返回目录第9讲数列求和及数列的简单应用考点考向探究返回目录第9讲数列求和及数列的简单应用考点考向探究返回目录第9讲数列求和及数列的简单应用考点考向探究返回目录第9讲数列求和及数列的简单应用考点考向探究返回目录第9讲数列求和及数列的简单应用考点考向探究返回目录第9讲数列求和及数列的简单应用考点考向探究返回目录第9讲数列求和及数列的简单应用考点考向探究返回目录第9讲数列求和及数列的简单应用考点考向探究返回目录第9讲数列求和及数列的简单应用考点考向探究返回目录第9讲数列求和及数列的简单应用考点考向探究返回目录第9讲数列求和及数列的简单应用考点考向探究返回目录第9讲数列求和及数列的简单应用考点考向探究返回目录——教师备用例题——第9讲数列求和及数列的简单应用返回目录第9讲数列求和及数列的简单应用返回目录第9讲数列求和及数列的简单应用返回目录第9讲数列求和及数列的简单应用返回目录第9讲数列求和及数列的简单应用返回目录第8讲数列、等差数列、等比数列考点考向探究返回目录第8讲数列、等差数列、等比数列考点考向探究返回目录第8讲数列、等差数列、等比数列考点考向探究返回目录第8讲数列、等差数列、等比数列考点考向探究返回目录第8讲数列、等差数列、等比数列考点考向探究返回目录第8讲数列、等差数列、等比数列考点考向探究返回目录第8讲数列、等差数列、等比数列考点考向探究返回目录第8讲数列、等差数列、等比数列考点考向探究返回目录第8讲数列、等差数列、等比数列考点考向探究返回目录第8讲数列、等差数列、等比数列考点考向探究返回目录第8讲数列、等差数列、等比数列考点考向探究返回目录——教师备用例题——第8讲数列、等差数列、等比数列返回目录第8讲数列、等差数列、等比数列返回目录第8讲数列、等差数列、等比数列返回目录第8讲数列、等差数列、等比数列返回目录第8讲数列、等差数列、等比数列返回目录第8讲数列、等差数列、等比数列返回目录第9讲数列求和及数列的简单应用考点考向探究核心知识聚焦第9讲数列求和及数列的简单应用体验高考返回目录主干知识核心知识聚焦第9讲数列求和及数列的简单应用返回目录核心知识聚焦体验高考返回目录主干知识第9讲数列求和及数列的简单应用核心知识聚焦返回目录第9讲数列求和及数列的简单应用核心知识聚焦体验高考返回目录第9讲数列求和及数列的简单应用核心知识聚焦体验高考返回目录主干知识第9讲数列求和及数列的简单应用核心知识聚焦返回目录第9讲数列求和及数列的简单应用核心知识聚焦体验高考返回目录主干知识第9讲数列求和及数列的简单应用核心知识聚焦返回目录——教师知识必备——第9讲数列求和及数列的简单应用返回目录——教师知识必备——第9讲数列求和及数列的简单应用返回目录——教师知识必备——第9讲数列求和及数列的简单应用返回目录考点考向探究第9讲数列求和及数列的简单应用返回目录第9讲数列求和及数列的简单应用考点考向探究返回目录第9讲数列求和及数列的简单应用考点考向探究第8讲数列、等差数列、等比数列第9讲数列求和及数列的简单应用专题三数列第8讲数列、等差数列、等比数列返回目录考点考向探究核心知识聚焦第8讲数列、等差数列、等比数列体验高考返回目录主干知识核心知识聚焦第8讲数列、等差数列、等比数列体验高考返回目录核心知识聚焦体验高考返回目录主干知识第8讲数列、等差数列、等比数列核心知识聚焦体验高考返回目录主干知识第8讲数列、等差数列、等比数列核心知识聚焦体验高考返回目录第8讲数列、等差数列、等比数列核心知识聚焦体验高考返回目录主干知识第8讲数列、等差数列、等比数列核心知识聚焦返回目录——教师知识必备——第8讲数列、等差数列、等比数列返回目录——教师知识必备——第8讲数列、等差数列、等比数列返回目录——教师知识必备——第8讲数列、等差数列、等比数列返回目录——教师知识必备——第8讲数列、等差数列、等比数列返回目录第8讲数列、等差数列、等比数列考点考向探究返回目录第8讲数列、等差数列、等比数列考点考向探究返回目录第8讲数列、等差数列、等比数列考点考向探究返回目录第8讲数列、等差数列、等比数列考点考向探究返回目录第8讲数列、等差数列、等比数列考点考向探究返回目录第8讲数列、等差数列、等比数列考点考向探究返回目录第8讲数列、等差数列、等比数列考点考向探究返回目录第8讲数列、等差数列、等比数列考点考向探究1．[2013·重庆卷]若2，a，b，c，9成，则c－a＝________．
[]
[解析]设公差为d，则d＝＝，所以c－a＝2d＝.
