第一部分论方法高考总复习·二轮专题·数学·理第页高考调研第页第一部分专题1高考总复习·二轮专题·数学·理第一部分论方法专题1函数与方程思想第一部分论方法高考总复习·二轮专题·数学·理第页高考调研第页第一部分专题1高考总复习·二轮专题·数学·理A1D＝＝，
SA1BC＝A1D·BC＝.
从而三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝S直·l＝SA1BC·AA1＝.
因为x＝＝，
故当x＝＝.
即AA1＝时，体积V取到最大值.
【解析】f(x)＝(cosx－sinx)×(sinx＋cosx)－2asinx＋b＝(cos2x－sin2x)－2asinx＋b
＝－sin2x－2asinx＋b＋
＝－(sinx＋a)2＋a2＋b＋.
a>0，－a<0.
若－a≤－1，即a≥1时，
则当sinx＝1时，f(x)取得最小值－2a＋b－.
当sinx＝－1时，f(x)取得最大值2a＋b－.
由题意知
综上可知a＝，b＝－1.
(2)(2014·江苏)在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是________．
【答题模板】若点在曲线上，则坐标适合解析式．若切线与已知直线平行，则斜率相等，建立关于a，b的方程组进行求解．
【典例7】(2014·山东潍坊高三期末考试)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，P是椭圆上一点，且PF1F2面积的最大值等于2.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线y＝2上是否存在点Q，使得从该点向椭圆所引的两条切线相互垂直？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由．
因为BAD＝，故OA＝AB·cos＝，OB＝AB·sin＝1.
所以O(0,0,0)，A(，0,0)，B(0,1,0)，C(－，0,0)，＝(0,1,0)，＝(－，－1,0)．
由BM＝，BC＝2，知＝＝.
从而＝＋＝，即M.
故所求二面角A－PM－C的正弦值为.
(2)由(1)知，＝，＝，＝.设平面APM的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，平面PMC的法向量为n2＝(x2，y2，z2)．
由n1·＝0，n1·＝0，得研究一些数学思想和方法吧！它将会使你站在一个崭新的高度去审视问题．只有熟练地掌握数学的思想和方法，才能使你在解答高考综合题时左右逢源、游刃有余！
“数学思想方法”是数学的灵魂，要熟练掌握通性通法，才是穿越高考的关键．所有的高考试题都可以用基本思想方法求解，可以采用常用技巧，但对于有些比较难以掌握的技巧与方法则应淡化甚至放弃.
c
一、函数思想
就是用运动和变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，并用函数的解析式将其表示出来，从而通过研究函数的图像和性质，使问题获解．
二、方程思想
就是分析数学中的变量间的等量关系，构建方程或方程组，转化为对方程的解的讨论，从而使问题获解．
三、函数思想与方程思想的联系
函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来解决，方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f(x)＝0，就是求函数y＝f(x)的零点，解不等式f(x)>0(或f(x)<0)，就是求函数y＝f(x)的正(或负)区间，再如方程f(x)＝g(x)的解的问题可以转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)的交点问题，也可以转化为函数y＝f(x)－g(x)与x轴的交点问题，方程f(x)＝a有解，当且仅当a属于函数f(x)的值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重要.
【典例1】(2014·重庆)若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．
【答题模板】(1)审题知本题为恒成立问题；
(2)联想恒成立问题常用方法：分离参数法(本题已分离)；
(3)求|2x－1|＋|x＋2|的最小值；
(4)解关于a的不等式得a的范围．
类型一利用函数思想确定参数范围
【解析】设y＝|2x－1|＋|x＋2|＝
当x<－2时，y＝－3x－1>5；当－2≤x<时，y＝－x＋3>；当x≥时，y＝3x＋1≥.故函数y＝|2x－1|＋|x＋2|的最小值为.因为不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，所以≥a2＋a＋2.解不等式≥a2＋a＋2，得－1≤a≤，故a的取值范围是.
【答案】
【对点练1】(2014·“北约”自主招生试题)如果f(x)＝lg(x2－2ax＋a)的值域为R，求实数a的取值范围．
【解析】由题意知x2－2ax＋a能够取遍所有正数．即函数g(x)＝x2－2ax＋a有零点，所以Δ＝4a2－4a≥0解得a≤0或a≥1.即a的取值范围是(－∞，0][1，＋∞)．
【典例2】若方程cos2x－sinx＋a＝0在(0，]上有解，则实数a的取值范围为________．
【答题模板】―→
【解析】由cos2x－sinx＋a＝0，得a＝sin2x＋sinx－1.
