2015年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）
数学（理工类）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1、已知集合A=,B=，则
A、A=BB、AB=C、ABD、BA
2、在等差数列中，若=4，=2，则=
A、-1B、0C、1D、6
3、重庆市2013年各月的平均气温（）数据的茎叶图如下：
则这组数据的中位数是
A、19B、20C、21.5D、23
4、“”是“”的
A、充要条件B、充分不必要条件
C、必要不充分条件D、既不充分也不必要条件
5、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A、B、
C、D、
6、若非零向量满足，且，则与的夹角为
A、B、
C、D、
7、执行如题（7）图所示的程序框图，若输入K的值为8，则判断框图可填入的条件是
A、B、
C、D、
8、已知直线是圆的对称轴.过点作圆的一条切线，切点为，则
A、2B、C、6D、
9、若，则
A、1B、2C、3D、4
10、设双曲线的右焦点为，过作的垂线与双曲线交于B,C两点，过B,C分别作AC，AB的垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是
A、B、
C、D、
二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.
11、设复数的模为，则________.
12、的展开式中的系数是________(用数字作答).
13、在中，B=，AB=，A的角平分线AD=,则AC=_______.
考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分.
14、如题（14）图，圆的弦相交于点，过点作圆的切线与的延长线交于点，若，，，，则_______.
15、已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程为，则直线与曲线C的交点的极坐标为_______.
16、若函数的最小值为5，则实数_______.
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分）
端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个。
（Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率；
（Ⅱ）设表示取到的豆沙粽个数，求的分布列与数学期望
（18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分）
已知函数
（Ⅰ）求的最小正周期和最大值；
（Ⅱ）讨论在上的单调性.
（19）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问4要，（Ⅱ）小问9分）
如题（19）图，三棱锥中，平面，，.分别为线段上的点，且
（Ⅰ）证明：平面
（Ⅱ）求二面角的余弦值。
（20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问5分）
设函数
（Ⅰ）若在处取得极值，确定的值，并求此时曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若在上为减函数，求的取值范围。
（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）
如题（21）图，椭圆的左、右焦点分别为过的直线交椭圆于两点，且
（Ⅰ）若，求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若求椭圆的离心率
（22）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）
在数列中，
（Ⅰ）若求数列的通项公式；
（Ⅱ）若证明：
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参考答案
一、选择题：每小题5分，满分50分。
1.D 2.B 3.B 4.B 5.A
6.A 7.C 8.C 9.C 10.A
二、填空题：每小题5分，满分25分。
11.3 12. 13.
14.2 15. 16.-6或4
三、解答题：满分75分。
17．（本题13分）
解：（Ⅰ）令表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有
（Ⅱ）的所有可能值为0，1，2，且
，
，
.
综上知，的分布列为
0 1 2 故（个）
18.（本题13分）
解：（Ⅰ）
（Ⅱ）当时，，从而
当，即时，单调递增；
当，即时，单调递减.
综上可知，在上单调递增；在上单调递减.
19.（本题13分）
（Ⅰ）证明：由平面平面，故.
由得为等腰直角三角形，故.
由垂直于平面内两条相交直线，故平面.
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，为等腰直角三角形，.
如图，过作垂直于，易知，又已知，故.
由得，故.
以为坐标原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，则，.
设平面的法向量为，
由，得故可取.
由（Ⅰ）可知平面，故平面的法向量可取为，即.
从而法向量的夹角的余弦值为
，
故所求二面角的余弦值为.
20.（本题12分）
解：（Ⅰ）对求导得
因为在处取得极值，所以，即.
当时，，故，从而在点处的切线方程为，化简得.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知.
令，
由解得
当时，，即，故为减函数；
当时，，即，故为增函数；
当时，，即，故为减函数.
由在上为减函数，知，解得，
故的取值范围为
21.（本题12分）
解：（Ⅰ）由椭圆的定义，，故.
设椭圆的半焦距为，由已知，
因此，
即，从而.
故所求椭圆的标准方程为
（Ⅱ）解法一：如图，设点在椭圆上，且，则
，
求得.
由得，
从而
由椭圆的定义，.
从而由，有.
又由，知，
因此，即，
于是，解得
解法二：如答（21）图，由椭圆的定义，.
从而由，有
又由，知，
因此，得，
从而.
由，知，因此
22.（本题12分）
解：（Ⅰ）由，有.
若存在某个，使得，则由上述递推公式易得.重复上述过程可得，此与矛盾，所以对任意.
从而，即是一个公比的等比数列.
故
（Ⅱ）由，数列的递推关系式变为
，变形为.
由上式及，归纳可得
.
因为，所以对
求和得
另一方面，由上已证的不等式知，得
综上，
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