三角函数（保存版）
直角三角形中
当平面上的三点A、B、C的连线，AB、AC、BC，构成一个HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/8935.htm"\t"_blank"直角三角形，其中∠ACB为HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/353238.htm"\t"_blank"直角。对∠BAC而言，HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/3454270.htm"\t"_blank"对边（opposite）a=BC、HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/2508575.htm"\t"_blank"斜边（hypotenuse）c=AB、邻边（adjacent）b=AC，则存在以下关系：
基本函数英文缩写表达式语言描述HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/536305.htm"\t"_blank"正弦函数Sinesina/c∠A的对边比斜边HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/536314.htm"\t"_blank"余弦函数cosinecosb/c∠A的邻边比斜边HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/629220.htm"\t"_blank"正切函数Tangenttana/b∠A的对边比邻边HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/629484.htm"\t"_blank"余切函数Cotangentcotb/a∠A的邻边比对边HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/629136.htm"\t"_blank"正割函数Secantsecc/b∠A的斜边比邻边HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/1369804.htm"\t"_blank"余割函数Cosecantcscc/a∠A的斜边比对边注：HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/611239.htm"\t"_blank"tan、HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/1421321.htm"\t"_blank"cot曾被写作tg、ctg，现已不用这种写法。
变化情况
HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/295487.htm"\t"_blank"正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；
HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/536279.htm"\t"_blank"正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；
HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/536271.htm"\t"_blank"正割值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余割值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）。
任意角三角函数定义：
如图：在HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/71628.htm"\t"_blank"平面直角坐标系中设O-x为HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/1431218.htm"\t"_blank"任意角α的始边，在角α终边上任取一点P（x，y），令OP=r.
sinα=y/rcosα=x/r
cscα=r/ysecα=r/x
tanα=y/xcotα=x/y
除了上述六个常见的HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/15061.htm"\t"_blank"函数，还有一些不常见的HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/91555.htm"\t"_blank"三角函数：
函数名与常见函数转化关系HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/1212614.htm"\t"_blank"正矢函数versinHYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/1212617.htm"\t"_blank"余矢函数HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/4683450.htm"\t"_blank"半正矢函数HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/4683479.htm"\t"_blank"半余矢函数HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/4886584.htm"\t"_blank"外正割函数HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/4888301.htm"\t"_blank"外余割函数单位圆定义
六个三角函数也可以依据HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/54921.htm"\t"_blank"半径为1HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/189170.htm"\t"_blank"中心为原点的HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/137830.htm"\t"_blank"单位圆来定义。单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/8935.htm"\t"_blank"直角三角形。但是单位圆定义的确允许三角函数对所有HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/71505.htm"\t"_blank"正数和HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/71543.htm"\t"_blank"负数辐角都有定义，而不只是对于在0和π/2HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/84885.htm"\t"_blank"弧度之间的角。它也提供了一个图像，把所有重要的三角函数都HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/407031.htm"\t"_blank"包含了。根据HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/366.htm"\t"_blank"勾股定理，