问题变成求函数a＝sin2x＋sinx－1在x(0，]时的值域问题．
a＝(sinx＋)2－，
而0
【答案】(－1,1]
【对点练2】(2014·衡水模拟)方程m＋＝x有解，则实数m的最大值为()
A．1B．0
C．－1D．－2
【解析】由原式得m＝x－，设＝t(t≥0)，
则m＝1－t2－t＝－(t＋)2.
m＝－(t＋)2在[0，＋∞)上是减函数．
t＝0时，m的最大值为1.
【答案】A
【典例3】(2014·新课标全国)已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．
(1)求E的方程；
(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程．
类型二利用函数思想求最值
【答题模板】(1)用待定系数法求出a，b，进而求出椭圆的方程；
(2)设出直线方程，代入椭圆方程，设而不求，利用根与系数的关系转化，从而建立面积的目标函数；
(3)利用二次函数、不等式、导数求解．
【解析】(1)设F(c,0)，由条件知，＝，得c＝.
又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.
故E的方程为＋y2＝1.
(2)当lx轴时，不合题意．
故设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
将y＝kx－2代入＋y2＝1，得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.
当Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>时，x1,2＝.
从而|PQ|＝|x1－x2|＝.
又点O到直线PQ的距离d＝，
所以OPQ的面积SOPQ＝d|PQ|＝.
设＝t，则t>0，SOPQ＝＝.
因为t＋≥4，当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立，且满足Δ>0，
所以当OPQ的面积最大时l的方程为y＝x－2或y＝－x－2.
【对点练3】(2014·北京)已知椭圆C：x2＋2y2＝4.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OAOB，求线段AB长度的最小值．
【答题模板】(1)把椭圆方程化为标准形式，确定a，b，c的值，由公式求离心率；
(2)设点A，B的坐标分别为(t,2)，(x0，y0)，由OAOB，把t用x0，y0表示出来．利用两点间距离公式表示|AB|，并由点B在椭圆上，把|AB|化为只含有x0一个变量的函数式，根据x0的取值范围确定最值．
【解析】(1)由题意，得椭圆C的标准方程为＋＝1.
a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.
因此a＝2，c＝.
故椭圆C的离心率e＝＝.
(2)设点A，B的坐标分别为(t,2)，(x0，y0)，其中x0≠0.
因为OAOB，所以·＝0，即tx0＋2y0＝0，解得t＝－.
又x＋2y＝4，所以|AB|2＝(x0－t)2＋(y0－2)2＝(x0＋)2＋(y0－2)2＝x＋y＋＋4＝x＋＋＋4＝＋＋4(0
因为＋≥4(0
所以|AB|2≥8.
故线段AB长度的最小值为2.
【典例4】(2014·江西)
如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1BC，A1BBB1.
(1)求证：A1CCC1；
(2)若AB＝2，AC＝，
BC＝，问AA1为何值时，三棱柱ABC－A1B1C1体积最大，并求此最大值．
【答题模板】(1)利用直线与平面垂直的判定与性质证明线线垂直；
(2)设AA1＝x，建立目标函数V(x)；
(3)利用配方法求最大值．
【解析】(1)由AA1BC，知BB1BC.
又BB1A1B，且A1B∩BC＝B，
故BB1平面BCA1，即BB1A1C.
又BB1CC1，所以A1CCC1.
(2)方法一设AA1＝x，
在RtA1BB1中，A1B＝＝.
同理，A1C＝＝.在A1BC中，cosBA1C＝＝－，sinBA1C＝，
所以SA1BC＝A1B·A1C·sinBA1C＝.
从而三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝S直·l＝SA1BC·AA1＝.
因为x＝＝，
故当x＝＝，即AA1＝时，体积V取到最大值.
方法二过A1作BC的垂线，垂足为D，连接AD.
由AA1BC，A1DBC，故BC平面AA1D，BCAD.
又BAC＝90°，
所以SABC＝AD·BC＝AB·AC.
所以AD＝.
设AA1＝x，在RtAA1D中，
【对点练4】已知正四棱锥的体积为，则正四棱锥的侧棱长的最小值为()
A．2B．2
C．2D．4
【解析】如图所示，设正四棱锥的底面边长为a，高为h.
则该正四棱锥的体积V＝a2h＝，故a2h＝32，即a2＝.
则其侧棱长为
l＝＝.
令f(h)＝＋h2，
则f′(h)＝－＋2h＝，
令f′(h)＝0，解得h＝2.
