与名师对话·系列丛书第页二轮专题复习·课标版·数学（文）重难点透析与名师对话·系列丛书第页课时作业专题三第二讲名师微课堂二轮专题复习·课标版·数学（文）第一篇专题三与名师对话·系列丛书第页二轮专题复习·课标版·数学（文）重难点透析与名师对话·系列丛书第页课时作业专题三第二讲名师微课堂二轮专题复习·课标版·数学（文）知识方法篇数列、推理与证明第讲数列的通项与求和
考一求数列的通项公式【自主回顾】
求数列通项公式的一般方法
(1)已知一个数列的前n项写出数列的一个通项公式可采用观察、比较、分析的方法，重点是研究an与n的关系．
(2)已知Sn求an，可用an＝是否分段需要验证．
(3)根据数列的递推关系求数列的通项公式．
用an＝Sn－Sn－1求数列的通项公式时，应注意n≥2，n＝1时的情况应进行验证．
1．(2014·保定调研)在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，则其通项公式为an＝()
A．2n－1B．2n－1＋1C．2n－1D．2(n－1)
解析：由题意知an＋1＋1＝2(an＋1)，an＋1＝(a1＋1)·2n－1＝2n，an＝2n－1.
答案：A
2．(2014·山西四校联考)已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2an－n，则an＝________.
解析：由Sn＝2an－n，
得到Sn－1＝2an－1－(n－1)(n≥2)，
－得an＝2an－2an－1－1(n≥2)，即an＋1＝2(an－1＋1)(n≥2)，对式，令n＝1，有a1＝1，an＋1＝2n，
an＝2n－1.
答案：2n－1
【典例剖析】
(2014·大连模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝an－1(nN)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)在数列{bn}中，b1＝5，bn＋1＝bn＋an，求数列{bn}的通项公式．
【思路启迪】(1)利用前n项和与第n项的关系an＝求解；(2)利用叠加法求解．
【解】(1)当n＝1时，S1＝a1＝a1－1，所以a1＝2.
当n≥2时，由Sn＝an－1，
得Sn－1＝an－1－1，
①－，得an＝－，所以an＝3an－1，又a1≠0，故an－1≠0，所以＝3，
故数列{an}是首项为2，公比为3的等比数列，所以an＝2·3n－1.
(2)由(1)知bn＋1＝bn＋2·3n－1，
当n≥2时，bn＝bn－1＋2·3n－2，
…
b3＝b2＋2·31，
b2＝b1＋2·30，
以上各式相加并整理，得bn＝b1＋2×(3n－2＋…＋31＋30)＝5＋2×＝3n－1＋4.
当n＝1时，31－1＋4＝5＝b1.
所以bn＝3n－1＋4.
利用转化解决递推公式为Sn与an的关系式，通过纽带an＝Sn－Sn－1(n≥2)，根据题目求解特点，消掉一个an或Sn.然后再构造成等差或者等比数列进行求解．如需消掉Sn，可以利用已知递推式，把n换成(n＋1)得到新递推式，两式相减即可．若要消掉an，只需把an＝Sn－Sn－1代入递推式即可．不论哪种形式，需要注意公式an＝Sn－Sn－1成立的条件是n≥2.
【举一反三】
1．(2014·湖北七市联考)已知等差数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1,2a＋3，则此数列的通项公式an等于()
A．2n＋1B．2n－1C．2n－3D．2n－5
解析：依题意得，2(a＋1)＝(a－1)＋(2a＋3)，则a＝0，公差为d＝(a＋1)－(a－1)＝2，所以an＝－1＋2(n－1)＝2n－3，选C.
答案：C
2．(2014·合肥模拟)已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝(nN)，则数列{an}的通项公式为()
A．an＝2n－1B．an＝2－
C．an＝D．an＝
解析：由题意得＝＋1，则＋1＝2，易知＋1＝2≠0，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，则＋1＝2n，则an＝.
答案：C
3．(2014·大连双基测试)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1(nN)，则an＝________.
解析：依题意得，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1；当n＝1时，an＝S1＝4≠2×1＋1.因此an＝
答案：
考数列求和【自主回顾】
数列求和的一般方法
(1)公式法：等差(比)数列的前n项和公式．
(2)错位相减法：适用于{anbn}的前n项和，其中{an}是等差数列，{bn}是等比数列．
(3)裂项法：求{an}的前n项和时，若能将an拆分为an＝bn－bn＋1，则a1＋a2＋…＋an＝b1－bn＋1.
