【答案】C与名师对话·系列丛书第页二轮专题复习·课标版·数学（文）重难点透析与名师对话·系列丛书第页课时作业专题四第一讲名师微课堂二轮专题复习·课标版·数学（文）第一篇专题四与名师对话·系列丛书第页二轮专题复习·课标版·数学（文）重难点透析与名师对话·系列丛书第页课时作业专题四第一讲名师微课堂二轮专题复习·课标版·数学（文）知识方法篇立体几何第讲空间几何体
考一空间几何体的三视图【自主回顾】
该类问题主要有两种类型：一是由几何体确定三视图；二是由三视图还原成几何体．解决该类问题的关键是找准投影面及三个三视图之间的关系，抓住“正侧一样高，正俯一样长、俯侧一样宽”的特点．
借助常见几何体模型想象三视图问题是重要手段．
1．(2014·福建卷)某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是()
A．圆柱B．圆锥C．四面体D．三棱柱
解析：因为圆锥、四面体、三棱柱的正视图均可以是三角形，而圆柱无论从哪个方向看均不可能是三角形，所以选A.
答案：A
2．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝2，则原图形OABC的面积为________．
解析：由题意知原图形OABC是平行四边形，且OA＝BC＝6，设平行四边形OABC的高为OE，则OE××＝O′C′，O′C′＝2，OE＝4.
S?OABC＝6×4＝24.
答案：24
【典例剖析】
(2014·湖北卷)在如图所示的空间直角坐标系O－xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．给出编号为的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为()
A．和B．和C．和D．和
【思路启迪】根据正视图、俯视图的投影规则，找出它们各个顶点的坐标即可．
【解析】由三视图可知，该几何体的正视图是一个直角三角形(三个顶点的坐标分别是(0,0,2)，(0,2,0)，(0,2,2)且内有一虚线(一顶点与另一直角边中点的连线)，故正视图是；俯视图即在底面的射影是一个斜三角形，三个顶点的坐标分别是(0,0,0)，(2,2,0)，(1,2,0)，故俯视图是.
【答案】D
三视图问题的解题技巧是熟练掌握一些简单几何体的三视图，在脑海中想象该几何体的构成，或在草纸上画出其直观图．
【举一反三】
1．(2014·山东莱州模拟)一个简单几何体的正(主)视图，侧(左)视图如图所示，则其俯视图不可能为长方形；直角三角形；圆；椭圆．其中正确的是()
A．B．C．D．
解析：当该几何体的俯视图为圆时，由三视图知，该几何体为圆柱，此时，正(主)视图和侧(左)视图应相同，所以该几何体的俯视图不可能是圆，其余都有可能．故选C.
答案：C
2．(2014·合肥二模)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()
解析：根据几何体各个顶点的射影位置确定其侧视图的形状，显然侧视图中长方体的体对角线是一条虚线．
答案：C
3．(2014·新课标全国卷)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是()
A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱
解析：如图，几何体为三棱柱．
答案：B
考空间几何体的表面积和体积【自主回顾】
(1)多与三视图相结合考查面积或体积的计算，解决时要先还原几何体，计算时要结合平面图形，不要弄错相关数量．
(2)在求三棱锥体积时，可多角度地考虑，如：体积分割、等积转化法都是常用的方法．
(3)求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解．
熟练掌握几何体的侧面积与体积的计算公式，避免计算失误．
1．如图，若一个空间几何体的三视图中，正视图和侧视图都是直角三角形，其直角边长均为1，则该几何体的表面积为()
A．1＋
B．2＋2
C.
D．2＋
解析：依题意得，题中的几何体是底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱锥P－ABCD(如图)，其中底面边长为1，PD＝1，PD平面ABCD，SPAD＝SPCD＝×1×1＝，SPAB＝SPBC＝×1×＝，S四边形ABCD＝12＝1，因此该几何体的表面积为2＋，选D.
答案：D
2．一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()
A．9B．10C．11D.
解析：原来的几何体是正四棱柱，其直观图如图所示，其中底面是边长为2的正方形，高为3，截下的部分是一个三棱锥，所以剩余部分的体积为2×2×3－×3××1×2＝11.
答案：C
【典例剖析】
(2014·重庆卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()
A．12B．18C．24D．30
【思路启迪】因为三个视图中直角较多，所以可以在长方体中对几何体进行分析还原，在长方体中计算其体积．
【解析】在长方体中分析还原，如图(1)所示，故该几何体的直观图如图(2)所示．在图(1)中，V棱柱ABC－A1B1C1＝SABC·AA1＝×4×3×5＝30，V棱锥P－A1B1C1＝SA1B1C1·PB1＝××4×3×3＝6.故几何体ABC－PA1C1的体积为30－6＝24.故选C.
长方体是立体几何的万能模型，三视图就是几何体在长方体三个共顶点的面上的投影，利用长方体可以方便地画出三视图、确定数量关系，反之，也可以由三视图确定几何体的形状．根据三视图确定几何体中几何元素的位置关系及数量，计算要细心，注意几何体与三视图中数量的对应关系．
【举一反三】
1．(2014·陕西卷)将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是()
A．4πB．3πC．2πD．π
解析：底面圆半径为1，高为1，侧面积S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.故选C.