显然当h(0,2)时，f′(h)<0，f(h)单调递减；
当h(2，＋∞)时，f′(h)>0，f(h)单调递增．
所以当h＝2时，f(h)取得最小值f(2)＝＋22＝12.
故其侧棱长的最小值l＝＝2.
【答案】A
【典例5】(2013·浙江)设e1，e2为单位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，yR.若e1，e2的夹角为，则的最大值等于________．
【答题模板】―→
【解析】当x＝0时，＝0，当x≠0时，()2＝＝＝≤4，所以的最大值是2，当且仅当＝－时取得最大值．
【答案】2
【对点练5】若数列{an}的通项公式为an＝×()n－3×()n＋()n(其中nN)，且该数列中最大的项为am，则m＝________.
【答题模板】
【解析】令x＝()n，则0
构造f(x)＝x3－3x2＋x，x(0，]，
所以f′(x)＝8x2－6x＋1.
令f′(x)＝0，解得x1＝，x2＝.
所以f(x)在(0，]上为增函数，在(，]上为减函数．
所以f(x)max＝f()，即当x＝时，f(x)最大．
所以当n＝2时，an取得最大值，即m＝2.
【答案】2
【典例6】(1)(2014·“华约”自主招生试题)函数f(x)＝(cosx－sinx)sin(x＋)－2asinx＋b(a>0)的最大值为1，最小值为－4，求a，b的值．
【答题模板】化简f(x)，利用最值建立关于a，b的方程组进行求解．
类型三利用方程思想求值
若－1<－a<0，即0
则当sinx＝－a时，f(x)取得最大值a2＋b＋.
当sinx＝1时，f(x)取得最小值－2a＋b－.
由题意知解得a＝－1±(舍去)．
【解析】y＝ax2＋的导数为y′＝2ax－，
直线7x＋2y＋3＝0的斜率为－.
由题意得解得
则a＋b＝－3.
【答案】－3
【对点练6】(1)(2014·新课标全国卷)设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝()
A．1B．2
C．3D．5
【解析】分别把两个模平方后相减可得数量积a·b的值．
|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，
|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，
将上面两式左右两边分别相减，得4a·b＝4.
a·b＝1.
【答案】A
(2)(2014·天津)设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为________．
【解析】根据等差数列的前n项和公式求出S1，S2，S4的表达式，然后利用等比数列的性质求解．
等差数列{an}的前n项和为Sn＝na1＋d，
所以S1，S2，S4分别为a1,2a1－1,4a1－6.
因为S1，S2，S4成等比数列，
所以(2a1－1)2＝a1·(4a1－6)，解方程得a1＝－.
【答案】－
【答题模板】(1)利用离心率、面积最大值等条件(别忘记隐含条件：a2＝b2＋c2)建立a，b，c的方程组求解，从而确定方程；
(2)直线与椭圆相切，将方程联立得方程组，消元得关于x(或y)的方程，利用判别式为零求解．
【解析】(1)因为点P在椭圆上，所以－b≤yP≤b.
因此当|yP|＝b时，PF1F2面积最大，且最大值为
|F1F2|·|yP|＝·2c·b＝bc＝2.
又离心率为，即＝.
由解得a2＝4，b2＝c2＝2.
所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)假设直线y＝2上存在点Q满足题意，设Q(m,2)．
显然，当m＝±2时，从Q点所引的两条切线不垂直，
当m≠±2时，设过点Q向椭圆所引的切线l的斜率为k，
则l的方程为y＝k(x－m)＋2.
由消去y，整理得
(1＋2k2)x2－4k(mk－2)x＋2(mk－2)2－4＝0.
因为Δ＝16k2(mk－2)2－4(1＋2k2)[2(mk－2)2－4]＝0，
所以(m2－4)k2－4mk＋2＝0.()
设两切线的斜率分别为k1，k2，显然k1，k2是方程()的两根，故k1k2＝＝－1，解得m＝±，点Q坐标为(，2)或(－，2)．
所以直线y＝2上存在两点(，2)和(－，2)满足题意．
【对点练7】(2014·天津)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|＝|F1F2|.
(1)求椭圆的离心率；
(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过点F2的直线l与该圆相切于点M，|MF2|＝2，求椭圆的方程．
【答题模板】(1)根据条件转化为关于a，c的关系式求解；
(2)设出P点坐标，根据点F1在圆上可知·＝0，又点P在椭圆上，从而表示出点P的坐标，从而可知圆心的坐标，然后解RtTF2M求出c2的值．
【解析】(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0)．
由|AB|＝|F1F2|，可得a2＋b2＝3c2.