HYPERLINK"http://baike.baidu.com/picture/91555/91555/0/86d5bac2e920fb200ef477de.html?fr=lemma&ct=single"\o"三角函数"\t"_blank"三角函数
单位圆的HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/5925.htm"\t"_blank"方程是：对于圆上的任意点(x,y)，x2+y2=1
图像中给出了用HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/84885.htm"\t"_blank"弧度度量的一些常见的角:逆时针方向的度量是HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/29397.htm"\t"_blank"正角，而顺时针的度量是HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/29384.htm"\t"_blank"负角。设一个过HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/25440.htm"\t"_blank"原点的线，同x轴正半部分得到一个角θ，并与单位圆相交。这个交点的x和y坐标分别等于cosθ和sinθ。图像中的三角形确保了这个HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/645857.htm"\t"_blank"公式；半径等于斜边且长度为1，所以有sinθ=y/1和cosθ=x/1。单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度，但保持斜边等于1的一种查看无限个三角形的方式。
对于大于2π或小于等于2π的角度，可直接继续绕单位圆旋转。在这种方式下，正弦和余弦变成了周期为2π的HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/447508.htm"\t"_blank"周期函数：对于任何角度θ和任何HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/71484.htm"\t"_blank"整数k。
周期函数的HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/1044776.htm"\t"_blank"最小正周期叫做这个函数的“HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/2170953.htm"\t"_blank"基本周期”。正弦、余弦、正割或余割的基本周期是全圆，也就是2HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/498798.htm"\t"_blank"π弧度或360°；正切或余切的基本周期是半圆，也就是π弧度或180°。上面只有正弦和余弦是直接使用单位圆定义的，其他四个三角函数的定义如图所示。
在HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/629220.htm"\t"_blank"正切函数的图像中，在角kπ附近变化缓慢，而在接近角(k+1/2)π的时候变化迅速。正切函数的图像在θ=(k+1/2)π有垂直HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/152611.htm"\t"_blank"渐近线。这是因为在θ从左侧接进(k+1/2)π的时候函数接近HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/1267007.htm"\t"_blank"正无穷，而从右侧接近(k+1/2)π的时候函数接近负无穷。
三角函数
另一方面，所有基本三角函数都可依据中心为O的单位圆来定义，类似于历史上使用的HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/15136.htm"\t"_blank"几何定义。特别是，对于这个圆的HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/457671.htm"\t"_blank"弦AB，这里的θ是对向角的一半，sinθ是AC（半弦），这是印度的HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/126762.htm"\t"_blank"阿耶波多介入的定义。cosθ是水平距离OC，versinθ=1-cosθ是CD。tanθ是通过A的HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/36416.htm"\t"_blank"切线的HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/476943.htm"\t"_blank"线段AE的长度，所以这个函数才叫HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/536279.htm"\t"_blank"正切。cotθ是另一个切线段AF。secθ=OE和cscθ=OF是割线（与圆相交于两点）的线段，所以可以看作OA沿着A的切线分别向水平和垂直轴的HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/550991.htm"\t"_blank"投影。DE是exsecθ=secθ-1（正割在圆外的部分）。通过这些构造，容易看出HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/536271.htm"\t"_blank"正割和正切函数在θ接近π/2的时候发散，而余割和余切在θ接近零的时候发散。
依据单位圆定义，我们可以做三个HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/845172.htm"\t"_blank"有向线段（HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/77260.htm"\t"_blank"向量）来表示正弦、余弦、正切的值。如图所示，圆O是一个单位圆，P是α的HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/3077349.htm"\t"_blank"终边与单位圆上的交点，M点是P在x轴的HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/550991.htm"\t"_blank"投影，A(1,0)是圆O与x轴HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/1102709.htm"\t"_blank"正半轴的交点，过A点做过圆心O的HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/36416.htm"\t"_blank"切线。
那么向量MP对应的就是α的HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/1394394.htm"\t"_blank"正弦值，向量OM对应的就是余弦值。OP的HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/3177371.htm"\t"_blank"延长线（或HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/5204773.htm"\t"_blank"反向延长线）与l的交点为T，则向量AT对应的就是HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/3290991.htm"\t"_blank"正切值。向量的起止点不能颠倒，因为其方向是有意义的。
