9025.3．由n个1组成的数的平方：我们观察下面的例子，112=121；
1112=111×111=12321；11112=1234321；由此可知1111111112=123456789876543
21.4．常用的勾股数：32+42=52；62+82=102；52+122=132；72+242=252；92+40
2=412；三．关于个位数字与完全平方数1．整数乘方的个位数字：整数的个位数字只有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十种，下
面我们列出表格看一看经过不同次乘方之后，个位数字如何变化。a0123456789a20149656941a30187456329a
40161656161a50123456789………从表中可以看出：（1）平方数的个位数字只可能是0、1、4、5、6、9，而不可
能是2、3、7、8；（2）三次方的个位数字从0、1到9都有可能；（3）四次方的个位数字只可能是0、1、6、5；（4）五次方的个位数
字与一次方的个位数字完全相同。（这一点要特别注意）这样六次方的个位数字与二次方的个位数字完全相同，七次方的个位数字与三次方的个位
数字完全相同，……；于是如果要计算32015的个位数字，只要得到2015被4除的余数1，所以32015的个位数字与31的个位数
字相同。（5）个位数字为0、1、5、6的数无论多少次乘方，其个位数字保持不变。例3．求31993+41994+51995的末位数字
。解：因为51995的个位数字为5；4的奇数次方的个位数字是4，偶数次方为6，所以41994的个位数字是6；对于31993的个
位数字，只要观察得到它们是以4为周期变化。1993÷4=498……1，所以31993的个位数字与31的个位数字相同，也就是3，
综上所述得31993+41994+51995的末位数字与3+6+5=14的个位数字相同，所以答案为4.例4．从1、1、3、3、5、
5、7、7、9、9中取出5个数，其中至少有三个数不重复，且它们的乘积的个位数字为1，问这五个数的和是多少？解：五个数的乘积的个位数
字是1，显然这五个数中不能有5，只能从1、3、7、9中取。由于至少有三个数不重复，那么只能有一个数重复取两次，这样的取法有四种，
分别是：1×1×3×7×9；1×3×3×7×9；1×3×7×7×9；1×3×7×9×9，逐一验证，只能是1、3、7、9、9这一组
数，所以五个数的和是1+3+7+9+9=29.四．相邻自然数乘积的个位数字由于只考虑个位数字，相邻的自然数的乘积1×2=
2、2×3=6、3×4=12、4×5=20、5×6=30、6×7=42、7×8=56、8×9=72、9×10=90、10×
11=110。注意到乘积的个位数字只有0、2、6三种。换句话说，如果一个自然数的个位数字不是0、2、6，那么它一定不是某两个相
邻自然数的乘积。例5．是否存在自然数n，使得n2+n+7是35的倍数？解：观察得n2+n+7=n(n+1)+7，n(n+1)是
两个相邻自然数的乘积，它的个位数字只能是0、2、6，这样n2+n+7的个位数字只能是7、9、3，不会是5，所以不存在
这样的自然数n使得n2+n+7是35的倍数。例6．不论n是怎样的自然数，3×(5n+1)都不可能是两个连续自然数的乘积。解：对于5
n，它的个位数字是5，5n+1的个位数字是6，于是3×(5n+1)的个位数字一定是8，不等于0、2或6，所以3×(5
n+1)不可能是两个连续自然数的乘积。例7．若n!+4是两个连续自然数的乘积，请找出所有这种自然数n。解：我们知道5！=120，
所以所有大于5的自然数的阶乘的个位数字都是0，它们加上4之后的个位数字是4，不可能是两个连续自然数的乘积。于是只要研究n=
1、2、3、4这四种情况就可以了。当n=1时，1+4=5；当n=2时，2+4=6=2×3；当n=3时，6+4=10；
当n=4时，24+4=28；综上所述只有n=2时符合要求。五．关于完全平方数的几个结论我们已经知道，个位数字为2、3、7、8
的自然数不可能是完全平方数。其实一个整数是否为完全平方数还可以用其他的方法来判断。例如，我们可以将完全平方数逐个列出：1、4
、9、16、25、36、49、64、81、100、121、……、10000，……。在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
即如果n2完全平方数。1．任何偶数的平方必为4的倍数，可以表示为4k的形式；任何奇数的平方必为4的倍数加1，可以表示为4k+1的形式。任
何整数被4除，只有四种可能，即余数是0、1、2、3。或者说整数只有4k、4k+1、4k+2、4k+3(k为整数)四种形式。显然形
如4k+2和4k+3的整数不是完全平方数。2．任何整数被3除，只有三种可能，即余数是0、1、2。或者说整数只有3k、3k+1、
3k+2(k为整数)三种形式。形如3k的整数平方后仍是3的倍数；形如3k+1的整数平方后仍是3的倍数加1；形如3k+2的整数
平方后必为3的倍数加1；即任何整数平方后只可能是3k或3k+1的形式，形如3k+2形式的数一定不是完全平方数。3．任何整数被5除
，只有五种可能，即余数是0、1、2、3、4。或者说整数只有5k、5k+1、5k+2、5k+3、5k+4(k为整数)五种形式。形如
5k的整数平方后仍是5的倍数；形如5k+1和5k+4的整数平方后必为5的倍数加1；形如5k+2和5k+3的整数平方后必为5的倍
数加4；4．考察完全平方数的各位和十位上的数字。由42=16、62=36、82=64、102=100、122=144、52=25
、72=49、92=81、112=121、132=169。可以发现完全平方数的个位数字为奇数时，其十位数字必为偶数；完全平方
数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。例8．用300个2和若干个0组成的整数有没有可能是完全平方数？解：如果一个一个去试，则会非
常麻烦。我们从这个数被3除的余数出发来考虑。由于这个数是由300个2和若干个0组成的，其各位数字的和为600，600÷3
=200，所以该数能被3整除，但600÷9=66……6，所以该数不能被9整除，也就是说该数含有3这个约数，而没有32=9这个
约数，所以它不是完全平方数。练习题01．71993+81994+91995的个位数字是。2．1111990×1121991×
1131992×1141993的个位数字是。23．110+210+310+410+510+610+710+810+910+101
0的个位数字是。54．一箱水果，如果将它每5个一份分装在小圆盒内，最后还剩2个，问这箱水果的总个数是否是完全平方数。提示：形如5
k+2的数不是完全平方数。5．1！+2！+3！+……+100！的个位数字是。36．证明：对于任何的自然数n，n(n+1)都不可
能是完全平方数。提示：n2+2(k为整数)的数，平方之后都是3的倍数加1的数；8．证明：如果a不能被5整除，那么a4–1能被5整除。提示：不能被5整除的数，四次方之后的个位数字为1或6；9．求一个四位数，使它的前两位数字相同，后两位数字也相同，且这个四位数是完全平方数。7744=882下课了！一般地，an表示n个a相乘（n为整数）：。这种求n个相同乘数乘积的运算叫做乘方。例9．证明11、111、1111、……、，这一串数中没有完全平方数。由于奇数的完全平方数的十位数字一定是一个偶数，而的十位数字却是一个奇数1，所以不是完全平方数。证明：由于是一个奇数，所以如果它是完全平方数，那么一定应该是一个奇数的完全平方数。 |
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