?等差数列关键词：概念如①、基本量、通项公式如②、求和公式．
2．[2014·重庆卷改编]在等差数列{a中，a＝2，a＋a＝10，则________．
[]8
[解析]设公差为d，由题意得a1＋2d＋a1＋4d＝2a1＋6d＝4＋6d＝10，解得d＝1，所以a7＝a1＋6d＝2＋6＝8.
3．[2013·新课标全国卷改编]设首项为1，公比为的等比数列{a的，则S＝________．
[]3－2·
[解析]S＝＝3－2·
?等比数列关键词：概念、基本量、通项公式、求和公式如③.
4．[2013·上海卷]在等差数列中，若a＋a＋a＋a＝30，则________．
[]15
[解析]因为a1＋a2＋a3＋a4＝2(a2＋a3)＝30，所以a2＋a3＝15.
?等差数列与等比数列的性质关键词：在条件m＋n＝p＋q下a，a，a，a的关系，如④⑤.
5．[2014·广东卷]等比数列的各项均为正数，且a＝4，则＝________．
[]5
[解析]在等比数列{a中，a＝a＝a＝4.因为，所以a＝2，所以a＝(a)(a2a4)a3＝a＝2，所以＋＋＋＋＝(a1a2a3a4a5)＝＝5
6．[2014·湖北卷改编]已知递增的，则数列{a的通an＝________．
[]4n－2
?等差数列与等比数列的综合关键词：等差与等比问题融合在一个问题中如⑥.
[解析]设等差数列的公差为d，则d>0.因为a，a，a成等比数列，所以a＝a，即(a＋d)＝a(a1＋4d)，解得d＝4，所以a＝4n－2.
知识必备数列、等差数列、等比数列
数列、等差数列、等比数列 一般数列 概念 按照一定次序排列的一列数．分有穷、无穷、递增、递减、摆动、常数数列等 通项公式 数列{a中的项用一个公式表示，a＝f(n) ＝ 前n项和 S＝a＋a＋…＋a
数列、等差数列、等比数列 简 累加法 an＋1＝a＋f(n) 型 解决递推数列问题的基本思想是“转化”，即转化为两类基本数列等差数列、等比数列求解 累乘法 a＋1＝a(n)型 转化法 a＋1＝pa＋q·p＋1(p≠0，1，q≠0)＝＋q 待定系数法 an＋1＝ca＋d(c≠0，1，d≠0)＋1＋λ＝c(a＋λ)，λ＝
数列、等差数列、等比数列 等差数列 概念 满足a＋1－a＝d(常数)，d＞0递增、d＜0递减、d＝0常数数列 an＝a＋(n－1)d＝a＋(n－m)d a＋a＝a＋a＋n＝p＋q＋a＝2a＋n＝2p 前n项和公式 S＝na＋d＝，S－Sm，S－S，…为等差数列
数列、等差数列、等比数列 等比数列 概念 满足a＋1：a＝q(q≠0且q为常数)，单调性由a的正负q的确定 通项公式 a＝a－1＝a－m＝a＋n＝p＋q＝a＋n＝2p 前n项和公式 S＝公比不等于－1时，，S－S，S－S，…成等比数列
?考一等差数列的计算与证明概念——1.对等差数列概念的理解；2.等差数列的判断与证明
通项——1.求等差数列中的某一项；2.求通项；3.求n
前n项和——1.求等差数列前n项和；2.求通项；3.求基本量题型：选择，填空，解答分值：5－14分
难度：基础热点：求等差数列基本量
例1(1)已知数列{an}，若对任意n∈N满足an＋1＝an＋a2，且a3＝2，则a2014＝()A．2013B．2014
CD．1012
