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考一平面向量的基本概念及运算【自主回顾】
用已知向量来表示一些未知向量是用向量解题的基本要求，除利用向量的加减法、实数与向量相乘外，还应充分利用平行四边形的一些定理．因此，在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量，运用向量加、减法运算及实数与向量相乘来求解，即充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系，运用三角形的加法法
则、平行四边形法则、三角形的减法法则，充分利用三角形中的中位线、相似三角形对应边成比例的平面几何性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．
运用向量的加减法解决几何问题时，需要发现或构造三角形或四边形，使用三角形法则时要特别注意“首尾相接”．
1．(2014·唐山一模)已知向量a＝(1，x)，b＝(x－1,2)，若ab，则x＝()
A．－1或2B．－2或1C．1或2D．－1或－2
解析：a＝(1，x)，b＝(x－1,2)，ab，1×2－x(x－1)＝0，x＝2或－1，选A.
答案：A
2．(2014·陕西质检)设O为ABC内部的一点，且＋＋2＝0，则AOC的面积与BOC的面积之比为()
A.B.C．2D．1
解析：＋＋2＝0，＋＝－2＝2(D为边AB的中点)，画出图形如图所示，则点A，B到OC的距离相等，OC边公用，则AOC，BOC的面积相等，选D.
答案：D
【典例剖析】
(2014·福建卷)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则＋＋＋等于()
A.B．2C．3D．4
【思路启迪】利用平面向量的平行四边形法则进行加法运算．
【解析】因为点M为平行四边形ABCD对角线的交点，所以点M是AC和BD的中点，由平行四边形法则知＋＝2，＋＝2，故＋＋＋＝4.
【答案】D
选择标准的基向量，借助平行四边形法则进行平面向量的运算．
【举一反三】
1．(2014·武汉调研)如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝()
A.B.C.D.
解析：以F为坐标原点，FP，FG所在直线为x轴，y轴建系，假设一个方格长为单位长度，则F(0,0)，O(3,2)，P(5,0)，Q(4,6)，则＝(2，－2)，＝(1,4)，所以＋＝(3,2)，而＝(3,2)，故＋＝.
答案：D
2．(2014·北京东城一模)设a，b是两个非零向量，则下列命题为真命题的是()
A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则ab
B．若ab，则|a＋b|＝|a|－|b|
C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得a＝λb
D．若存在实数λ，使得a＝λb，则|a＋b|＝|a|－|b|
解析：将|a＋b|＝|a|－|b|两边都平方得a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2|a|·|b|，2a·b＝－2|a|·|b|2|a|·|b|cosθ＝－2|a|·|b|，
cosθ＝－1，即a与b共线，故选C.
答案：C
3．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是()
A．A、B、DB．A、B、C
C．B、C、DD．A、C、D
解析：＝＋＋＝3a＋6b＝3.
因为与有公共点A，
所以A、B、D三点共线．
故选A.
答案：A
考平面向量的数量积【自主回顾】
利用向量数量积坐标运算与度量公式，可把几何问题转化为相应的代数问题，通过计算加以解决．如ABAC，转化成计算·＝0；求cosθ的值，可利用cosθ＝；证明AD2＝BD·CD，可转化为验证||2＝||·||等，充分体现了向量的工具性作用．
两个非零向量a与b的夹角为锐角，则a·b>0；反之不成立，因为a与b的夹角为0时，a·b>0；两个非零向量a与b的夹角为钝角，则a·b<0；反之也不成立，因为a与b的夹角为π时，a·b<0.
1．(2014·新课标全国卷)设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝()
A．1B．2C．3D．5
解析：|a＋b|＝，(a＋b)2＝10，
即a2＋b2＋2a·b＝10.
∵|a－b|＝，(a－b)2＝6，
即a2＋b2－2a·b＝6.
由可得a·b＝1.故选A.
答案：A
2．(2014·辽宁三校联考)若向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a与b的夹角为，则|2a＋b|＝________.
解析：a·b＝|a||b|cos＝2×1×＝1，故|2a＋b|＝＝＝2.
答案：2
【典例剖析】
(2014·四川卷)平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(mR)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝()
A．－2B．－1C．1D．2
【思路启迪】根据平面向量的数量积的坐标运算求解．
【解析】因为a＝(1,2)，b＝(4,2)，所以c＝ma＋b＝(m,2m)＋(4,2)＝(m＋4,2m＋2)．根据题意可得＝，所以＝，解得m＝2.
【答案】D
向量的数量积定义是解决夹角和向量模的问题的关键．
【举一反三】
1．(2014·广州调研)已知向量a＝(3,1)，b＝(x，－2)，c＝(0,2)，若a(b－c)，则实数x的值为()
A.B.C．－D．－
解析：b－c＝(x，－4)，又a(b－c)，a·(b－c)＝3x－4＝0，x＝.
答案：A
2．(2014·湖北卷)若向量＝(1，－3)，||＝||，·＝0，则||＝________.
解析：由题意，可知AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，且腰长||＝||＝，由勾股定理得||＝＝2.
答案：2
3．(2014·忻州联考)平面向量a与b的夹角为60°，a＝(1,0)，|b|＝1，则a·(a－3b)＝________.
解析：a＝(1,0)，|b|＝1，a·(a－3b)＝|a|2－3×|a||b|×cos60°＝1－3×1×1×＝－.