借助线三角函数线，我们可以观察到HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/9656353.htm"\t"_blank"第二象限角α的正弦值为正，HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/303443.htm"\t"_blank"余弦值为负，HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/536279.htm"\t"_blank"正切值为负。
特殊角HYPERLINK"http://baike.baidu.com/link?url=iVySxibDGyISgM7UBmxMFSKgIjrCccA8WVE7ZBiPYmTvapcLCjba8FrYJv8jJBo7UKQ3SbAN-Po36qEtxsMGu_"\o"编辑本段"编辑
在三角函数中，有一些特殊角，例如30°、45°、60°，这些角的三角函数值为简单HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/353.htm"\t"_blank"单项式，计算中可以直接求出具体的值。
这些函数的值参见下表格：
5
相关定理HYPERLINK"http://baike.baidu.com/link?url=iVySxibDGyISgM7UBmxMFSKgIjrCccA8WVE7ZBiPYmTvapcLCjba8FrYJv8jJBo7UKQ3SbAN-Po36qEtxsMGu_"\o"编辑本段"编辑
三角函数，正如其名称那样，在HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/187604.htm"\t"_blank"三角学中是十分重要的，主要是因为正弦定理与余弦定理。
同时在解决物理中的力学问题时也很重要，主要在于力与力之间的转换，并列出平衡方程。
正弦定理
对于边长为a,b和c而相应角为A,B和C的三角形，有：
sinA/a=sinB/b=sinC/c
也可表示为：
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
变形：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC
其中R是三角形的外接圆半径。
它可以通过把三角形分为两个直角三角形并使用上述正弦的定义来证明。在这个定理中出现的公共数(sinA)/a是通过A,B和C三点的圆的HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/79326.htm"\t"_blank"直径的倒数。正弦定理用于在一个三角形中（1）已知两个角和一个边求未知边和角（2）已知两边及其一边的对角求其他角和边的问题。这是三角测量中常见情况。
余弦定理
对于边长为a、b、c而相应角为A、B、C的三角形，有：
a2=b2+c2-2bc·cosA
b2=a2+c2-2ac·cosB
c2=a2+b2-2ab·cosC
也可表示为：
cosC=（a2+b2－c2）/2ab
cosB=（a2+c2-b2）/2ac
cosA=（c2+b2-a2）/2bc
这个定理也可以通过把三角形分为两个直角三角形来证明。余弦定理用于在一个三角形的两个边和一个角已知时确定未知的数据。
如果这个角不是两条边的夹角，那么三角形可能不是唯一的（边-边-角）。要小心余弦定理的这种歧义情况。
物理力学方面的平行四边形定则中也会用到相关知识。
延伸定理：第一余弦定理（任意三角形射影定理）
设△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有
a=b·cosC+c·cosB，b=c·cosA+a·cosC，c=a·cosB+b·cosA
正切定理
对于边长为a,b和c而相应角为A,B和C的三角形，有：
(a+b)/(a-b)=tan[(A+B)/2]/tan[(A-B)/2]
广义射影定理
三角形中任意一边等于其他两边以及对应角余弦的交叉乘积的和，即a=ccosB+bcosC
三角恒等式
对于任意非直角三角形中,如三角形ABC,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
证明：
已知(A+B)=(π-C)
所以tan(A+B)=tan(π-C)
则(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)
整理可得
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
类似地，我们同样也可以求证:当α+β+γ=nπ(n∈Z)时，总有tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ。
诱导公式HYPERLINK"http://baike.baidu.com/link?url=iVySxibDGyISgM7UBmxMFSKgIjrCccA8WVE7ZBiPYmTvapcLCjba8FrYJv8jJBo7UKQ3SbAN-Po36qEtxsMGu_"\o"编辑本段"编辑
公式内容
三角函数十组推导公式公式一公式二sin（2kπ+α）=sinα
cos（2kπ+α）=cosα
tan（2kπ+α）=tanα
cot（2kπ+α）=cotα
sec（2kπ+α）=secα
csc（2kπ+α）=cscαsin（π+α）=－sinα
cos（π+α）=－cosα
tan（π+α）=tanα
cot（π+α）=cotα
sec（π+α）=－secα
csc（π+α）=－cscα公式三公式四sin（－α）=－sinα
cos（－α）=cosα
tan（－α）=－tanα
cot（－α）=－cotα
sec(-α)=secα
csc(-α)=-cscαsin（π－α）=sinα
cos（π－α）=－cosα
tan（π－α）=－tanα
cot（π－α）=－cotα
sec(π-α)=-secα
csc(π-α)=cscα公式五公式六sin（α-π）=－sinα
cos（α-π）=－cosα
tan（α-π）=tanα
cot（α-π）=cotα
sec(α-π)=-secα
csc(α-π)=－cscαsin（2π－α）=－sinα
cos（2π－α）=cosα
tan（2π－α）=－tanα
cot（2π－α）=－cotα
sec(2π-α)=secα
csc(2π-α)=-cscα公式七公式八sin（π/2+α）=cosα
cos（π/2+α）=－sinα
tan（π/2+α）=－cotα
cot（π/2+α）=－tanα
sec(π/2+α)=-cscα
csc(π/2+α)=secαsin（π/2－α）=cosα
cos（π/2－α）=sinα
tan（π/2－α）=cotα
cot（π/2－α）=tanα
sec(π/2-α)=cscα
csc(π/2-α)=secα公式九公式十sin（3π/2+α）=-cosα
cos（3π/2+α）=sinα
tan（3π/2+α）=－cotα
cot（3π/2+α）=－tanα
sec(3π/2+α)=cscα
csc(3π/2+α)=-secαsin（3π/2－α）=－cosα
cos（3π/2－α）=－sinα
tan（3π/2－α）=cotα
cot（3π/2－α）=tanα
sec(3π/2-α)=-cscα
csc(3π/2-α)=-secα推导方法