(2)[2014·安徽卷改编]已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，n∈N＋，求证：数列是等差数列．
[答案](1)A
[解在an＋1＝an＋a2中，令n＝1，则a2＝a1＋a2，所以a1＝0.令n＝2，则a3＝2a2，所以a2＝1.于是an＋1－an＝1，故数列是首项为0，公差为1的等差数列，所以a2014＝2013.
(2)由已知可得＝＋1，即－＝1，所以数列是以＝1为首项，1为公差的等差数列．
[小结在等差数列问题中，最基本的量是首项和公差，在解题时根据已知条件求出这两个量，其他的问题也就随之解决了，这就是等差数列的判断或证明，一般是依据等差数列的定义或等差中项进行判断．
变式题(1)设{an}为等差数列，Sn为其前n项和，且a1＋a2＋a5＋a8＝8，则S7＝()
A．13B．14
C．15D．16
(2)已知等差数列{an}单调递增且满足a1＋a10＝4，则a8的取值范围是()
A．(2，4)B．(－∞，2)
C．(2，＋∞)D．(4，＋∞)
[解析](1)因为a1＋a5＝2a3，a2＋a8＝2a5，所以由a1＋a2＋a5＋a8＝8，可得a3＋a5＝4，所以S7＝＝＝14.
(2)a1＋a10＝a3＋a8＝4，由于数列{an}单调递增，所以a3＜a8，所以2a3＜a3＋a8＝4，所以a3＜2，所以a8＝4－a3＞2，即a8的取值范围是(2，＋∞)．
[答案](1)B(2)?考等比数列的基本计算概念——1.等数列概念的理解；2.等数列的判断与证明
通项——1.求等数列中的某一项；2.求通项；3.求n
前n项和——1.求等数列前n项和；2.求通项；3.求基本量题型：选择，填空，解答分值：5－14分
难度：热点：求等数列基本量
例2[2014·新课标全国卷Ⅱ]等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝()
A．n(n＋1)B．n(n－1)
CD．
[解析]由题意，得a2，a2＋4，a2＋12成等比数列，即(a2＋4)2＝a2(a2＋12)，解得a2＝4，故a1＝2，所以Sn＝2n＋×2＝n(n＋1)．
[答案]A
[小结在等比数列问题中，最基本的量是首项和公比，在解题时根据已知条件求出这两个量，其他的问题也就随之解决了，这就是解决等比数列问题的基本量方法，其中蕴含着方程思想的运用．等比数列的判断或证明，一般是依据等比数列的定义或等比中项进行判断．
变式题(1)已知在等比数列{an}中，a1＋a3＝10，a4＋a6＝，则等比数列{an}的公比q的值为()
AB．C．2D．8
(2)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列{bn}中的b3，b4，b5，若数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列是等比数列．
[答案](1)B
[解析]依题意，因为a1＋a3＝10，a4＋a6＝，所以＝＝q3＝，所以q＝.
(2)证明：设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d，
依题意，得a－d＋a＋a＋d＝15，解得a＝5.
所以数列{bn}中的b3，b4，b5依次为7－d，10，18＋d.
