www.ks5u.com
www.ks5u.com
2015年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
数学（文科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1、设集合A＝{x|－1＜x＜2}，集合B＝{x|1＜x＜3}，则A∪B＝
(A){x|－1＜x＜3}(B){x|－1＜x＜1}(C){x|1＜x＜2}(D){x|2＜x＜3}
2、设向量a＝(2,4)与向量b＝(x,6)共线，则实数x＝
(A)2(B)3(C)4(D)6
3、某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是
(A)抽签法(B)系统抽样法(C)分层抽样法(D)随机数法
4、设a,b为正实数，则“a＞b＞1”是“”的
(A)充要条件(B)充分不必要条件
(C)必要不充分条件(D)既不充分也不必要条件
5、下列函数中，最小正周期为π的奇函数是
(A)y＝sin(2x＋)(B)y＝cos(2x＋)
(C)y＝sin2x＋cos2x(D)y＝sinx＋cosx
6、执行如图所示的程序框图，输出S的值为
(A)－(B)
(C)－(D)
7、过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于两点，则|AB|＝
(A)(B)2(C)6(D)4
8、某食品保鲜时间（单位：小时）与储藏温度(单位：℃)满足函数关系(e＝2.718…为自然对数的底数，为常数)。若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33℃的保鲜时间是
(A)16小时(B)20小时(C)24小时(D)28小时
9、设实数x,y满足，则的最大值为
(A)(B)(C)12(D)16
10、设直线与抛物线相交于两点，与圆相切于点，且为线段中点，若这样的直线恰有4条，则的取值范围是
(A)(1,3)(B)(1,4)(C)(2,3)(D)(2,4)
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11、设i是虚数单位，则复数＝_____________.
12、的值是_____________.
13、已知，则的值是______________.
14、在三棱柱中，，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形，设点分别是棱的中点，则三棱锥的体积是______.
15、已知函数(其中).
对于不相等的实数，设，，
现有如下命题：
①对于任意不相等的实数，都有；
②对于任意的及任意不相等的实，都有；
③对于任意的，存在不相等的实数，使得；
④对于任意的，存在不相等的实数，使得。
其中真命题有___________________(写出所有真命题的序号)。
三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16、(本小题满分12分)
设数列（n=1,2,3…）的前项和满足，且成等差数列。
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列的前n项和为，求.
17、(本小题满分12分)
一辆小客车上有5个座位，其座位号为1,2,3,4,5，乘客的座位号分别为1，2，3，4，5，他们按照座位号从小到大的顺序先后上车，乘客因身体原因没有坐自己的1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就座：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位；如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中选择座位.
（Ⅰ）若乘客坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法。下表给出其中两种坐法，请填入余下两种坐法（将乘客就座的座位号填入表中空格处）
乘客 座位号 3 2 1 4 5 3 2 4 5 1 （Ⅱ）若乘客坐到了2号座位，其他乘客按规则就座，求乘客坐到5号座位的概率。
18、(本小题满分12分)
一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示。
（Ⅰ）请按字母标记在正方体相应地顶点处（不需说明理由）；
（Ⅱ）判断平面与平面的位置关系，并证明你的结论；
（Ⅲ）证明：直线平面
19、(本小题满分12分)
已知A、B、C为的内角，是关于方程的两个实根.
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）若，求的值
20、(本小题满分13分)
如图，椭圆的离心率是，点在短轴上，且
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于两点。是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由。
21、(本小题满分14分)
已知函数，其中.
（Ⅰ）设为的导函数，讨论的单调性；
（Ⅱ）证明：存在，使得恒成立，且在区间内有唯一解.
参考答案
一、选择题：本题考查基本概念和基本运算。每小题5分，满分50分。
1.A 2.B 3.C 4.A 5.B
6.D 7.D 8.C 9.A 10.D
二、填空题：本题考查基本概念和基本运算。每小题5分，满分25分。
11. 12.2 13.-1 14. 15.①④
三、解答题：共6小题，共75分。
16.本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列通项公式与前项和等基础知识，考查运算求解能力。
解：
（Ⅰ）由已知，有
，
即
从而
又因为成等差数列，即
所以，解得
所以，数列是首项为2，公比为2的等比数列
故
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
所以
17．本题主要考查随机事件的概率、古典概型等概念及相关计算，考查运用概率知识与方法分析和解决实际问题的能力，考查推理论证能力、应用意识。
（Ⅰ）余下两种坐法如下表所示：
乘客 座位号 3 2 4 1 5 3 2 5 4 1
（Ⅱ）若乘客坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，则所有可能的坐法可用下表表示为：
乘客 座位号 2 1 3 4 5 2 3 1 4 5 2 3 4 1 5 2 3 4 5 1 2 3 5 4 1 2 4 3 1 5 2 4 3 5 1 2 5 3 4 1 于是，所有可能的坐法共8种。
设“乘客坐到5号座位”为事件，则事件中的基本事件的个数为4
所以
答：乘客坐到5号座位的概率是
18.本题主要考查简单空间图形的直观图、空间线面平行与垂直的判定与性质等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力。
（Ⅰ）点的位置如图所示。
（Ⅱ）平面平面，证明如下：
因为为正方体，所以，
又，所以，
于是为平行四边形
所以
又平面平面，
所以平面
同理平面
又
所以平面平面
（Ⅲ）连接
因为为正方体，所以平面
因为平面，所以
又，所以平面
又平面，所以
同理
又，
所以平面
19.本题主要考查和角公式、诱导公式、正弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程、化归与转化等数学思想。
（Ⅰ）由已知，方程的判别式
所以或
由韦达定理，有
于是，
从而
所以，
所以
（Ⅱ）由正弦定理，得
，
解得，或（舍去）
于是
则
所以
20.本题主要考查椭圆的标准方程、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想。
（Ⅰ）由已知，点的坐标分别为
又点的坐标为，且，
于是解得
所以椭圆方程为
（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线的方程为的坐标分别为
联立得
其判别式，
所以，
从而，
所以，当时，
此时，为定值
当直线斜率不存在时，直线即为直线
此时，
故存在常数，使得为定值
21.本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想。
（Ⅰ）由已知，函数的定义域为，
，
所以
当时，单调递减；
当时，单调递增
（Ⅱ）由，解得
令，
则
于是，存在，使得
令，其中
由知，函数在区间上单调递增
故
即
当时，有
再由（Ⅰ）知，在区间上单调递增，
当时，，从而；
当时，，从而；
又挡时，
故时，
综上所述，存在，使得恒成立，且在区间内有唯一解。
1/11
|
|