定名法则
90°的奇数倍+α的三角函数，其HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/220956.htm"\t"_blank"绝对值与α三角函数的绝对值互为HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/1536692.htm"\t"_blank"余函数。90°的HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/20858.htm"\t"_blank"偶数倍+α的三角函数与α的三角函数绝对值相同。也就是“奇余偶同，奇变偶不变”。
定号法则
将α看做锐角（注意是“看做”），按所得的角的象限，取三角函数的符号。也就是“象限定号，符号看象限”。（或为“奇变偶不变，符号看象限”)。
在Kπ/2中如果K为偶数时函数名不变，若为奇数时函数名变为相反的函数名。HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/2114114.htm"\t"_blank"正负号看原函数中α所在HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/579171.htm"\t"_blank"象限的正负号。关于正负号有个口诀；一全正二正弦，三正切四余弦，即第一象限全部为正，第二象限角正弦为正，第三为正切为正，第四象限余弦为正。或简写为“ASTC”，即“all”“sin”“tan”“cos”依次为正。还可简记为：sin上cos右tan对角，即sin的正值都在x轴上方，cos的正值都在y轴右方，tan的正值斜着。
比如：90°+α。定名：90°是90°的HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/20853.htm"\t"_blank"奇数倍，所以应取余函数；定号：将α看做锐角，那么90°+α是第二象限角，第二象限角的正弦为正，余弦为负。所以sin(90°+α)=cosα,cos(90°+α)=-sinα这个非常神奇，屡试不爽~
还有一个口诀“纵变横不变，符号看象限”，例如：sin(90°+α)，90°的终边在纵轴上，所以函数名变为相反的函数名，即cos，所以sin(90°+α)=cosα。
三角恒等式HYPERLINK"http://baike.baidu.com/link?url=iVySxibDGyISgM7UBmxMFSKgIjrCccA8WVE7ZBiPYmTvapcLCjba8FrYJv8jJBo7UKQ3SbAN-Po36qEtxsMGu_"\o"编辑本段"编辑
两角和与差
内容
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ
sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
证明
取直角坐标系，作单位圆
取一点A，连接OA，与X轴的夹角为α取一点B，连接OB，与X轴的夹角为β，OA与OB的夹角即为α-β
A（cosα,sinα),B(cosβ,sinβ)OA=(cosα,sinα)OB=(cosβ,sinβ)
OA·OB
=|OA||OB|cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
|OA|=|OB|=1
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
和差化积
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
积化和差
sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
倍角公式
sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)
cos(2α)=(cosα)2-(sinα)2=2(cosα)2-1=1-2(sinα)2
tan(2α)=2tanα/[1-(tanα)2]
cot(2α)=(cot2α-1)/(2cotα)
sec(2α)=sec2α/(1-tan2α)
csc(2α)=1/2secα·cscα
三倍角公式
sin(3α)=3sinα-4sin^3α=4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α)
cos(3α)=4cos^3α-3cosα=4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)
tan(3α)=(3tanα-tan^3α)/(1-3tan2α)=tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α)
n倍角公式
根据欧拉公式(cosθ+isinθ)^n=cosnθ+isinnθ
将左边用二项式定理展开分别整理实部和虚部可以得到下面两组公式
sin(nα)=ncos^(n-1)α·sinα-C(n,3)cos^(n-3)α·sin^3α+C(n,5)cos^(n-5)α·sin^5α-…
cos(nα)=cos^nα-C(n,2)cos^(n-2)α·sin^2α+C(n,4)cos^(n-4)α·sin^4α
半角公式
sin(α/2)=±√[(1-cosα)/2]
cos(α/2)=±√[(1+cosα)/2]
tan(α/2)=±√[(1-cosα)/(1+cosα)]=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα=cscα-cotα
cot(α/2)=±√[(1+cosα)/(1-cosα)]=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cosα)=cscα+cotα
sec(α/2)=±√[(2secα/(secα+1)]
csc(α/2)=±√[(2secα/(secα-1)]
辅助角公式
万能公式
sin(a)=[2tan(a/2)]/[1+tan2(a/2)]
cos(a)=[1-tan2(a/2)]/[1+tan2(a/2)]
tan(a)=[2tan(a/2)]/[1-tan2(a/2)]
降幂公式
sin2α=[1-cos(2α)]/2
cos2α=[1+cos(2α)]/2
tan2α=[1-cos(2α)]/[1+cos(2α)]
三角和
sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ
cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ
tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)÷(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)
幂级数
c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn(n=0..∞)
c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n(n=0..∞)
它们的各项都是HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/464125.htm"\t"_blank"正整数幂的HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/331644.htm"\t"_blank"幂函数,其中c0,c1,c2,...cn...及a都是常数，这种级数称为幂级数。 |
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