依题意，得(7－d)(18＋d)＝100，解得d＝2或d＝－13(舍去)，
故数列{bn}的公比为2，b1＝，
所以数列{bn}的前n项和Sn＝＝5×2n－2－，
即Sn＋＝5×2n－2，所以S1＋＝，
因此数列是以为首项，2为公比的等比数列．
?考数列中递推关系递推数列——1.由递推公式求通项公式；2.由a求a项
与Sn
的关系——1.由a与San；2.由a与S的关系求S
题型：选择，填空分值：4－5分
难度：中等热点：求通项an
例3(1)[2014·新课标全国卷Ⅱ]数列{an}满足an＋1＝，a8＝2，则a1＝________．
(2)单调递增数列的前n项和为Sn，满足Sn＝，则数列{an}的通项公式为________．
[解析](1)由题易知a8＝＝2，得a7＝；a7＝＝，得a6＝－1；a6＝＝－1，得a5＝2，于是可知数列{an}具有周期性，且周期为3，所以a1＝a7＝.
[答案](1)(2)a＝n(2)n＝1时，a1＝，得a1＝1，
当n2时，有Sn－1＝①，
又Sn＝②，
由②－①得an＝，即－a＝0，
所以an－an－1＝1或an＋an－1＝1(n2)．
又因为是单调递增数列，故an－an－1＝1，
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以an＝n.
[小结由含an与Sn的关系式求an，主要是利用公式an＝将式中的Sn或Sn－1转化为an，在使用an＝Sn－Sn－1时需n2，所以一般要验证当n＝1时，a1＝S1是否满足当n2时数列的通项公式．
变式题(1)已知数列满足a1＝0，an＋1＝(n∈N)，则a2014等于()
A．0B．－
CD．2
(2)设Sn是数列{an}的前n项和，a1＝1，S＝an(n2)，则Sn＝________．
[解析](1)经验算有a1＝0，a2＝－，a3＝，a4＝0，a5＝－，可知数列具有周期性，且其周期为3，所以a2014＝a3×671＋1＝a1＝0.
(2)∵S＝an，
∴当n2时，S＝(Sn－Sn－1)，
整理得，Sn－1－Sn＝2Sn－1Sn，所以－＝2，
所以数列是以2为公差的等差数列，其首项为＝1，
所以＝1＋2(n－1)，即Sn＝.
[答案](1)A(2)?考等差、等比数列的综合应用等差、等比数列——求通项；2.求和项；3.求参量
题型：选择，填空，解答分值：5－14分
难度：中等热点：求通项和前n项和
例４[2014·北京卷]已知{an}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{bn}满足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}为等比数列．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)求数列{bn}的前n项和．
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，由题意得
d＝＝＝3.
所以an＝a1＋(n－1)d＝3n(n＝1，2，)．
设等比数列{bn－an}的公比为q，由题意得
q3＝＝＝8，解得q＝2.
所以bn－an＝(b1－a1)qn－1＝2n－1.
从而bn＝3n＋2n－1(n＝1，2，)．
(2)由(1)知bn＝3n＋2n－1(n＝1，2，)．
数列{3n}的前n项和为n(n＋1)，数列{2n－1}的前n项和为1×＝2n－1，
所以，数列{bn}的前n项和为n(n＋1)＋2n－1.
[小结本题需先求出数列{bn－an}的通项，再求数列{bn}的通项．千万不要误认为数列{bn}是等比数列，而直接用公式求解．
变式题在公差不为0的等差数列{an}中，a3＋a10＝15，且a2，a5，a11成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝＋＋＋，试比较bn＋1与bn的大小，并说明理由．
解：(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)．由已知得，
解得a1＝2，d＝1，所以an＝n＋1.
(2)由(1)可知，
bn＝＋＋＋，bn＋1＝＋＋＋.
因为bn＋1－bn＝＋－＝－＞0，
所以bn＋1＞bn.
