【答案】C与名师对话·系列丛书第页二轮专题复习·课标版·数学（文）重难点透析与名师对话·系列丛书第页课时作业专题五第二讲名师微课堂二轮专题复习·课标版·数学（文）第一篇专题五与名师对话·系列丛书第页二轮专题复习·课标版·数学（文）重难点透析与名师对话·系列丛书第页课时作业专题五第二讲名师微课堂二轮专题复习·课标版·数学（文）知识方法篇解析几何第讲椭圆、双曲线、抛物线
考一椭圆的标准方程及几何性质【自主回顾】
(1)求椭圆的标准方程或离心率要注意a，b，c三者之间关系的应用．
(2)G为椭圆上的任意一点，F1，F2为左，右焦点，当G点是椭圆短轴的一个端点时，F1GF2取得最大值．
(3)椭圆上的点到焦点的最小距离为a－c，最大距离为a＋c.
(4)要根据题意画出草图，借助数形结合的思想来解．
椭圆的定义是解决与焦点三角形有关问题的重要依据．
1．P为椭圆＋＝1上一点，F1，F2为该椭圆的两个焦点，若F1PF2＝60°，则·等于()
A．3B.C．2D．2
解析：由椭圆方程知a＝2，b＝，c＝1，
∴|PF1||PF2|＝4.
·＝||||cos60°＝4×＝2.
答案：D
2．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且ABF2的周长为16，那么C的方程为________．
解析：由ABF2的周长＝4a＝16，得a＝4，
又知离心率为，即＝，得c＝2，
a2＝16，b2＝a2－c2＝16－8＝8，
C的方程为＋＝1.
答案：＋＝1
【典例剖析】
(2014·江西卷)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若ADF1B，则椭圆C的离心率等于________．
【思路启迪】用a，b，c表示点A，B，D的坐标和直线BF1的斜率，再利用ADBF1得a，b，c的关系式，变形求出e的值．
【解析】直线AB：x＝c，代入＋＝1，得y＝±.
A，B.
kBF1＝＝＝－.
直线BF1：y－0＝－(x＋c)．
令x＝0，则y＝－，
∴D，kAD＝＝.
由于ADBF1，－·＝－1，
3b4＝4a2c2，b2＝2ac，即(a2－c2)＝2ac，
e2＋2e－＝0，
e＝＝.
e>0，e＝＝＝.
【答案】
解决椭圆的方程问题一般应用待定系数法，常结合椭圆的定义．解决椭圆的离心率问题的关键是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式．
【举一反三】
1．椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A、B，左、右焦点分别是F1，F2，若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为()
A.B.C.D.－2
解析：由椭圆的性质可知
|AF1|＝a－c，|F1F2|＝2c，|F1B|＝a＋c，
又|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，
故(a－c)(a＋c)＝(2c)2，可得e＝＝.
故应选B.
答案：B
2．(2014·云南第一次统一检测)已知椭圆E：＋＝1的长轴的两个端点分别为A1，A2，点P在椭圆E上，如果A1PA2的面积等于9，那么·＝()
A．－B.C．－D.
解析：设P(x1，y1)，则·＝(－5－x1，－y1)·(5－x1，－y1)＝x＋y－25，
又SPA1A2＝×|A1A2|×|y1|＝5|y1|＝9，解得|y1|＝，代入椭圆方程＋＝1得，x＝16，代入式可得·＝x＋y－25＝16＋－25＝－，故选A.
答案：A
3．(2014·合肥一模)若椭圆＋＝1的焦点在x轴上，过点作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是________．
解析：由题可设斜率存在的切线的方程为y－＝k(x－1)(k为切线的斜率)，即2kx－2y－2k＋1＝0，由＝1，解得k＝－，圆x2＋y2＝1的一条切线方程为3x＋4y－5＝0，求得切点A，易知另一切点B(1,0)，则直线AB的方程为y＝－2x＋2.令y＝0得右焦点为(1,0)，令x＝0得上顶点为(0,2)，a2＝b2＋c2＝5，故所求椭圆的方程为＋＝1.