(4)倒序相加法：一个数列倒过来与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余的项的和容易求出，那么这样的数列求和可采用此法．其主要用于求组合数数列的和．这里易忽视因式为零的情况．
(5)分组求和法：将数列的各项重新分组，转化为等差或等比求和．
用错位相减法求和时，要注意找准项数、开始的项和结束的项，不要漏项或加项．
1．(2014·福建漳州质检)数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则S6等于()
A.B.C.D.
解析：因为an＝＝－，
所以S6＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.
答案：D
2．数列{an}的通项an＝sin，前n项和为Sn，则S2015等于()
A.B．0C．1D．－
解析：由an＝sin，知数列{an}是以6为周期的数列，且a1＋a2＋…＋a6＝0，
则S2015＝(a1＋a2＋…＋a6)＋…＋(a2005＋…＋a2010)＋a2011＋…＋a2015＝a1＋a2＋…＋a5＝0.
故选B.
答案：B
【典例剖析】
(2014·新课标全国卷)已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2－5x＋6＝0的根．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【思路启迪】(1)通过解方程及等差数列的性质求出an；(2)用错位相减法求数列的前n项和．
【解】(1)方程x2－5x＋6＝0的两根为2,3，
由题意得a2＝2，a4＝3.
设数列{an}的公差为d，则a4－a2＝2d，故d＝，
从而a1＝.
所以{an}的通项公式为an＝n＋1.
(2)设的前n项和为Sn.由(1)知＝，则
Sn＝＋＋…＋＋，
Sn＝＋＋…＋＋.
两式相减得
Sn＝＋－
＝＋－.
所以Sn＝2－.
数列求和侧重于考查裂项法、分组求和法以及错位相减法，遇到数列求和问题时，要有意识地往这三种方法考虑．
【举一反三】
(2013·河南开封高三第一次模拟)已知等差数列{an}，公差d>0，前n项和为Sn，且满足a2a3＝45，a1＋a4＝14.
(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；
(2)设bn＝，若{bn}也是等差数列，试确定非零常数c，并求数列的前n项和Tn.
解：(1)依题意得解得或(舍去)，
an＝4n－3，Sn＝2n2－n.
(2)由(1)知bn＝.{bn}是等差数列，则2b2＝b1＋b3，即2·＝＋，c＝－，
∴bn＝2n.
则＝＝，
Tn＝＋＋…＋＝
＝＝.
考数列的综合应用【自主回顾】
(1)如果问题所涉及的是特殊的数列(如等差、等比数列或与其相关的数列)，应首先建立数列的通项公式；如果问题所涉及的不是特殊的数列，可首先建立数列的递推公式．对通项公式进行化简变形，改变原数列通项的结构，将一个不能直接求和的数列转化为等差数列、等比数列或能够求和的形式进行求和是化归思想的具体应用．
(2)数列与不等式的综合问题大多是数列的前n项和问题，通常是由基本的等差数列、等比数列等基本数列进行复合、变形后得到的新数列的和．对于这种问题，在解答时需要我们抓住本质，进行合理地变形、求和，最后进行放缩，从而得出结论．
1．(2014·沈阳、大连联考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2，a4是方程x2－x－2＝0的两个根，则S5的值是()
A.B．5C．－D．－5
解析：据已知由韦达定理得a2＋a4＝1，故S5＝＝＝.
答案：A
2．(2014·青岛模拟)设{an}、{bn}分别为等差数列与等比数列，且a1＝b1＝4，a4＝b4＝1，则以下结论正确的是()
A．a2>b2B．a3b5D．a6>b6
解析：设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，由a1＝b1＝4，a4＝b4＝1，得d＝－1，q＝，进而得a2＝3，b2＝2；同理可得a3＝2，b3＝；a5＝0，b5＝；a6＝－1，b6＝，比较可知，A正确．
答案：A
【典例剖析】
(2014·四川卷)设等差数列{an}的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)＝2x的图象上(nN)．
(1)证明：数列{bn}为等比数列；
(2)若a1＝1，函数f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2－，求数列{anb}的前n项和Sn.
【思路启迪】(1)根据点(an，bn)在函数f(x)＝2x的图象上写出bn，再根据等比数列的定义进行证明．(2)写出切线方程，根据切线在x轴上的截距求出a2，进而求出an，bn，再利用错位相减法求数列{anb}的前n项和Sn.
【解】(1)证明：由已知，bn＝2an>0.
当n≥1时，＝2an＋1－an＝2d.
所以数列{bn}是首项为2a1，公比为2d的等比数列．
(2)函数f(x)＝2x在(a2，b2)处的切线方程为y－2a2＝(2a2ln2)(x－a2)，
它在x轴上的截距为a2－.
由题意知，a2－＝2－，解得a2＝2.
所以d＝a2－a1＝1，an＝n，bn＝2n，anb＝n·4n.