例1[配例2使用]数列为各项均为正数的等比数列，且a4＝2，已知函数f(x)＝logx，则f(a)＋f＋＋f＝()
A．－6B．－21
C．－12D．21
[备选理由]例1考查等比数列通项的性质问题；例2是对数列是成等差还是成等比数列的综合判断；例3考查数列通项与项的关系，以及数列的证明问题；例4综合考查等差等比数列，以及数列中项的大小比较问题．[解析]f(a)＋f(a)＋＋f(a)＝3(loga1＋loga2＋＋loga7)＝3log(a1a2…a7)＝3loga＝21log2＝－21.
[答案]B
例２[配合例3使用]已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝()
A．2n－1B．
C．D．
[解析]因为a＋1＝S＋1－S，所以由S＝2a＋1，得S＝(Sn＋1－)，整理得3S＝2S＋1易知S，所以＝，所以数列{S是以S＝a＝1为首项，以q＝Sn＝
[答案]B
例3[配例1，例3使用]已知数列的各项为正数，其前n项和Sn满足Sn＝，设bn＝10－an.
(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为Tn，求Tn的最大值．
解：(1n＝1时，a＝S＝，∴a＝1.当n≥2时，a＝S－S－1＝－，即a－a－2a－2a－1＝0，－2a＋1＝a＋2a－1＋1，∴(a－1)＝(a－1＋1)，－a－1＝2，所以数列{a是等差数列，故a＝2n－1.(2)由(1)可知，b＝10－a＝－2n＋11，且b＝9，－b－1＝－2，∴数列{b是等差∴Tn＝＝－n＋10n.当n＝5时，T＝－5＋10×5＝25.故数列{b的前n项和的最大值为25.
解：(1)设等差数列{a的公差为d，由已知可知，解得a＝2，d＝4，an＝2＋(n－1)×4＝4n－2.(2)证明：由题可知T＝1－
例4[配例4使用]已知数列{an}是等差数列，a3＝10，a6＝22，数列{bn}的前n项和是Tn，且Tn＋bn＝1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求证：数列{bn}是等比数列；
(3)记cn＝an·bn，求证：cn＋1＜cn.
令n＝1，得b＝1－，解得b＝，当n2时，T－1＝1－－1由－得b＝－1－，bn＝－1又b＝，＝数列{b是以为首项，为公比的等比数列．(3)证明：由(2)可得，b＝，cn＝a＝，＋1－c＝－＝，故c＋1－c＜0.cn＋1＜c
1．[2014·湖南卷改编]数列{a的通项公式为a＝n，设，则数列{b的前2n项T2n＝________．
[]22n＋1＋n－2
?分组求和关键词：分组后用等差、等比数列求和公式如①.
[解析]由已知，得bn＝2n＋(－1)n·n，所以T2n＝(21＋22＋＋22n)＋(－1＋2－3＋4－＋2n)．
记A＝21＋22＋＋22n，B＝－1＋2－3＋4－＋2n，
则A＝＝22n＋1－2，
B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋＋[－(2n－1)＋2n]＝n.
故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.
2．[2013·江西卷改编]已知a＝2n，，则数列{b的前n项和T＝________．
[]
?裂项求和关键词：裂项相消法求和如②③.
[解析]由已知a＝2n，故b＝＝＝，＝＝＝
[]<
[解析]因为an＝2n－1，所以＋＋＋＝＋＋＋＋＝＝·<.
3．[2013·广东卷改编]数列{an}的通项公式为an＝2n－1，比较＋＋…＋③________.(填“＞”“＜”或“＝”)
4．[2014·新课标全国卷改编]数列{a的通项公式为a＝＋1，设，则S＝______________．
[]2－
?错位相减关键词：“等差与等比数列积”型数列如④.