答案：＋＝1
考双曲线的方程及几何性质【自主回顾】
(1)焦点在x轴上时，双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，其渐近线方程是y＝±x；
焦点在y轴上时，双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，其渐近线方程是y＝±x.
(2)渐近线方程为y＝±x的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．
(3)双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点”(两个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点)，“四线”(两条对称轴、两条渐近线)、“两形”(中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形，双曲线上一点和两焦点构成的三角形)，研究它们之间的相互联系．
熟悉双曲线的渐近线方程，掌握其倾斜角、斜率的求法．
1．(2014·忻州联考)已知双曲线－＝1的离心率为，则n的值为()
A．2B.C．1D.
解析：由双曲线的方程－＝1知，双曲线的焦点在x轴上，＝()2＝2，n＝2.
答案：A
2．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为()
A.－＝1B.－＝1
C.－＝1D.－＝1
解析：因为双曲线的焦距为10，所以52＝a2＋b2，双曲线的渐近线方程为y＝±x，点P(2,1)在直线y＝x上，则＝，所以a2＝20，b2＝5，选A.
答案：A
【典例剖析】
(2014·天津卷)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为()
A.－＝1B.－＝1
C.－＝1D.－＝1
【思路启迪】根据双曲线的渐近线与直线l平行得到渐近线的斜率，由双曲线的一个焦点在直线l上求出c，然后解方程组即可求出a，b的值．
【解析】双曲线的渐近线方程为y＝±x，因为一条渐近线与直线y＝2x＋10平行，所以＝2.
又因为双曲线的一个焦点在直线y＝2x＋10上，
所以－2c＋10＝0.所以c＝5.
由得
故双曲线方程为－＝1.
【答案】A
在解析几何中，要注意“算”的合理性，尽可能利用几何图形的直观性加以解决．
【举一反三】
1．(2014·大庆质检)双曲线的一个顶点为(2,0)，一条渐近线方程为y＝x，则该双曲线的方程是()
A.－＝1B.－＝1
C.－＝1D.－＝1
解析：由双曲线的一个顶点为(2,0)，可知双曲线方程为－＝1(b>0)，渐近线方程为y＝±x，由双曲线的一条渐近线方程为y＝x，知该双曲线的方程是－＝1，选B.
答案：B
2．(2014·郑州第一次质量预测)双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1、F2，过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2x轴，则双曲线的离心率为()
A.B.C.D.
解析：MF2⊥x轴，M，tan30°＝＝＝，即3c2－2ac－3a2＝0，e＝.
答案：B
3．已知点F(c,0)是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，若双曲线C的渐近线与圆F：(x－c)2＋y2＝c2相切，则双曲线C的离心率为________．
解析：依题意得，圆心F(c,0)到双曲线C的渐近线的距离等于c，即有b＝c，c2＝2b2＝2(c2－a2)，c2＝2a2，＝，即双曲线C的离心率为.
答案：
考抛物线的方程及几何性质【自主回顾】
(1)求抛物线的标准方程常采用待定系数法．利用题中已知条件确定抛物线的焦点到准线的距离p的值．
(2)对于和抛物线有两个交点的直线问题，“点差法”是常用方法．
(3)直线l过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，交抛物线于A、B两点，则有：
①通径的长为2p.
焦点弦长公式：|AB|＝x1＋x2＋p.
x1x2＝，y1y2＝－p2.
以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切．
要准确记忆焦点坐标、准线方程、通径与参数p的关系．
1．(2014·广东七校联考)抛物线y＝x2的焦点坐标是()
A．(0,1)B.C.D．(0,4)
解析：由x2＝yx2＝4y，于是焦点坐标为(0,1)．故选A.
