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考一导数的几何意义【自主回顾】
求曲线切线方程的步骤
(1)求出函数y＝f(x)在点x＝x0的导数，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率；
(2)在已知切点坐标P(x0，f(x0))和切线斜率的条件下，求得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．
函数y＝f(x)在点P处的切线与过点P的切线的求法有所不同．
解析：由题意知y′＝ex，故所求切线斜率k＝ex|x＝0＝e0＝1，故选A.
2．(2014·深圳调研)曲线y＝2x－lnx在点(1,2)处的切线方程为()
A．y＝－x－1B．y＝－x＋3
C．y＝x＋1D．y＝x－1
答案：C
【解析】设P(x0，y0)．y＝xlnx，y′＝lnx＋x·＝1＋lnx.
k＝1＋lnx0.又k＝2，1＋lnx0＝2，x0＝e.
y0＝elne＝e.点P的坐标是(e，e)．
函数切线的相关问题的解决，注意以下几点：其一，切点是交点；其二，在切点处的导数是切线的斜率；其三，求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异．过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上；在点P处的切线，点P是切点．
解析：直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，且y＝x3＋ax＋b的导数y′＝3x2＋a，
解得a＝－1，b＝3，2a＋b＝1.
2．(2014·吉林复习检测)过点(1，－1)且与曲线y＝x3－2x相切的切线方程为()
A．x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0
B．x－y－2＝0
C．x－y＋2＝0
D．x－y－2＝0或4x＋5y＋1＝0
答案：A
解析：依题意曲线y＝sinx－存在斜率为零的切线，
亦即方程y′＝0有实数根．
而y′＝cosx－，
答案：[－2,2]
(2)利用导数研究函数的极值时，首先应考虑函数的定义域，然后求出函数的导数，得到导数为零的点，这些点将整个定义域分为若干个区间，最后将x、f′(x)、f(x)在每个区间内的变化情况列在一个表格中，通过表格可以清楚地判断在哪个点处是极值，是极大值还是极小值．在得到极值的基础上结合区间端点的函数值进行比较得到函数的最值．特别注意的是，如果在开区间或无穷区间上函数只有一个极值，那么这个极值也就是相应的最值．
1．(2014·东北三校联考(一))函数y＝x2－lnx的单调递减区间为()
A．(－1,1)B．(0,1)
C．(1，＋∞)D．(0，＋∞)
答案：B
解析：因为函数y＝e(a－1)x＋4x，所以y′＝(a－1)e(a－1)x＋4，若a≥1，则y′≥0，所以函数y＝e(a－1)x＋4x在R上单调递增，故函数y在R上无极值点，故a<1，函数y＝e(a－1)x＋4x在R上有极值点，从而函数的零点为x0＝ln.因为函数y＝e(a－1)x＋4x(xR)有大于零的极值点，故ln>0，得到a<－3，选B.
【典例剖析】
(2014·安徽卷)设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a>0.
(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；
(2)当x[0,1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值．
【思路启迪】(1)利用导数运算公式求出函数f(x)的导数，求出导数为0时对应方程的根及由导数值的符号判断函数的单调性；(2)利用函数的单调性及分类讨论思想求最值．
在求解含有参数的闭区间上的函数最值问题中，分类讨论的标准就是函数的极值点与闭区间的位置关系，根据位置关系确定函数在闭区间上的单调性，如果极值点在区间内，再结合区间的端点值进行进一步讨论．
解：(1)当a＝1时，f(x)＝x－lnx，所以f′(x)＝1－＝，
所以f(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，e]，
所以f(x)的极小值为f(1)＝1，没有极大值．
(2)记g(a)为函数f(x)在区间(0，e]上的最小值．
f′(x)＝a－＝，
当a≤0时，f′(x)<0，所以f(x)在区间(0，e]上单调递减，所以g(a)＝f(e)＝ae－1.
当0
当a>时，f(x)在区间上单调递减，在上单调递增，
所以g(a)＝f＝1＋lna.
综上所述，g(a)＝.
构造函数时可适当变形，使函数便于求导，另外，可记住一些常用函数综合问题．
解析：依题意得f′(x)＝ex－2.当xf(ln2)＝1－2ln2，当x<0时，f(x)>f(0)＝0；当x>ln2时，f′(x)>0,f(x)是增函数．因此对比各选项知，选C.
2．已知函数f(x)＝(a>0)在[1，＋∞)上的最大值为，则a的值为________．
令f(x)＝＝，＝<1，不合题意．
f(x)max＝f(1)＝＝，a＝－1.