[解析]由已知可知＝，则S＝＋＋…＋＋，Sn＝＋＋…＋＋，两式相减得Sn＝＋－＝＋－，所以S＝2－
5．[2013·江西卷]某住宅小区计划植树不少于100棵，若，则需要的最少天数n(nN)等于________．
[]6
?数列的实际应用关键词：与数列有关的实际应用问题如⑤.
[解析]S＝＝2＋1－2100，得n6.
知识必备数列求和及数列的简单应用
数列求和及数列的简单应用 常用求和公式 等差 Sn＝na＋＝，特别1＋2＋3＋…＋n＝ 等比数列 S＝特别1＋2＋2＋…＋21＝2－1 数平方和 1＋2＋3＋…＋n＝ 数立方和 1＋2＋…＋n＝
数列求和及数列的简单应用 常用求和方法 公式法 如an＝2＋2n，a＝3 常用裂项方法：＝；＝；＝；＝－ 分组法 如a＝2n＋2，a＝(－1)＋2 裂项法 如a＝＝－ 错位相减法 如a＝(2n－1)·2
数列求和及数列的简单应用 数列模型 等差数列 基本特征是均匀增加或减少 等比数列 基本特征是指数增长，常见的是增长率问题、存款复利问题 一个简单递推数列 基本特征是指数增长的同时又均匀减少．如年收入增长率为20，每年年底要拿出a(常数)作为下年度的开销，{an}满足a＋1＝1.2a－a
?考一数列的求和数列求和——数列分拆，重新分组，公式法求和
题型：选择，填空，解答分值：5－6分难度：基础热点：分组求和
例1在等比数列{an}中，an>0(n∈N)，且a1a3＝4，a3＋1是a2和a4的等差中项．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn＝an＋1＋log2an(n∈N)，求数列{bn}的前n项和Sn.
?考一分组转化法求和
解：(1)设数列{a的公比为q.由a可知公比q>0，则可得即所以解得所以a＝1，q＝2.故a＝21.
(2)由(1)可知，b＝a＋1＋2an＝2＋(n－1)，＝(2＋2＋2＋…＋2)＋[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＝＋＝2＋1＋－2.
[小结若一个数列是由两个或多个等差、等比数列的和差形式组成，或这个数列可以分解成两个或多个等差、等比数列的和差形式，则可以根据数列
变式题已知数列{an}的前n项和是Sn，且2Sn＝2－an.
(1)求数列{an}的通项公式；(2)记bn＝an＋n，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)当n＝1时，2a＝2－a，解得a＝当n≥2时，由2S＝2－a，得2S－1＝2－a－1，两式相减，得2(S－S－1)＝a－1－a，即2a＝a－1－a，
∴3an＝a－1，即＝，数列{a是以为首项，为公比的等比数列．数列{a的通项公式为a＝2(2)由(1)知b＝2×＋n，＝2＋(1＋2＋3＋…＋n)＝2×＋＝1－＋
?考错位相减法求和数列求和——等差乘等比数列”型，错位相减法求和
题型：解答分值：6分难度：较难热点：错位相减法
例2已知数列{an}为正项等比数列，a2＝3，a6＝243，Sn为等差数列{bn}的前n项和，b1＝3，S5＝35.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)设Tn＝a1b1＋a2b2＋＋anbn，求Tn.
解：(1)设数列{a的公比为q(q＞0)．则由题意可知，∴an＝3－1设数列{b的公差为d，由题意可得，∴∴bn＝2n＋1.(2)Tn＝1×3＋3×5＋3＋…＋3－1(2n＋1)，＝3×3＋3＋3＋…＋3－1(2n－1)＋3(2n＋1)，相减得－2T＝3＋3×2＋3＋…＋3－1－3(2n＋1)＝3＋2×(3＋3＋…＋3－1)－3(2n＋1)＝3－3(2n＋1)＝－2n·3，＝n·3
[小结]用错位相减法求和应注意：要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；在写出“S和“qS的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便准确写出“S－qS的
?考裂项相消法求和数列求和——数列拆分，相消转化为有限的几项题型：解答分值：6分
难度：较难热点：裂项相消法
例3设数列{an}的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an＝5Sn＋1成立．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝log4|an|，求数列的前n项和Tn.