又b2＝a2－c2，则＝.
所以椭圆的离心率e＝.
(2)由(1)知a2＝2c2，b2＝c2，
故椭圆方程为＋＝1.
设P(x0，y0)，由F1(－c,0)，B(0，c)，
有＝(x0＋c，y0)，＝(c，c)．
由已知，有·＝0，即(x0＋c)c＋y0c＝0.
又c≠0，故有x0＋y0＋c＝0.
因为点P在椭圆上，故＋＝1.
由和可得3x＋4cx0＝0.
而点P不是椭圆的顶点，故x0＝－c.
代入得y0＝，即点P的坐标为.
设圆的圆心为T(x1，y1)．
则x1＝＝－c，y1＝＝c，
进而圆的半径r＝＝c.
由已知，有|TF2|2＝|MF2|2＋r2.又|MF2|＝2，故有2＋2＝8＋c2，解得c2＝3.
所以所求椭圆的方程为＋＝1.
【典例8】(2014·重庆)
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO底面ABCD，AB＝2，BAD＝，M为BC上一点，且BM＝，MPAP.
(1)求PO的长；
(2)求二面角A－PM－C的正弦值．
【答题模板】(1)建立空间直角坐标系，设P点坐标为(0,0，a)，利用MPAP建立关于a的方程，求PO的长；
(2)利用解方程组先求两个半平面的法向量，然后用公式求二面角的余弦值，再利用平方关系求正弦值．
【解析】
(1)如图，连接AC，BD，因为ABCD为菱形，则AC∩BD＝O，且ACBD.以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系O－xyz.
设P(0,0，a)，a＞0，则＝(－，0，a)，＝.
因为MPAP，故·＝0，即－＋a2＝0，所以a＝或a＝－(舍去)，即PO＝.
故可取n1＝.
由n2·＝0，n2·＝0，得
故可取n2＝(1，－，－2)．
从而法向量n1，n2的夹角的余弦值为cos〈n1，n2〉＝＝－.
【对点练8】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱BC的中点，试在棱CC1上求一点P，使得平面A1B1P平面C1DE.则CPPC1＝________.
【解析】如图所示，以D为原点，直线DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
设正方体的棱长为1，CP＝a，
则P(0,1，a)，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，E(，1,0)，C1(0,1,1)．
＝(0,1,0)，＝(－1,1，a－1)，
＝(，1,0)，＝(0,1,1)．
设平面A1B1P的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则即
令z1＝1，得x1＝a－1.
n1＝(a－1,0,1)．
设平面C1DE的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
则即
令x2＝－2，y2＝1，z2＝－1，n2＝(－2,1，－1)．
平面A1B1P平面C1DE，
∴n1·n2＝0，－2(a－1)－1＝0，得a＝.
当P为C1C的中点时，平面A1B1P平面C1DE.
【答案】11
【典例9】(1)若不等式ax2＋bx＋2>0的解为－
【答题模板】先由“三个二次”和根与系数的关系求出a，b的值，则不等式2x2＋bx＋a<0易解．
类型四利用方程解不等式、求参数的值、范围
【解析】由题意，知－和是一元二次方程ax2＋bx＋2＝0的两根且a<0，
所以解得
则不等式2x2＋bx＋a<0，即2x2－2x－12<0，其解集为{x|－2
【答案】{x|－2
(2)若a，b是正数，且满足ab＝a＋b＋3，求ab的取值范围．
【解析】若设ab＝t，则a＋b＝t－3.
所以a，b可看成方程x2－(t－3)x＋t＝0的两个正根．
从而有
即解得t≥9，即ab≥9.
所以ab的取值范围是[9，＋∞)．
【对点练9】(1)(2014·辽宁)已知f(x)为偶函数，当x≥0时，f(x)＝则不等式f(x－1)≤的解集为()
A.∪
B.∪
C.∪
D.∪
【答题模板】在有意义的条件下，不等式解集区间的端点值是对应方程的根；验证选项的区间端点值是否满足方程f(x－1)＝.
【解析】当x＝时，f(x－1)＝f(－)＝f()＝2×－1＝.满足方程，排除C，D两项；当x＝时，f(x－1)＝f()＝cos＝.满足方程，排除B项．
【答案】A
(2)(2014·湖南)若关于x的不等式|ax－2|<3的解集为，则a＝________.
【答题模板】利用不等式解集区间的端点值在有意义条件下，是对应方程的根，建立关于a的方程组，求解．
【解析】据题意－和是方程|ax－2|＝3的两个根，∴∴a＝－3.
【答案】－3
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