答案：C
2．(2014·唐山统考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()
A．8π＋16B．8π－16
C．8π＋8D．16π－8
解析：由三视图可知：几何体为一个半圆柱去掉一个直三棱柱．半圆柱的高为4，底面半圆的半径为2，直三棱柱的底面为斜边是4的等腰直角三角形，高为4，故几何体的体积V＝π×22×4－×4×2×4＝8π－16.
答案：B
3．如图，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点．设三棱锥F－ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，则V1V2＝________.
解析：＝
＝··
＝×××＝.
答案：124
考空间几何体的组合问题【自主回顾】
(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系．
(2)若球面上四点P、A、B、C构成的线段PA、PB、PC两两垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，则4R2＝a2＋b2＋c2(R为球半径)，把有关元素“补形”成为一个球内接长方体(或其他图形)，从而显示出球的数量特征，这种方法是一种常用的好方法．
正四面体可以放入一个正方体中，这时正方体的棱长是正四面体棱长的倍，它们有着共同的外接球．
1．(2014·兰州市诊断测试)某几何体的三视图如图所示，则它的体积是()
A.B．8－C．8－D．8－2π
解析：由三视图知，几何体为一个正方体里面挖去一个圆锥，正方体的棱长为2，圆锥的底面半径为1，高为2，
所以该几何体的体积为V＝23－×π×12×2＝8－，
故选C.
答案：C
2．(2014·陕西卷)已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为()
A.B．4πC．2πD.
解析：正四棱柱的外接球的球心为上下底面的中心连线的中点，所以球的半径r＝＝1，球的体积V＝r3＝.故选D.
答案：D
【典例剖析】
(2014·湖南卷)一块石材表示的几何体的三视图如图所示．将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于()
A．1B．2C．3D．4
【思路启迪】将几何体的三视图还原为直观图．
【解析】由三视图可知该几何体是一个直三棱柱，如图所示．由题意知，当打磨成的球的大圆恰好与三棱柱底面直角三角形的内切圆相同时，该球的半径最大，故其半径r＝×(6＋8－10)＝2.因此选B.
涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系．
【举一反三】
1．(2014·西安模拟)已知长方体ABCD－A1B1C1D1的所有顶点都在球O的球面上，AB＝AD＝1，AA1＝2，则球O的球面面积为()
A．2πB．6πC．4πD．24π
解析：记球O的半径为R，则有(2R)2＝12＋12＋22＝6，球O的表面积等于4πR2＝6π，故选B.
答案：B
2．(2014·潍坊一模)已知一圆柱内接于球O，且圆柱的底面直径与母线长均为2，则球O的表面积为________．
解析：圆柱的底面直径与母线长均为2，
所以球的直径＝＝＝2，
即球半径为，
所以球的表面积为4π×()2＝8π.
答案：8π
3．(2014·山西四校联考)将长、宽分别为4和3的长方形ABCD沿对角线AC折起，得到四面体A－BCD，则四面体A－BCD的外接球的体积为________．
解析：设AC与BD相交于O，折起来后仍然有OA＝OB＝OC＝OD，外接球的半径r＝＝，从而体积V＝×3＝.
答案：
1．解决三视图问题的关键是将三视图还原成直观图，其解题技巧是熟练掌握一些简单几何体的三视图，在脑中想象该几何体的构成，甚至在草纸上画出其直观图，然后再反回来由三视图验证，确保准确无误．另外要熟记简单几何体的表面积和体积公式．
2．涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，其直观图很难画清，一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系．
割补法破解体积问题
若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积等于________cm3.
【思维导图】
【规范解答】由三视图可知，几何体是由一个三棱柱削去一个三棱锥后得到的，如图．
体积V＝×3×4×5－××4×3×3＝24(cm3)，
即此几何体的体积等于24cm3.
【答题模板】
明确图形，分析题设条件给出的三视图，如果还原后的几何体不是规则几何体，就需要对几何体进行“切割”或“补体”，使其对应标准几何体模型；
计算体积，对“割”“补”好了的几何体用对应
的体积公式进行计算；
得到结论，将计算的体积与题设要求对应即得问题答案；
回顾反思，用割补法求几何体体积的关键是能根据几何体中的线面关系合理选择截面进行切割或者补成规则的几何体．解题时要弄清切割后或补形后的几何体的体积是否与原几何体的体积之间有明显的确定关系：(1)如果是由几个规则的几何体组合而成的，其体积就等于这几个规则几何体体积之和；(2)如果是由一个规则的几何体挖去几个规则的几何体而成的，其体积就等于这个规则几何体的体积减去挖去的几个几何体的体积．
(2014·北京丰台一模)棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是()
A.B．4C.D．3
解析：由三视图可知，该截面为如图所示的过体对角线的菱形，且这个截面将正方体分为完全相同的两个几何体，则所求几何体的体积为V＝×2×2×2＝4.
答案：B
请做：课时作业(十一)
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