答案：－
考平面向量的综合应用【自主回顾】
(1)实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算．
(2)向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观与形象，向量本身是一个数形结合的产物，在利用向量解决问题时，要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合．
要注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向量的有关性质解题．
1．(2014·皖南八校联考)已知D是ABC所在平面内一点，且满足(－)·(－)＝0，则ABC是()
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
解析：(－)·(－)＝(－)·＝0，所以·＝·，所以acosB＝bcosA，利用余弦定理化简得a2＝b2，即a＝b，所以ABC是等腰三角形．
答案：A
2．(2014·贵阳适应性考试)如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是()
A.B．2C．0D．1
解析：＝＋，·＝·(＋)＝·＋·＝·＝||＝，||＝1，||＝－1，·＝(＋)·(＋)＝·＋·＝－(－1)＋1×2＝－2＋＋2＝，故选A.
答案：A
【典例剖析】
(2014·陕西卷)在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，点P(x，y)在ABC三边围成的区域(含边界)上，且＝m＋n(m，nR)．
(1)若m＝n＝，求||；
(2)用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．
【思路启迪】(1)用坐标形式表示向量，再求向量的模；(2)用向量的坐标形式得到m、n和x，y的关系式，再将m－n用x、y表示，利用线性规划求解目标函数的最值．
【解】(1)m＝n＝，＝(1,2)，＝(2,1)，
＝(1,2)＋(2,1)＝(2,2)，
|O|＝＝2.
(2)∵＝m(1,2)＋n(2,1)＝(m＋2n,2m＋n)，
两式相减，得m－n＝y－x.
令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2,3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.
把几何图形放在坐标系中，有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决。
【举一反三】
(2014·江西七校第一次联考)如图，平面四边形ABCD中，AB＝13，AC＝10，AD＝5，cosDAC＝，·＝120.
(1)求cosBAD；
(2)设＝x＋y，求x，y的值．
解：(1)设CAB＝α，CAD＝β，
cosα＝＝＝，cosβ＝，
sinα＝，sinβ＝，
cos∠BAD＝cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinα·sinβ＝×－×＝.
(2)由＝x＋y得
解得
1．由于向量本身具有代数形式和几何形式双重身份，所以在向量知识的整个学习过程中，都体现了数形结合的思想方法，在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯，以加深理解知识要点，增加应用意识．
2．要树立化归转化的思想方法，向量的夹角、平行、垂直等关系的研究均可化为对应向量或向量坐标的运算问题，三角形形状的判定可化归为相应向量的数量积问题，向量的数量积公式a2＝|a|2，沟通了向量与实数间的转化关系．
1．忽视向量的夹角致误
已知ABC中，＝(1,1)，＝(2，k)，若在ABC中有一个角为直角，则实数k的值为________．
【错解】因为，所以1×2＋1×k＝0.
解得k＝－2.
【错因分析】此解错误原因是自认为角A是直角，故在解题构思中丢掉另外两种情况．
【正确解答】(1)若A为直角，则，
所以1×2＋1×k＝0.解得k＝－2.
(2)若B为直角，则·＝0.
又＝－＝(1，k－1)，
所以1＋(k－1)＝0，所以k＝0.
(3)若C为直角，则·＝0，即2＋k(k－1)＝0，而k2－k＋2＝0无实数解，所以不存在实数k，使角C为直角．
综上所述，当k＝－2或k＝0时，ABC为直角三角形．
在三角形中应用向量时，应确定向量的夹角与三角形的内角(或其补角)间的对应关系．
在ABC中，AB＝2，AC＝3，·＝1，则BC＝()
A.B.C．2D.
解析：设角A，B，C的对边分别为a，b，c.·＝1，即accosB＝－1.在ABC中，再根据余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，及AB＝c＝2，AC＝b＝3，可得a2＝3，即a＝.
答案：A
2．平面向量与三角函数交汇问题求解策略
(2013·辽宁卷)设向量a＝(sinx，sinx)，b＝(cosx，sinx)，x.
(1)若|a|＝|b|，求x的值；
(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．
【审题程序】
利用模相等构造三角恒等式；
化简三角恒等式，求出角x；
利用数量积定义转化三角函数式；
根据x的取值范围求出f(x)的最大值．
【规范解答】(1)由|a|2＝(sinx)2＋(sinx)2＝4sin2x，
|b|2＝(cosx)2＋(sinx)2＝1，
及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.
又x，从而sinx＝，所以x＝.
(2)f(x)＝a·b＝sinx·cosx＋sin2x＝sin2x－cos2x＋＝sin＋，
当x＝时，sin取最大值1.
所以f(x)的最大值为.
【答题模板】
将向量间的关系式化成三角函数式；
化简三角函数式；
求三角函数式的值或求角或分析三角函数式的性质；
明确表述结论．
(2013·江苏卷)已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，0<β<α<π.
(1)若|a－b|＝，求证：ab；
(2)设c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值．
解：(1)证明：由题意得|a－b|2＝2，
即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2.
又因为a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，
所以2－2a·b＝2，即a·b＝0，故ab.
(2)因为a＋b＝(cosα＋cosβ，sinα＋sinβ)＝(0,1)，
所以
由此得，cosα＝cos(π－β)，由0<β<π，得0<π－β<π.
又0<α<π，故α＝π－β.代入sinα＋sinβ＝1，得sinα＝sinβ＝，而α>β，所以α＝，β＝.
请做：课时作业(七)
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