与名师对话·系列丛书第页二轮专题复习·课标版·数学（文）重难点透析与名师对话·系列丛书第页课时作业专题九第三讲二轮专题复习·课标版·数学（文）第三篇专题九与名师对话·系列丛书第页二轮专题复习·课标版·数学（文）重难点透析与名师对话·系列丛书第页课时作业专题九第三讲二轮专题复习·课标版·数学（文）题型方法篇题型解题方法与技巧第讲解答题的解法(一)
解答题也就是通常所说的主观性试题，就题型而言主要包括计算题、证明题和应用题等，其基本模式是：给出一定的题设(已知条件)，然后提出一定的要求(要达到的目标)，让考生解答．考生解答时，应把已知条件作为出发点，运用有关的数学知识和方法，进行演绎、推理和计算，最后达到求解的目的，同时要将整个解答过程的主要步骤，有条理、合逻辑、完整地书写清楚．
对于解答题，审题是解题的开始，也是解题的基础．审题时一定要全面审视题目的所有条件和答题要求，以求全面、正确地理解题意．在整体上把握试题的特点、结构，会有助于解题方法的选择和解题步骤的没计．
审题时要把握“三性”，即明确目的性，提高准确性，注意隐含性．解题实践表明：条件暗示可诱导解题手段，结论预示可启发解题方向，只有细致地审题，才能从题目本身获得尽可能多的信息，这一步不要怕慢，“慢”是为了“快”，解题方向明确，解题手段合理得当，这是“快”的前提和保证.
题型一三角函数【自主回顾】
(1)求解有关三角函数的图象与性质的题目时，首先要关注定义域，既要注意一般函数的定义域，又要注意三角函数的定义域．其次要关注三角函数的单调性，注意ω的正负对单调性的影响．再次要关注三角函数图象的对称性、周期性，求解时需要先将三角函数表达式化成形如y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，然后用整体思想求解．
(2)解三角形问题主要指求三角形的三边、三角等．解题关键是正确分析边角关系，依据题设条件合理地设计解题思路，利用三角形的内角和定理、正弦定理、余弦定理、大边对大角、三角变换等进行三角形中边角关系的互化．
(2014·山西四校联考)已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.cosA＝，sinB＝cosC.
(1)求tanC的值；
(2)若a＝，求ABC的面积．
解：(1)cosA＝，sinA＝＝，
cosC＝sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋sinCcosA＝cosC＋sinC.
整理得：tanC＝.
(2)由(1)知sinC＝，cosC＝，
由＝，知c＝.
又sinB＝cosC＝×，
ABC的面积S＝acsinB＝.
【典例剖析】
(2014·江西卷)已知函数f(x)＝(a＋2cos2x)·cos(2x＋θ)为奇函数，且f＝0，其中aR，θ(0，π)．
(1)求a，θ的值；
(2)若f＝－，α，求sin的值．
【思路启迪】(1)先利用函数的奇偶性化简函数关系式，再进一步代入求值；(2)利用同角三角函数关系先求出角的余弦值，再利用两角和的正弦公式求函数值．
【解】(1)因为f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)是奇函数，而y1＝a＋2cos2x为偶函数，所以y2＝cos(2x＋θ)为奇函数．
又θ(0，π)得θ＝，
所以f(x)＝－sin2x·(a＋2cos2x)．
由f＝0得－(a＋1)＝0，即a＝－1.
(2)由(1)得f(x)＝－sin4x，
因为f＝－sinα＝－，即sinα＝，
又α，从而cosα＝－，
所以有sin＝sinαcos＋cosαsin＝.
三角函数的综合应用主要是将三角恒等变形与三角函数的性质相结合，通过变形，将复杂的函数式子化为y＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式再研究性质，在研究性质时注意利用整体思想解决相关问题．
【举一反三】
(2014·云南昆明三中、玉溪一中统考)在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知＝.
(1)求A的大小；
(2)若a＝6，求ABC的周长的取值范围．
解：(1)由条件结合正弦定理得，＝＝，
sinA＝cosA，tanA＝.
0
(2)∵＝＝＝4，
b＝4sinB，c＝4sinC，
b＋c＝4(sinB＋sinC)
＝4
＝4
＝12
＝12sin.
∵
6<12sin≤12，即6
ABC的周长的取值范围是(12,18].