答案：A
2．(2014·河北石家庄调研)若抛物线y2＝2px上一点P(2，y0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为()
A．y2＝4xB．y2＝6x
C．y2＝8xD．y2＝10x
解析：抛物线y2＝2px，准线为x＝－.点P(2，y0)到其准线的距离为4，＝4，p＝4，抛物线的标准方程为y2＝8x.
答案：C
【典例剖析】
(2014·新课标全国卷)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝()
A．4B．2C．1D．8
【思路启迪】利用抛物线的定义求解．
【解析】如图，F，过A作AA′准线l，|AF|＝|AA′|，
x0＝x0＋＝x0＋，
x0＝1.
已知抛物线上一点A到焦点F的距离，由抛物线的定义即可求出A点的横坐标．
【举一反三】
1．(2014·郑州第一次质量预测)已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为－1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为()
A．x＝1B．x＝2C．x＝－1D．x＝－2
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝－，与抛物线方程联立得，消去y整理得：x2－3px＋＝0，可得x1＋x2＝3p.根据中点坐标公式，有＝3，p＝2，因此抛物线的准线方程为x＝－1.
答案：C
2．(2014·云南统一检测)设经过抛物线C的焦点的直线l与抛物线C交于A、B两点，那么抛物线C的准线与以AB为直径的圆的位置关系为()
A．相离B．相切
C．相交但不经过圆心D．相交且经过圆心
解析：设圆心为M，过点A、B、M作准线l的垂线，垂足分别为A1、B1、M1，则|MM1|＝(|AA1|＋|BB1|)．由抛物线定义可知|BF|＝|BB1|，|AF|＝|AA1|，所以|AB|＝|BB1|＋|AA1|，|MM1|＝|AB|，即圆心M到准线的距离等于圆的半径，故以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
答案：B
3．(2014·陕西质检)已知点M(－3,2)是坐标平面内一定点，若抛物线y2＝2x的焦点为F，点Q是该抛物线上的一动点，则|MQ|－|QF|的最小值是()
A.B．3C.D．2
解析：抛物线的准线方程为x＝－，当MQx轴时，|MQ|－|QF|取得最小值，此时|QM|－|QF|＝|2＋3|－＝，选C.
答案：C
正确理解和掌握由曲线求方程和由方程讨论曲线的性质这两个问题．在复习过程中要做到
(1)搞清概念(对概念定义应“咬文嚼字”)；
(2)熟悉曲线(会“速写”出符合题目数量特征要求的曲线)；
(3)熟练运用代数、三角、几何、向量的知识；
(4)处理问题时要在“大处着眼”(即在整体上把握问题的综合信息和处理问题的数学思想)、“小处着手”(即在细节上能熟练运用各种数学知识和方法).
利用几何性质解决解析几何中的范围问题
已知点F是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()
A．(1，＋∞)B．(1,2)
C．(1,1＋)D．(2,1＋)
【思维导图】
【规范解答】由ABx轴，可知ABE为等腰三角形，又ABE是锐角三角形，所以AEB为锐角，即AEF＝AEB<45°，则|AF|<|EF|.由题意，可求得|AF|＝，|EF|＝a＋c，所以1，从而1
【答题模板】
根据题设条件，画出对应的几何图形；
分析几何图形的形状，从中发现不等关系；
将目标参数变换到上述不等关系中，并求解此不等式；
根据不等式的解集，并结合圆锥曲线中几何量的限制条件，得到所求参数的取值范围；
根据圆锥曲线隐含的几何性质建立不等式是圆锥曲线问题中最常见的一类题型，解题时要能够根据求解目标和圆锥曲线的几何性质找到问题的突破口．
如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1，A2，B1，B2，焦点分别为F1，F2，延长B1F2与A2B2交于P点，若B1PA2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为()
A.B.
C.D.
解析：设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，B1PA2为钝角可转化为，所夹的角为钝角，则(a，－b)·(－c，－b)<0，得b20，即e2＋e－1>0，e>或e<，又0
答案：D
请做：课时作业(十四)
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