【典例剖析】
(2014·新课标全国卷)设函数f(x)＝alnx＋x2－bx(a≠1)，曲线y＝f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为0.
(1)求b；
(2)若存在x0≥1，使得f(x0)<，求a的取值范围．
【思路启迪】(1)利用导数的几何意义求解参数的值；(2)利用分类讨论的思想转化求解．
导数在函数中的应用趋于应用导数证明不等式问题、应用导数、求解函数最值问题、导数的几何意义的应用、研究函数的单调性，其中证明不等式最终也是应用导数判断函数的单调性问题，因此关于应用导数求解函数的单调性问题要熟练掌握其常规步骤．
导数及其应用
注意：当曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，由切线定义可知，切线方程为x＝x0；当切点坐标未知时，应首先设出切点坐标，再求解．
1．(2014·东北三校联考)曲线y＝ex在点A(0,1)处的切线斜率为()
A．1B．2C．eD.
答案：A
解析：y′＝2－，
所以曲线在点(1,2)处的切线的斜率为k＝2－1＝1，
在此，在点(1,2)处的切线方程为y－2＝x－1，
即y＝x＋1，故选C.
【典例剖析】
(2014·江西卷)若曲线y＝xlnx上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．
【思路启迪】先求函数的导数，再利用导数的几何意义确定切点的坐标．
【答案】(e，e)
【举一反三】
1．(2014·厦门模拟)直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b的值为()
A．2B．－1C．1D．－2
答案：C
解析：设切点坐标为(x0，y0)，y0＝x－2x0，则曲线在(x0，y0)处的切线斜率为y′＝3x－2，当x0＝1时斜率为1，切线方程为x－y－2＝0，当x0≠1时，过(1，－1)点的切线的斜率为＝x＋x－1＝3x－2，解得x0＝－，其斜率为－，切线方程为5x＋4y－1＝0，所以A正确．
3．若曲线y＝sinx－存在与x轴平行的切线，则实数a的取值范围为________．
所以方程cosx－＝0有解，
即方程a＝2cosx有解．
设函数g(x)＝2cosx，
则函数g(x)的值域是[－2,2]，
因此实数a的取值范围是[－2,2]．
考导数与函数的单调性、极值、最值【自主回顾】
(1)在区间D内可导的函数f(x)在区间D上单调递增(或递减)的充要条件应是当xD时，f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，且f′(x)在D的任意子区间内都不恒等于0.
在(a，b)上函数的导函数f′(x)>0或f′(x)<0只是函数f(x)在(a，b)上为增函数或减函数的充分条件，而不是必要条件．
解析：函数y＝x2－lnx的定义域为(0，＋∞)，y′＝x－＝，令y′<0，则可得0
2．(2014·聊城质检)若函数y＝e(a－1)x＋4x(xR)有大于零的极值点，则实数a的取值范围是()
A．(－3，＋∞)B．(－∞，－3)
C.D.
答案：B
【解】(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，
f′(x)＝1＋a－2x－3x2.
令f′(x)＝0，得x1＝，
x2＝，x1
所以f′(x)＝－3(x－x1)(x－x2)．
当xx2时，f′(x)<0；当x10.
故f(x)在(－∞，x1)和(x2，＋∞)内单调递减，在(x1，x2)内单调递增．
(2)因为a>0，所以x1<0，x2>0.
当a≥4时，x2≥1，由(1)知，f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在x＝0和x＝1处分别取得最小值和最大值．
当0
又f(0)＝1,f(1)＝a，所以
当0
当a＝1时，f(x)在x＝0处和x＝1处同时取得最小值；
当1
【举一反三】
(2014·浙江名校联考)已知aR，函数f(x)＝ax－lnx，x(0，e](其中e是自然对数的底数)．
(1)当a＝1时，求函数f(x)的单调区间与极值；
(2)求函数f(x)在区间(0，e]上的最小值．
考导数的综合应用【自主回顾】
利用导数知识解决函数与方程、不等式的问题是导数应用的一个重要方面，其关键是构造适当的函数，判断区间端点函数值与0的关系，其实质就是利用求导的方法研究函数的单调性，进而解决此类综合问题．
1．(2014·大连模拟)已知函数f(x)＝ex－2x－1(其中e为自然对数的底数)，则y＝f(x)的图象大致为()
答案：C
解析：f′(x)＝＝，
当x>时，f′(x)<0,f(x)单调递减，
当－0，f(x)单调递增，
当x＝时，
答案：－1
【解】(1)f′(x)＝＋(1－a)x－b.
由题设知f′(1)＝0，解得b＝1.