题型二数列【自主回顾】
(1)求数列通项的常用方法：定义法、叠加法、叠乘法、待定系数法等．求数列前n项和的常用方法：公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法等．
(2)有关数列与函数的解答题.因为数列是一种特殊的函数，所以研究数列是对函数研究的继续，在注意函数方法的普遍适用性的同时，还要注意数列方法的特殊性，运用数形结合，进行合理的等价转化．
(2014·云南第一次统一检测)在数列{an}中，a1＝2，a2＝12，a3＝54，数列{an＋1－3an}是等比数列．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
解：(1)证明：a1＝2，a2＝12，a3＝54，
a2－3a1＝6，a3－3a2＝18.
又数列{an＋1－3an}是等比数列，
an＋1－3an＝6×3n－1＝2×3n，
－＝2，数列是等差数列．
(2)由(1)知数列是等差数列，＝＋(n－1)×2＝2n，
an＝2n×3n－1.
Sn＝2×1×30＋2×2×31＋…＋2n×3n－1，
3Sn＝2×1×3＋2×2×32＋…＋2n×3n，
∴Sn－3Sn＝2×1×30＋2×1×3＋…＋2×1×3n－1－2n×3n
＝2×－2n×3n
＝3n－1－2n×3n，
Sn＝×3n＋.
【典例剖析】
(2014·重庆卷)已知{an}是首项为1，公差为2的等差数列，Sn表示{an}的前n项和．
(1)求an及Sn；
(2)设{bn}是首项为2的等比数列，公比q满足q2－(a4＋1)q＋S4＝0，求{bn}的通项公式及其前n项和Tn.
【思路启迪】(1)根据等差数列的通项公式和前n项和公式直接求解；(2)由公比满足的方程先求得等比数列的公比，再代入等比数列的通项公式和前n项和公式求解．
【解】(1)因为{an}是首项a1＝1，公差d＝2的等差数列，
所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.
故Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＝＝＝n2.
(2)由(1)得a4＝7，S4＝16.
因为q2－(a4＋1)q＋S4＝0，即q2－8q＋16＝0，
所以(q－4)2＝0，从而q＝4.
又因为b1＝2，{bn}是公比q＝4的等比数列，
所以bn＝b1qn－1＝2·4n－1＝22n－1.
从而{bn}的前n项和Tn＝＝(4n－1)．
数列求和是数列部分的一个重要内容，它往往是数列知识的综合体现．在熟练掌握等差数列和等比数列求和方法的基础上，还要会通过研究数列通项公式的特征，结合数列的求和来考查数列的基础知识、基本解题技巧及分析问题、解决问题的能力．常见的方法是公式法、分解法、倒序相加法、错位相减法、裂项法等．
【举一反三】
(2014·吉林长春第一次调研)设等差数列{an}的前n项和为Sn，其中a1＝3，S5－S2＝27.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若Sn,2(an＋1＋1)，Sn＋2成等比数列，求正整数n的值．
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
则S5－S2＝3a1＋9d＝27，
又a1＝3，则d＝2，故an＝2n＋1.
(2)由(1)可得Sn＝n2＋2n，又Sn·Sn＋2＝8(an＋1＋1)2，
即n(n＋2)2(n＋4)＝8(2n＋4)2，化简得n2＋4n－32＝0.
解得n＝4或n＝－8(舍)，所以n的值为4.
题型三解析几何【自主回顾】
(1)运用椭圆的几何性质解决问题时，要充分挖掘题目中所隐含的条件，如半焦距c、长半轴a、短半轴b之间的关系：c2＝a2－b2；离心率为e＝；顶点坐标；焦点坐标及焦点所在的轴等．通过这些关系列出等式，再进行求解．
(2)求直线被圆锥曲线所截得的弦长时，常把直线的方程代入圆锥曲线的方程，整理成关于x或y的一元二次方程，此时，一要充分考虑“Δ≥0”的限制条件，二要注意运用根与系数的关系，充分体现“设而不求”的妙用．
(3)与圆锥曲线相关的最值、范围问题综合性较强，解决的方法：一是由题目中的限制条件求范围，如直线与圆锥曲线的位置关系中Δ的范围，方程中变量的范围，角度的大小等；二是将要讨论的几何量如长度、面积、代数式等用参数表示出来，再对表达式进行讨论，应用不等式、三角函数等知识求最值，在解题过程中注意向量，不等式的应用．
(4)有关直线与圆锥曲线位置关系的存在性问题，一般是先假设存在满足题意的元素，经过推理论证，如果得到可以成立的结果，就可作出存在的结论；若得到与已知条件、定义、公理、定理、性质相矛盾的量，则说明假设不存在．
(2014·洛阳统考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，其右顶点和上顶点分别是A，B，原点到直线AB的距离为.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线l：y＝k(x＋2)交椭圆于P，Q两点，若点B始终在以PQ为直径的圆内，求实数k的取值范围．
解：(1)由＝，a2＝b2＋c2，知＝，
又ab＝··，故a＝2，b＝1，
所以椭圆的方程是＋y2＝1.