解：(1)当n＝1时，a1＝5S1＋1，∴a1＝－.
又∵an＝5Sn＋1，an＋1＝5Sn＋1＋1，∴an＋1－an＝5an＋1，
即＝－，∴数列{an}是首项为a1＝－，公比为q＝－的等比数列，
∴an＝.
(2)由(1)得bn＝log4＝－n，
∴＝＝，
∴Tn＝＝
＝－.
[小结]常见的裂项方式有：＝－；＝；＝；＝
变式题已知等差数列{an}满足a3＝4，a5＋a7＝14，且其前n项和为Sn.
(1)求an及Sn；
(2)令bn＝(n∈N)，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
∵a3＝4，a5＋a7＝14，
∴a1＋2d＝4，2a1＋10d＝14.
解得a1＝2，d＝1.
∴an＝2＋(n－1)×1＝n＋1，
Sn＝＝.
(2)由(1)得a－1＝n2＋2n，
∴bn＝＝＝.
∴Tn＝
＝＝.
?考数列的简单应用数列的实
际应用——等差数列的实际应用；2.等比数列的实际应用
题型：选择，填空，解答分值：5－10分
难度：基础热点：等差数列的实际应用
例４某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%.
(1)求第n年初M的价值an的表达式；
(2)设An＝，若An大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M进行更新，证明：须在第9年初对M进行更新．
解：(1)当n6时，数列{an}是首项为120，公差为－10的等差数列，所以an＝120－10(n－1)＝130－10n.
当n7时，数列{an}是以a6为首项，为公比的等比数列，又a6＝70，所以an＝70×.
因此，第n年初M的价值an的表达式为
an＝ (2)证明：设Sn为数列{an}的前n项和．
当1n≤6时，Sn＝120n－5n(n－1)，An＝120－5(n－1)＝125－5n.
当n7时，由于S6＝570，所以
Sn＝S6＋(a7＋a8＋＋an)＝570＋70××4×＝780－210×，
所以An＝.
因为数列{an}是递减数列，所以数列{An}是递减数列，又
A8＝＝82＞80，
A9＝＝76＜80，所以须在第9年初对M进行更新．
例1[配例2使用]已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＋an＝－n2－n＋1(n∈N)．
(1)设bn＝an＋n，证明：数列{bn}是等比数列；
(2)求数列{nbn}的前n项和Tn.
[备选理由]例1考查等比数列的证明和错位相减法求和；例2是一道裂项难度较大的问题，并涉及不等式的证明．解：(1)证明：因为a＋S＝－－＋1，所以当n＝1时，2a＝－1，则a＝－，当n≥2时，a－1＋S－1＝－(n－1)－(n－1)＋1，所以2a－a－1＝－n－1，即2(a＋n)＝a－1＋n－1，所以b＝－1(n≥2)，又b＝a＋1＝，所以数列{b是首项为，公比为的等比数列，所以b＝
(2)由(1)得nb＝，所以T＝＋＋＋＋…＋＋，①＝1＋＋＋＋…＋＋由②－①得T＝1＋＋＋…＋－＝－＝2－
例２[配例3使用]正项数列{an}的前n项和Sn满足：S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.
(1)求数列{an}的通项公式an.
(2)令bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn.证明：对于任意的n∈N，都有Tn<.
解：(1)由S－(n＋n－1)S－(n＋n)＝0，得(S＋1)＝0.由于数列是正项数列，所以S，所以S＝n＋n.故当n＝1时，a＝S＝2.当n≥2时，a＝S－S－1＝n＋n－(n－1)－(n－1)＝2n.又a＝2满足此关系式，故数列的通项公式为a＝2n.
(2)证明：由于a＝2n，b＝，则b＝＝故T＝＝＝
|
|