于是，Sn＝1×4＋2×42＋3×43＋…＋(n－1)·4n－1＋n·4n，
4Sn＝1×42＋2×43＋…＋(n－1)·4n＋n·4n＋1.
因此，Sn－4Sn＝4＋42＋…＋4n－n·4n＋1＝－n·4n＋1＝.
所以Sn＝.
在等比数列和等差数列问题中，根据已知得出方程或者方程组求出数列的基本量，即等比数列的首项和公比、等差数列的首项和公差，其他问题就容易解决了．数列中的不等式问题经常使用放缩法，注意放缩的尺度．
【举一反三】
(2014·湛江市普通高考测试题(二))已知函数f(x)＝x2－2x＋4，数列{an}是公差为d的等差数列，若a1＝f(d－1)，a3＝f(d＋1)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)Sn为{an}的前n项和，求证：＋＋…＋≥.
解：(1)a1＝f(d－1)＝d2－4d＋7，a3＝f(d＋1)＝d2＋3，
又由a3＝a1＋2d，可得d＝2，所以，a1＝3，an＝2n＋1.
(2)证明：Sn＝＝n(n＋2)，
＝＝
所以，＋＋…＋
＝
＝
≥＝.
1．基本量方法贯穿始终，用公式知三求二，需要特别重视方程思想．
2．数列中Sn与an的关系是高考命题的亮点，构造等差或等比数列是解决此类问题的有效方法．
3．熟练掌握、灵活运用等差、等比数列的性质．等差、等比数列的有关性质在解决数列问题时应用非常广泛，且十分灵活，主动发现题目隐含的相关性质，往往能使运算简洁．
4．求和问题也是常见试题，等差、等比数列以及可转化为等差、等比数列的求和问题应熟练掌握．还应掌握一些特殊数列的求和方法，例如错位相减法、拆项求和法、倒序相加法.
错位相减法求数列前n项和的答题模板
设Sn为数列{an}的前n项和，对任意的nN＋，都有Sn＝(m＋1)－man(m为正常数)．
(1)求证：{an}是等比数列；
(2)数列{bn}满足：b1＝2a1，bn＝(n≥2，nN＋)，求数列{bn}的通项公式；
(3)在满足(2)的条件下，求数列的前n项和Tn.
【规范解答】(1)证明：当n＝1时，a1＝S1＝(m＋1)－ma1，解得a1＝1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝man－1－man，即(1＋m)an＝man－1.
又m为常数，且m>0，所以＝(n≥2)．
所以{an}是首项为1，公比为的等比数列．
(2)b1＝2a1＝2.
因为bn＝，所以＝＋1，
即－＝1(n≥2)．
所以是首项为，公差为1的等差数列．
所以＝＋(n－1)·1＝，
即bn＝(nN＋)．
(3)由(2)，知bn＝，则＝2n(2n－1)，
所以Tn＝21×1＋22×3＋23×5＋…＋2n－1×(2n－3)＋2n×(2n－1)，
则2Tn＝22×1＋23×3＋24×5＋…＋2n×(2n－3)＋2n＋1×(2n－1)，
由－，得Tn＝2n＋1×(2n－1)－2－23－24－…－2n＋1，
故Tn＝2n＋1×(2n－1)－2－＝2n＋1×(2n－3)＋6.
【易错提醒】错位相减时，不要漏项，注意符号的变化，弄清项数．
【答题模板】
将数列{cn}写成两个数列的积的形式cn＝anbn，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列；
写出数列{cn}的前n项和Sn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn；
Sn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn的两边同乘以公比q，得qSn＝qa1b1＋qa2b2＋…＋qanbn；
两式错位相减得(q－1)Sn；
等式两边同时除以q－1，得Sn；
反思回顾，查看关键点，易错点及解题规范．
(2014·绵阳诊断)已知首项为的等比数列{an}是递减数列，其前n项和为Sn，且S1＋a1，S2＋a2，S3＋a3成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)已知bn＝anlog2an，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)设等比数列{an}的公比为q，由题意知a1＝，
S1＋a1，S2＋a2，S3＋a3成等差数列，
2(S2＋a2)＝S1＋a1＋S3＋a3，
变形得S2－S1＋2a2＝a1＋S3－S2＋a3，即得3a2＝a1＋2a3，
q＝＋q2，解得q＝1或q＝.
又{an}为递减数列，于是q＝，
an＝a1qn－1＝n.
(2)∵bn＝anlog2an＝－nn，
Tn＝－
，
于是Tn＝－
，
两式相减得：Tn＝－
＝－＋nn＋1，
整理得Tn＝－2.
请做：课时作业(一)
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