(2)将y＝k(x＋2)代入＋y2＝1，
得(1＋4k2)x2＋16k2x＋(16k2－4)＝0.()
记P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则x1＝－2，x2＝，y1＝0，y2＝.
由点B在以PQ为直径的圆内，得PBQ为钝角或平角，
即·<0.
B(0,1)
∴＝(－2，－1)，＝，
故·＝＝<0，
解得－
【典例剖析】
(2014·天津卷)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|＝|F1F2|.
(1)求椭圆的离心率；
(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过点F2的直线l与该圆相切于点M，|MF2|＝2，求椭圆的方程．
【思路启迪】(1)根据条件转化为关于a，c的关系式求解；(2)设出P点坐标，根据点F1在圆上可知·＝0，又点P在椭圆上，从而表示出点P的坐标，从而可知圆心的坐标，然后解RtTF2M求出c2的值．
【解】(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0)．
由|AB|＝|F1F2|，可得a2＋b2＝3c2.
又b2＝a2－c2，则＝.所以椭圆的离心率e＝.
(2)由(1)知a2＝2c2，b2＝c2，
故椭圆方程为＋＝1.
设P(x0，y0)，由F1(－c,0)，B(0，c)，
有＝(x0＋c，y0)，＝(c，c)．
由已知，有·＝0，即(x0＋c)c＋y0c＝0.
又c≠0，故有x0＋y0＋c＝0.
因为点P在椭圆上，故＋＝1
由和可得3x＋4cx0＝0.
而点P不是椭圆的顶点，故x0＝－c，
代入得y0＝，即点P的坐标为.
设圆的圆心为T(x1，y1)，
则x1＝＝－c，y1＝＝c，
进而圆的半径r＝＝c.
由已知，有|TF2|2＝|MF2|2＋r2，又|MF2|＝2，故有2＋2＝8＋c2，解得c2＝3.
所以所求椭圆的方程为＋＝1.
在解直线与圆锥曲线的关系的问题时，通常可以通过联立方程，转化为二次方程，借助韦达定理进行求解，在实际问题中，函数与方程思想的应用非常广泛，在实际问题中要注意计算的准确性．
【举一反三】
(2014·东北四市模拟(一))已知圆M和圆P：x2＋y2－2x－10＝0相内切，且过定点Q(－，0)．
(1)求动圆圆心M的轨迹方程；
(2)不垂直于坐标轴的直线l与动圆圆心M的轨迹交于A，B两点，且线段AB的垂直平分线经过点，求AOB(O为原点)面积的最大值．
解：(1)由已知|MP|＝2－|MQ|，即|MP|＋|MQ|＝2，且2大于|PQ|，
所以M的轨迹是以(－，0)，(，0)为焦点，2为长轴长的椭圆，
即其方程为＋y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)且过AB的直线l的方程为y＝kx＋t，
代入椭圆方程得(3k2＋1)x2＋6ktx＋3t2－3＝0，
因为方程有两个不同的解，
所以Δ＝4(9k2＋3－3t2)>0，即3k2＋1>t2，
又因为x1＋x2＝，所以＝，
＝，
所以＝－，化简得到3k2＋1＝4t，
综合得0
又原点到直线的距离为d＝，
|AB|＝|x1－x2|＝·，
所以SAOB＝|AB|d
＝···，
化简得SAOB＝，
所以当t＝2，即k＝±时，
SAOB取得最大值.
请做：课时作业(二十七)
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