(2)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
由(1)知，f(x)＝alnx＋x2－x，
f′(x)＝＋(1－a)x－1＝(x－1)．
若a≤，则≤1，故当x(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(1，＋∞)单调递增．
所以，存在x0≥1，使得f(x0)<的充要条件为f(1)<，即－1<，解得－－1
若1，故当x时，f′(x)<0，当x时，f′(x)>0，f(x)在上单调递减，在上单调递增．
所以，存在x0≥1，使得f(x0)<的充要条件为f<.
而f＝aln＋＋>，所以不合题意．
若a>1，则f(1)＝－1＝<.
综上，a的取值范围是(－－1，－1)(1，＋∞)．
【举一反三】
(2014·武汉调研)设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，xR.
(1)求f(x)的单调区间与极值；
(2)求证：当a>ln2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.
解：(1)由f(x)＝ex－2x＋2a，xR知f′(x)＝ex－2，xR.
令f′(x)＝0，得x＝ln2.
于是当x变化时，f′(x),f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，ln2) ln2 (ln2，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x) 单调递减 2(1－ln2＋a) 单调递增
故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞),f(x)在x＝ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)＝2(1－ln2＋a)，无极大值．
(2)证明：设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，xR.
于是g′(x)＝ex－2x＋2a，xR.
由(1)知，当a>ln2－1时，g′(x)的最小值为g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)>0.
于是对任意xR，都有g′(x)>0，g(x)在R上单调递增．
于是当a>ln2－1时，对任意x(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)．
而g(0)＝0，从而对任意x(0，＋∞)，g(x)>0.
即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1.
3．对于建模问题，要从题设条件中选取恰当的变量，建立函数模型，然后根据目标函数的结构特征(非常规函数)，再运用导数知识求解．
4．解题中常见错误
(1)应用公式时不注意公式的适用范围及符号；
(2)求极值时忽略对极值点的验证；
(3)确定单调区间时，忽视导数为0的点及该点左右的导数值正负关系等.
利用导数解决不等式问题的策略
已知函数f(x)＝ax－ex(a>0)．
(1)当a＝时，求函数f(x)的单调区间；
(2)当1≤a≤1＋e时，求证：f(x)≤x.
【规范解答】(1)当a＝时，f(x)＝x－ex.
令f′(x)＝－ex＝0，得x＝－ln2.
当x<－ln2时，f′(x)>0；当x>－ln2时，f′(x)<0.
函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－ln2)，单调递减区间为(－ln2，＋∞)．
(2)证明：令F(x)＝x－f(x)＝ex－(a－1)x.
①当a＝1时，F(x)＝ex>0，f(x)≤x成立；
当1
当xln(a－1)时，F′(x)>0，
F(x)在(－∞，ln(a－1))上单调递减，在(ln(a－1)，＋∞)上单调递增，
∴F(x)≥F(ln(a－1))＝eln(a－1)－(a－1)ln(a－1)＝(a－1)[1－ln(a－1)]，
10,1－ln(a－1)≥1－ln[(1＋e)－1]＝0，
F(x)≥0，即f(x)≤x成立．
综上，当1≤a≤1＋e时，有f(x)≤x.
设函数f(x)＝x＋ax2＋blnx，曲线y＝f(x)过P(1,0)，且在P点处的切线斜率为2.
(1)求a，b的值；
(2)证明：f(x)≤2x－2.
1．利用导数解决曲线的切线方程、函数的单调区间、极值(最值)问题，只要按照相应的方法和步骤进行求解即可，但要注意逆向型问题的求解；
2．解答导数与方程、函数、不等式等结合的综合题，要紧扣函数的性质与图象、均值不等式等知识，结合分类讨论、数形结合与化归的思想进行求解；
【答题模板】
构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，确定F(x)的定义域；
求函数F(x)的导数F′(x)；
判断函数F(x)在给定区间上的单调性；
求函数F(x)在给定区间上的最值，确定结果．
解：(1)f′(x)＝1＋2ax＋.
由已知条件得
即解得
(2)证明：因为f(x)的定义域为(0，＋∞)，
由(1)知f(x)＝x－x2＋3lnx.
设g(x)＝f(x)－(2x－2)＝2－x－x2＋3lnx，
则g′(x)＝－1－2x＋＝－.
当00，
当x>1时，g′(x)<0.
所以g(x)在(0,1)内单调递增，
在(1，＋∞)内单调递减．
而g(1)＝0，故当x>0时，g(x)≤0，
即f(x)≤2x－2.
请做：课时作业(四)
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